6.4.4 平面向量的应用 课时4 三角形中的几何计算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.4平面向量的应用 第六章 平面向量及其应用 课时4 三角形中的几何计算 探究一：三角形的面积公式 问题：如何用三角形的边和角的正弦值表示三角形的面积? 情境设置 【解析】：三角形的面积公式( ℎ 为 𝑎 边上的高)中的高，所以 ，同理 . 2 新知生成 知识点一 三角形的面积公式 三角形面积的计算公式，其中𝑎，，是的内角，所对的边： (1)底×高； (2) ； (3)(是内切圆的半径)； (4) (是外接圆的半径). 3 一、三角形面积的应用 例题1已知的内角， 的对边分别为，，，. (1)求角 𝐵 的大小； (2)若△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，且，求△𝐴𝐵𝐶的面积. 【解析】(1) 由正弦定理 ，得 .又 ， ，又 为 的一个内角， ， 或 . ( 为锐角三角形， .由余弦定理得 ， ，解得 （负值舍去）， ， . 4 反思感悟 方法总结 对于计算三角形面积的问题，一般用公式 进行求解，可分为以下两种情况： (1)若所求图形为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积. (2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出其中的两边及夹角，利用三角形面积公式进行求解. 5 新知运用 跟踪训练1 在中，角 , , 所对的边分别为 , , 且 , . (1) 求的值； (2) 若 ，求的面积. 【解析】(1)在中， ， ，则 . ， ， 由正弦定理 ，可得 . (2) ， ， ，故 ， 由(1)知 ， ， .由正弦定理，得 ， ， . 6 新知生成 知识点二 三角形解的个数的判断 在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝑎，𝑏 和𝐴，以点𝐶为圆心，以边长𝑎为半径画弧，此弧与射线 𝐴𝐵 的公共点(除去顶点𝐴 )的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： 为钝角 为直角 为锐角 一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 两解 一解 无解 7 二、三角形解的个数的判断 例题2 在中，已知下列条件： , , ； , , ； , , ； , , .其中满足上述条件的三角形有两解的是( ) A.①④ B.①② C.①②③ D.③④ 【解析】①由 , , ，得 ，所以 ，所以满足条件的角 有2个，一个为锐角，另一个为钝角，故 有两解； ②由 ， ， ，得 ，所以 ，所以满 足条件的角 有2个，一个为锐角，另一个为钝角，故 有两解； ③由 ， ， ，得 ，所以 ，即 ，故 有一解； ④由 ， ， ，得 ，所以 ，所以 不存 在，故 无解.故选B. B 8 反思感悟 方法总结 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值， 也可根据该正弦值(不等于1时)在范围内求角，一个为锐角，另一个为钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求. 9 新知运用 跟踪训练2 满足条件，，的三角形有( ) . A.1个 B.2个 C.3个 D.不存在 【解析】在 中，因为 ， ， ，所以由正弦定理 ， 可得 . 又 ，所以当 且 时， 有两解，所以满足条件的 三角形有2个. B 10 三、三角形中的几何计算问题 例题3 如图，在中， ， ，点在线段上. (1) 若 ，求的长； (2) 若 ，求 的值. 【解析】(1) ， 为锐角， . ， .在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 . (2) ， ， .在 中，由余弦定理，得 ， . 在 中，由正弦定理，得 .故 . 在 中，由正弦定理得 .故 . ， . 11 反思感悟 方法总结 正、余弦定理经常结合应用，求解时注意在边角互化过程中，正、余弦定 理的变形使用，如 等. 12 新知运用 跟踪训练3 已知在 中， 是边上一点， , ， . (1) 求的长; (2) 若 ，求的面积. 【解析】(1) 由已知 ，则在 中， ， 即 ， . (2)在 中， ， ， 为等腰直角三角形， 故 的面积为