2024届新高考下的函数与导数新定义习题专项练习

新高考下的函数与导数新定义习题精炼 一、多项选择题 1．定义方程的实数根为函数的“新不动点”，下列函数中只有一个“新不动点”的函数为（ ） A. B. C. D. 2．若函数的定义域为D,对于任意,都存在唯一的,使得,则称为“A函数”,则下列说法正确的是( ) A.函数是“A函数” B.已知函数,的定义域相同,若是“A函数”,则也是“A函数” C.已知,都是“A函数”,且定义域相同,则也是“A函数” D.已知,若,是“A函数”,则 二、选择题 3．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．对于三次函数,现给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则( ) A.0 B.1 C. D. 5．若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是( ) A. B. C. D. 6．函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…….一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数.若，则( ) A. B.50 C.49 D. 三、填空题 7．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：，若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则______________ 8．若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”：若某函数是 “类奇函数”，则下列说法中，正确的有______ ①若0在定义域中，则 ②若，则 ③若在上单调递增，则在上单调递减 ④若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数” 9．定义阶导数的导数叫做n阶导数（，），即，分别记作，，，…，，则函数的2023阶导数的图象在点处的切线在x轴上的截距为______. 参考答案 1．答案：BC 解析：若，则，令，解得，，可知有2个“新不动点”，A不符合题意． 若，则，令，解得，可知有1个“新不动点”，B符合题意． 若，则，令（），则， 所以在上单调递增，又，， 所以在上存在唯一零点，，即有唯一解，可知有1个“新不动点”，C符合题意． 若，则，令，即，即，因为函数的周期为，所以的根有无数个，可知有无数个“新不动点”，D不符合题意． 故选：BC． 2．答案：BD 解析：对于选项A,当时,,此时不存在,使得.A不正确; 对于选项B,由,的定义域相同,若是“A函数”,则对于任意,都存在唯一的,使得,则对于任意,都存在唯一的,使得,所以也是“A函数”.B正确; 对于选项C,不妨取,,, 令,则, 故不是“A函数”.C不正确; 对于选项D,因为,,是“A函数”, 所以在上恒成立.又,所以,且, 即对于任意,都存在唯一的,使得, 因为,所以, 即 由解得.D正确. 故选：BD 3．答案：B 解析：由题意：，，，所以a，b，c分别为，，的根，即为函数，，的零点，可解得：；又因为：，，；又因为：，，；所以：.故选：B. 4．答案：A 解析：依题意得,,, 令,解得x＝1, ,函数的对称中心为, 则, . 故选:A. 5．答案：B 解析：易得， 若函数具有“凹凸趋向性”， 则在上有2个不同的实数根， 令，则， 令，解得， 令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值是，它也是最小值， 当x越趋近于0时，也越趋近于0， 故m的取值范围是. 6．答案：A 解析：由，， ，， 依此类推，， 所以. 故选：A. 7．答案： 解析： 8．答案：①②④ 解析： 9．答案：本题考查导数的几何意义的应用，考查数学运算的核心素养. 解析：因为，，…，，又，，，所以切线方程为.故切线在x轴上的截距为. 学科网（北京）股份有限公司 $$