专题六 平行四边形中“平行线、角平分线”基本图形的运用 习题课件 2023-2024学年浙教版数学八年级下册

平行四边形中“平行线+ 角平分线”基本图形的运用 习题课件 专题六 母题 如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB于E,交DA的延长线于F,连结DE. (1)求证:DF=DC; 2 证明:∵CF平分∠BCD, ∴∠BCE=∠DCE. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∴∠BCE=∠F. ∴∠F=∠DCE. ∴DF=DC. (2)若E是FC的中点,BC=2,DE=3,求FC的长. 解:∵AD∥BC, ∴∠B=∠FAE. ∵E是FC的中点,∴CE=FE. 在 BEC和 AEF中, ∴ BEC≌ AEF. 4 ∴AF=BC=2. 易知AD=BC=2,∴DF=4. ∵DF=DC,E是FC的中点,∴DE⊥CF. 在Rt DEF中,FE== = . ∴FC=2FE=2 . 5 【方法点拨】 基本图形“角平分线+平行线”往往可以构造等腰三角形,进而可证边(或角)相等,特别注意平行四边形中隐含边平行的性质. 6 【变式1】 【2023 株洲】如图,在 ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC的平分线BE交AD于点E,则DE的长为_. 2 【变式2】如图, ABCD的边AB长为4 cm,DE平分∠ADC,若∠B=80 ,∠DAE=50 ,则 ABCD的周长为_. 24 cm 【点拨】 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD=AB=4 cm,AD∥BC.∴∠ADE=∠CED. 又∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE. ∴∠CED=∠CDE.∴CE=CD=4 cm. ∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE=50 . 又∵∠B=80 ,∴∠BAE=50 =∠AEB. ∴BE=AB=4 cm. ∴BC=8 cm. ∴ ABCD的周长=2 (4+8)=24(cm). 【变式3】如图,在 ABCD中,E是BC边上的一点,且 AB=AE,若AE平分∠DAB,∠EAC=27 ,则 ∠ACD=_. 87 【点拨】 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴∠DAE=∠AEB,∠ACD=∠BAC. ∵AE平分∠DAB,∴∠EAB=∠EAD. ∴∠EAB=∠AEB. ∴BA=BE. 又∵AB=AE,∴AB=BE=AE. ∴ ABE是等边三角形.∴∠BAE=60 . 又∵∠EAC=27 ,∴∠BAC=60 +27 =87 . ∴∠ACD=∠BAC=87 . 【变式4】 【2022 烟台】如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40 ,求∠ABE的度数. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD.∴∠A+∠ADC=180 . ∵∠A=40 ,∴∠ADC=140 . ∵DF平分∠ADC,∴∠CDF=∠ADC=70 . ∵AB∥CD,∴∠AFD=∠CDF=70 . ∵DF∥BE,∴∠ABE=∠AFD=70 . 【变式5】如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,延长BE交CD的延长线于点F,连结CE. (1)若∠F=20 ,求∠A的度数; 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴∠A+∠ABC=180 ,∠ABE=∠F=20 . ∵∠ABC的平分线交AD于点E, ∴∠ABC=2∠ABE=40 . ∴∠A=180 -40 =140 . (2)若AB=5,BC=8,CE⊥AD,求 ABCD的面积. 解:∵AD∥BC,BE平分∠ABC, ∴∠AEB=∠CBE=∠ABE.∴AE=AB=5. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC=8,CD=AB=5. ∴DE=AD-AE=3. ∵CE⊥AD,∴CE== =4. ∴S ABCD=AD CE=8 4=32. 【变式6】如图,在 ABCD中,∠BCD和∠ADC的平分线交于点M,DM的延长线交BC于点E. (1)试判断CM与DE的位置关系. 解:∵在 ABCD中,AD∥BC, ∴∠ADC+∠BCD=180 . ∵DE,CM分别平分∠ADC,∠BCD, ∴∠MDC= ∠ADC,∠DCM= ∠DCB. ∴∠MDC+∠MCD= (∠ADC+∠DCB)=90 . ∴∠CMD=90 .∴CM⊥DE. (2)试猜想:M在DE的什么位置上?并证明你的猜想. 解:M在DE的中点处.理由如下: ∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CEM. ∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE. ∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE. 又∵CM⊥DE, ∴EM=MD,即M在DE的中点处. (3)若DE=24,CM=5,求点M到BC的距离. 解: ∵DE=24,EM=MD, ∴EM=12. 又∵CM⊥DE,CM=5, ∴EC==13. ∴点M到BC的距离是 = . 【变式7】如图,已知四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD