4.2～4.4 平行四边形的判定和性质 习题课件 -2023-2024学年浙教版八年级数学下册

平行四边形的判定和性质 习题课件 专题七 母题 【2022·无锡】如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点E，F，连结DE，BF. 求证： (1)△DOF≌△BOE； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC. ∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO. ∵点O为对角线BD的中点， ∴OD＝OB. ∴△DOF≌△BOE. (2)DE＝BF. 证明： ∵△DOF≌△BOE， ∴OF＝OE. 又∵OD＝OB， ∴四边形DEBF是平行四边形． ∴DE＝BF. 【方法点拨】 本题考查了平行四边形的判定与性质. 平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行或分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形. 应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法. 【变式1】【教材P95作业题T2变式】如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点. (1)求证：AF＝CE； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. 又∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴AE＝AD，CF＝ BC. ∴AE＝CF.∴四边形AECF为平行四边形． ∴AF＝CE. (2)若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求▱ABCD的周长. 解：∵▱AECF的周长为10，AF＝3， ∴AE＝ ×10－3＝2. ∴AD＝2AE＝4. 又∵AB＝2， ∴▱ABCD的周长＝2×(2＋4)＝12. 【变式2】【2023·温州鹿城区期中】如图，在▱ABCD中，点E是CD延长线上的一点，∠EAD＝∠DBC，连结BE交AD于点F. (1)求证：线段AD，BE互相平分； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠ADB＝∠DBC. ∵∠EAD＝∠DBC，∴∠EAD＝∠ADB.∴AE∥BD. 又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形． ∴线段AD，BE互相平分． (2)若∠BAD＝4∠EAD，∠BDC＝50°，求∠C的度数. 解：∵∠BDC＝50°， ∴∠BDE＝180°－50°＝130°. ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴∠BAE＝∠BDE＝130°. ∵∠BAD＝4∠EAD，∴∠EAB＝5∠DAE＝130°. ∴∠DAE＝26°.∴∠DBC＝26°. ∴∠C＝∠BDE－∠DBC＝104°. 【变式3】如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF. (1)求证：△ABE≌△CDF; 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C. 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连结MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形. 证明：∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF. 又∵M，N分别是BE，DF的中点， ∴ME＝BE，FN＝DF.∴ME＝FN. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠AEB＝∠FBE. ∴∠CFD＝∠FBE.∴EB∥DF. ∴四边形MFNE是平行四边形． 【变式4】如图，已知E，F分别为▱ABCD的对边AD，BC上的点，且DE＝BF，EM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分. 证明：如图，连结EN，FM， ∵EM⊥AC，FN⊥AC， ∴∠AME＝∠FNC＝90°，EM∥FN. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠EAM＝∠FCN. ∵DE＝BF，∴AE＝CF. 在△AEM和△CFN中， ∴△AEM≌△CFN(AAS)．∴EM＝FN. 又∵EM∥FN， ∴四边形EMFN是平行四边形． ∴EF与MN互相平分． 【变式5】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F. (1)求证：AE＝CF; 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD, AB∥CD. ∴∠BAC＝∠DCA. ∵BE⊥AC, DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. ∴△ABE≌△CDF(AAS)． ∴AE＝CF. (2)若M，N分别为边AD，BC上的点，且DM＝BN，求证：四边形MENF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠DAC＝∠BCA. ∵DM＝BN, ∴AM＝CN. 又∵AE＝CF，∴△AME≌△CNF(SAS)． ∴ME＝NF，∠AEM＝∠CFN. ∴∠MEF＝∠NFE.∴ME∥NF. ∴四边形MENF是平行四边形． 【变式6】如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE，B