二项式定理及其应用讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项式定理及其应用 【考纲解读】 1、 理解并掌握二项式定理，能够运用二项式定理解答相关的数学问题； 2、 理解并掌握二项展开式的性质和二项展开式的通项公式，能够运用二项展开式的性质和二项展开式的通项公式解答相关的数学问题。 【知识精讲】 一、二项式定理： 1、二项式定理： 公式所表示的定理，叫做二项式定理。 公式中右边的多项式称为的二项展开式，其中（r=0，1，2，----------n）叫做二项式的系数。 2、二项展开式的性质： （1）二项展开式的项数为n+1项； （2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a、b的指数之和为n； （3）字母a按降幂排列，即从第一项开始次数由n逐项减少1至0；字母b按升幂排列，即从第一项开始次数由0逐项增加1至n； （4）二项展开式的系数从，一直到，； 3、二项系数的性质： （1）对称性：在二项展开式中，与首末两项等距离的两项的二项系数相等，即=，=，=---------=----------； （2）增减性与最大值：二项系数，当k＜时，二项系数是递增的；当k＞时，二项系数是递减的；如果二项式的冪指数是偶数，则中间一项的系数最大；如果二项式的冪指数是奇数，则中间两项的二项系数相等，并且最大； （3）①+++-------+=， ②++-------++--------=++-------++------=； （4）在二项式的展开式中，是第k+1项，这里k+1是项数，是项；其中是该项的二项系数，它与a，b无关；项的系数是指化简后除字母以外的数。 二、二项展开式的通项公式： 1、二项展开式的通项公式： = （这里是二项展开式的第r+1项，r∈N）。 2、通项公式中的元素： 通项公式：= （k=0，1，2，------，n）中含有（项数），a，b，n，k五个元素，在这五个元素中已知其中的四个可以根据它们之间的相互关系求出另外一个。 【探导考点】 考点1二项式的展开式：热点①求二项式展开式中指定的项；热点②求二项式展开式中指定的项的系数； 考点2二项式系数的性质：热点①二项式展开式系数的对称性和增减性；热点②求二项式展开式系数的最值。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、求展开式中项的系数； 2、已知的第五项的二项系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项； 3、 如果在的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项系数最大的项； 4、 若在的展开式中，只有第六项的系数最大，求展开式则的常数项； 5、已知在的展开式中，第六项为常数项，求：（1）n；（2）含项的系数； （3）展开式中所有的有理项。 6、求展开式中含的项； 7、求的展开式中项的系数； 『思考问题1』 （1）【典例1】是与二项展开式系数性质相关的问题，解决这类问题主要是运用二项展开式的通项公式先确定所在的项，再确定相应的系数； （2）解答问题时，应该注意二项系数与项的系数具有不同的含义：在二项式的展开式中，是第k+1项，这里k+1是项数，是项；其中是该项的二项系数，它与a，b无关；项的系数是指化简后除字母以外的数。 〔练习1〕解答下列问题： 1、求展开式则的常数项； 2、已知的展开式中前三项的系数成等差数列，求： （1）展开式中系数最大的项； （2）展开式中所有的有理项； 3、的展开式则，常数项为15，求n； 4、求展开式中的常数项。 5、求的展开式中的常数项； 6、展开式中的常数项； 7、在的展开式中系数最小项的系数是多少？ 【典例2】解答下列问题： 1、若=+x++------+，求： （1）++------+的值； （2）++------+的值。 2、在的展开式则，按x的降冪排列，求： （1）含x的奇次项的系数之和； （2）含x的偶次项的系数之和；（3）展开式的系数之和。 3、已知=，求： （1）； （2）； （3）； （4）。 『思考问题2』 （1）【典例2】是与二项展开式的系数相关的问题，解决这类问题需要弄清楚二项展开式系数的意义，掌握二项展开式系数的性质； （2）赋值法普遍适用于恒等式，是一种重要的方法。对形如，（a，b，cR）的式子求其展开式的各项的系数，常用赋值法，只需令x=1即可；对于形如 （a，b，R）的式子求其各项系数之和，只需令x=y=1即可； （3）若f(x)=+x++--------+，则f(x)展开式中各项系数的和为f（1），奇数项系数之和为+++-------=，偶数项系数之和+++------- =。 〔练习2〕解答下列问题： 1、设f(x)= =+x++------+。 （1）若a=1，b=-3，c=0，求++-----+和++----+的值； （2）若+++------+=1024，且a-b+c=0，n=5，求正整数a、c的积的