专题11.1 不等式及其性质（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.1 不等式及其性质（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【知识点二】不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【知识点三】不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 【考点目录】 【考点1】不等式的概念； 【考点2】不等式的解及解集； 【考点3】不等式的基本性质; 【考点4】不等式基本性质的应用. 【考点1】不等式的概念； 【例1】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）52；（7）． 【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（）连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 解：等式有：（3）（5）， 不等式有：（2）（4）（7）， 既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【点拨】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键． 【变式1】公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列不等式．根据最高限速标志牌的意义，即可求解． 解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是． 故选：B 【变式2】“的减去的差不小于”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根据题意列不等式，掌握不等式的表示是解题的关键．注意不小于包含了大于或等于． 解：根据题意列不等式得，， 故答案为： 【考点2】不等式的解及解集； 【例2】关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． （1）若两个不等式解集相同，求a的值； （2）若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1) a=1； (2) a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． （1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点拨】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 【变式1】下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 【变式2】在中，已知，，的取值范围在数轴上表示如图所示，则的长为 【答案】 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边