2.1 等式性质与不等式性质 课件（第一课时）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质（第1课时） 会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式，提升学生的数学抽象素养 理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较两个代数式的大小 经历重要不等式的发现过程，并予以证明，提升学生的逻辑推理素养． 学习目标 一、引入新课 天平 ——平衡 ——相等关系 跷跷板 ——失衡 ——不等关系 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h； （1）解：设在该路段行驶的汽车的速度为 km/h，“限速40km/h”就是的大小不能超过40，于是 （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%; （2）解：由题意得 二、从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式 （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （3）解：设的三条边长分别为，则， . （4）解：如图，设C是线段AB外任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD<CE. 从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式 问题2 第24届国际数学家大会2002年在北京召开，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 二、从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式 正方形ABCD的面积S= 四个直角三角形的面积和S’ = 从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式 当时， 所以 当且仅当时，等号成立 三、两个实数大小关系的基本事实 问题3 如何比较两个实数的大小关系呢？ A B b x （B） A （b） x B A b x 两个实数大小关系的基本事实： 把两数的大小比较转化为两数之差的符号（与0比较） 我们称之为作差法. 三、两个实数大小关系的基本事实 求证： a、b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 证明 因为，所以≥0， 因此由两个实数大小关系的基本事实， 得a2+b2≥2ab，当且仅当时，等号成立. 重要不等式:a2+b2≥2ab，当且仅当时，等号成立. 四、作差法比较大小 解：因为(x+2)(x+3) (x+1)(x+4)= 例1 比较(x +2)(x +3)和(x +1)(x +4)的大小. (x2+5x+6) (x2+5x+4)= 2 ＞0 所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)． 四、作差法比较大小 变式训练：比较(2x 1)(x 2)和(x 1)(x 4)的大小. 解：因为(2x 1)(x 2) (x1)(x 4) =(2x2 5x 2) (x2 3x 4) =x2 2x 6 =(x 1) 2 5 5>0 所以(2x 1)(x 2)＞(x 1)(x 4)． 四、作差法比较大小 小结：用作差法比较两个实数（式子）大小的基本步骤 四、作差法比较大小 反馈练习：已知，均为正实数且，试利用作差法比较与的大小   解：因为-（ ） 又因为，均为正实数且，所以 >0且 + > 0， 即 +）>0，所以. = - +（- = - ）+ （ - ） = - ）（ = +） 四、作差法比较大小 目标检测提高题：已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 当 即， 当 即， 四、作差法比较大小 综上所述：当 当， 总结：本节课我们学会了从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；能运用两个实数大小关系这个基本事实来比较两个代数式的大小. 谢谢观看 $$