全等三角形基本模型综合训练（二）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形基本模型探究（北师大版）

全等三角形基本模型综合训练（二） 1．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明． 2．已知，在中，，，点为的中点． （1）若点、分别是、的中点，则线段与的数量关系是 ；线段与的位置关系是 ； （2）如图①，若点、分别是、上的点，且，上述结论是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）如图②，若点、分别为、延长线上的点，且，直接写出的面积． 3．如图，在四边形中，，，，． （1）如图（1），将绕着点旋转，它的两边分别交边、于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明； （2）如图（2），将绕着点旋转，它的两边分别交边、的延长线于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）如图（3），将绕着点旋转，它的两边分别交边、的反向延长线于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明． 4．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①，在四边形中，是边的中点，是的平分线，． 求证：． 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点． 方法2：如图③，在上取一点，使，连接、． （1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程； （2）如图④，在四边形中，是的平分线，是边的中点，，，求证：． 5．已知，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，试探究线段BD与CE的数量关系与直线BD与CE相交构成的锐角的度数． （1）如图①，当点D，E分别在△ABC的边AB，AC上时，BD与CE的数量关系是___________，直线BD与CE相交构成的锐角的度数是_____________． （2）将图①中△DAE绕点A逆时针旋转一个角度到图②的位置，则（1）中的两个结论是否仍然成立？说明理由． （3）将图②中△DAE继续绕点A按逆时针方向继续旋转到点D落在CA的延长线时，请画出图形，并直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立． 6．如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D． (1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌ΔEBD (2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由． (3)如图③，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由． 7．如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD＝∠BCE＝90°，∠ABD＝∠BEC＝30°，点 M 为  DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点 N． （1）如 图 1，当 A、B、E三点在同一直线上时， ①求证：△MEN≌△MDA； ②判断 AC与 CN数量关系为_______，并说明理由. （2）将图 1 中△BCE绕 点 B 逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN 能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由． 8．已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H． (1) 如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F． ① 求证：CE＝AG； ② 若BF＝2AF，连接CF，求∠CFE的度数； (2) 如图2，点E为BC上一点 ，AE交BM于点F，连接CF．若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值． 9．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 10．如图，在四边形中，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动设运动时间为．    （1）如图①，连接，当时，求的值； （2）如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值； （3）如图③，当（2）中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接当时，，请求出此时的值． 11．在中，． （1）如图1、求证：： （2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连