专题八构造三角形的中位线解题 习题课件 2023-2024学年浙教版数学八年级下册

构造三角形的中位线解题 习题课件 专题八 1 【点拨】 【方法点拨】 本题考查了三角形的中位线定理. 三角形中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系:一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系. 当题目中给出三角形两边的中点时,可以直接连出中位线进行求解;当题目中给出三角形一边的中点时,往往需要找另一边的中点,构造出中位线进行求解. 【变式1】如图,DE是 ABC的中位线,F是DE的中点,CF的延长线交AB于点G,若 CEF的面积为18 cm2,则S DGF的值为( ) A. 4 cm2 B. 5 cm2 C. 6 cm2 D. 7 cm2 C 【点拨】 【点拨】 【变式2】如图,在 ABC中,点M为BC的中点,AD为 ABC的外角的平分线,且AD⊥BD. 若AB=12,AC=18,求DM的长. 【变式3】如图,在 ABCD中,G,H分别是AB,CD的中点,点E,F在对角线AC上,且AE=CF. (1)求证:四边形EGFH是平行四边形; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠GAE=∠HCF. ∵G,H分别是AB,CD的中点,∴AG=CH. 又∵AE=CF,∴ AGE≌ CHF(SAS). ∴GE=HF,∠AEG=∠CFH.∴∠GEF=∠HFE. ∴GE∥HF. 又∵GE=HF,∴四边形EGFH是平行四边形. (2)连结BD交AC于点O,若BD=10,AE+CF=EF,求EG的长. 【变式5】如图,在 ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE相交于点G,求证:GF=GC. 【变式7】如图,B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点. (1)求证:PM=PN; (2)求∠MPN的度数. 解: 如图,设PM交 AE于点F,PN 交 DC于点G,AE交DC于点 H,由(1)知 ABE≌ DBC, ∴∠BAE = ∠BDC.∴易得∠AHD=∠ABD=60 . ∴∠FHG=120 .∵PN∥AE,PM∥DC, ∴四边形 PFHG 为平行四边形. ∴∠MPN =∠FHG=120 . 证明: ∵AE⊥BE,∴∠AED=∠AEB=90 . ∴∠BAE+∠ABE=90 ,∠DAE+∠ADE=90 . 又∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE. ∴∠ABE=∠ADE.∴AB=AD. ∵AE⊥BE,∴BE=DE. 又∵F是BC的中点,∴EF是 BDC的中位线. ∴EF= DC= (AC-AD)= (AC-AB). 解:结论:EF=(AB-AC). 证明:如图,延长AC交BE的延长线于点P. ∵AE⊥BP,∴∠AEP=∠AEB=90 . ∴∠BAE+∠ABE=90 ,∠PAE+∠P=90 . 又∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠PAE.∴∠ABE=∠P. ∴AB=AP.∵AE⊥BP,∴BE=PE. 又∵F是BC的中点,∴EF是 BCP的中位线, ∴EF=PC=(AP-AC)=(AB-AC). 母题 如图,在四边形ABCD中,∠A=90 ,AB=,AD=1,点M,N分别是边BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别是线段DM,MN的中点,则线段EF长度的最大值为_. 连结DN,∵E,F分别是线段DM,MN的中点. ∴ED=EM,MF=FN.∴EF=DN. ∴DN最大时,EF最大.∵N与B重合时DN最大, 此时DN=DB===2, ∴EF的最大值为1. 取CG的中点T,连结ET, ∵E是AC的中点,∴ET是 ACG的中位线. ∴ET∥AD,∴∠GDF=∠TEF. ∵F是DE的中点,∴DF=EF. 在 DFG和 EFT中, ∴ DFG≌ EFT, ∴FG=FT,S DFG=S EFT. 又∵FC=FT+TC=FT+GT= FT+FG+FT=3FT, ∴S CEF=3S EFT.∴S CEF=3S DGF. ∴S DGF= 18=6(cm2). 解:延长BD交AC于点F. ∵AD平分∠BAF,∴∠BAD=∠FAD. ∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠ADF=90 . 又∵AD=AD,∴ ADB≌ ADF. ∴AF=AB=12,BD=FD. ∵AC=18,∴CF=AC+AF=30. ∵点M为BC的中点,BD=FD, ∴DM是 BCF的中位线.∴DM=CF=15. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD.∵BD=10,∴OB=OD=5. ∵AE=CF,OA=OC,∴OE=OF. ∵AE+CF=EF,∴2AE=EF=2OE.∴AE=OE. 又∵点G是AB的中点,∴EG是 ABO的中位线, ∴EG=OB=2.5. 【变式4】如图,在 ABC中,∠C=90 ,CA=CB,E,F分别为CA,CB上一