8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 第八章 立体几何初步 课程目标 1.了解直线与直线之间的三种位置关系,会用图形语言和符号语言表示; 2.了解直线与平面之间的三种位置关系,会用图形语言和符号语言表示; 3.了解平面与平面之间的两种位置关系,会用符号语言和图形语言表示. 2 一、点线、点面位置关系 点在直线上和点在直线外. 空间中点与平面的位置关系也有两种: 点在平面内和点在平面外 思考:我们知道,长方体有8个顶点,12条棱,6个面,12条棱对应12条棱所 在的直线,6个面对应6个面所在的平面,如图所示的长方体,你能发现这些 顶点、直线、平面之间的位置关系吗? 二、直线与直线的位置关系 黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系? 二、直线与直线的位置关系 旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系? 异面直线的概念 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线,而不能单纯理解为分别在不同平面内的两条直线.要注意异面直线定义中的“任何”两个字,它指的是空间中的任意平面.因此,异面直线也可以理解为在空间中找不到一个平面,使其同时经过这两条直线. 空间内,我们把不在同一平面内的两条直线称之为异面直线 二、直线与直线的位置关系 a b 通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面的特点 异面直线的画法: a b 方法 内容 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线 反证法 既不平行,也不相交的两条直线 已知:,如 图所示,求证:直线和时异 面直线. 【证明】假设和不是异面直线,则它们相交或者平行,可以确定一个平面记为,则. 经过点和直线有且只有一个平面,因此平面和重合,从而.因为 ,所以,这与矛盾,所以直线和是异面直线. 异面直线的判定方法 异面直线判定定理:经过平面外一点和平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线时异面直线. 共面直线 异面直线 相交直线 平行直线 不同在任何一个平面内,没有公共点。 同一平面内,有且只有一个公共点 同一平面内,没有公共点; 二、直线与直线的位置关系 位置关系 共面情况 有无公共点 相交 在同一平面内 . 平行 在同一平面内 没有公共点 异面 不同在任何一个平面内 没有公共点 有且只有一个公共点 共3对:AB与CD,AB与GH,EF与GH 练习:如图所示的是一个正方体的平面展开图,如果以阴影部分为底面将它还原为正方体,那么,AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对? 观察:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可能有哪几种位置关系? 三、直线与平面的位置关系 思考:在长方体ABCD- 中,线段 B 所在直线与长方体六个面所在平面有几种位置关系? 直线与平面的位置关系只有三种: ①直线在平面内-有无数个公共点; ②直线与平面相交-有且只有一个公共点; ③直线与平面平行-没有公共点。 11 (1)直线在平面内 (2)直线与平面相交 (3)直线与平面平行 直线在平面外 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在 平面 内 . 有 公共点 直线a与平 面 相交 . 有且只有 公共点 直线a与 平面 平行 . 公共点 a⊂ 无数个 a∩ =A 一个 a∥ 无 观察 :如图,围成长方体ABCD-A′B′C′D′的 六个面,两两之间 的位置关系有几种? C′ A′ B′ D′ A B C D 观察 :教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系? 直观感觉: 桌面与地面 墙面与地面 平行 相交 平行 相交 四、平面与平面的位置关系 13 两个平面的位置关系只有两种,即两个平面平行,两个平面相交. (1)两个平面平行-没有公共点; (2)两个平面相交-有一条公共直线. ∥ ∩ =l 四、平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面 平行 . . 两平面 相交 . 有无数个公共点,这些点在 . ∥ 无公共点 ∩ =l 一条直线上 14 探究:如图,在长方体 中,连接 , 请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子, 并用符号表示这些位置关系。 例2.如图, 直线AB与直线a具有怎样的位置 关系?为什么? 解:直线AB与a是异面直线。理由如下。 若直线AB与直线a不是异面直线,则它们相交或平行。 设它们确定的平面为 ,则 。由于经过 点B与直线a有且仅有一个平面 ,因此平面 与平面 重合,从而 ,进而 ,这与 矛盾。 所以直线AB与a是异面直线。 √ 基础练习 B 17 ①② 4.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( ) (A)异面 (B)平行 (C)相交 (D)以上都有可能 5.直线l与平面 有两个公共点,则( ) (A)l∈ (B)l∥ (C)l与 相交 (D)l⊂