6.4.3 平面向量的应用 课时3 正弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.4平面向量的应用 第六章 平面向量及其应用 课时3 正弦定理 探究一：正弦定理 观察右侧直角三角形，根据三角函数的基本定义，我们可以推得： ，， 进行变形可得 ， 因为， 所以得到，在直角三角形中，边长和对角的正弦之比相等 即 情境设置 2 探究一：正弦定理 问题：对于直角三角形，有边与对角的正弦之比相等，那么对于锐角三角形和钝角三角形是否也有相同的结论? 情境设置 作三角形的上的高 ， ， ， 同理可得， 综上可得，锐角三角形边角间有： 由右图，作边上的高为，∵， ， ∴， ∴， 同理得证 3 新知生成 知识点一 正弦定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 (𝑅为△𝐴𝐵𝐶外接圆的半径) 4 一、正弦定理的应用 例题1 在中，已知 ，证明： (为外接圆的半径). 【解析】设是 的外接圆，直径 .如图①，当 为锐角时，连接 ，则 , . 又因为 ，所以 . 如图②，当 为钝角时，连接 ，则 , .因为 ，可得 ，所以 .当 为直角时，显然有 . 是锐角、钝角或直角，总有 .同理可证 , ，所以 . 5 反思感悟 方法总结 经历探究正弦定理的过程，让学生体会到数学新知识的获得仅仅靠猜想和演绎推理是不够的，必须经过严密的数学推导进行证明才可以.在这个过程中，也进一步促进学生数学思维品质的提升. 6 新知运用 跟踪训练1 在锐角三角形中，角 , , 所对应的边分别为 , , ，证明： . 【解析】如图， 由条件可知，角 , 都是锐角，过点 作与 垂直的单位向量 ， 与 的夹角为 ，则 与 的夹角为 ， 因为 ，所以 ，即 ,所以 ， ,即 . 7 新知生成 知识点二 正弦定理的应用 正弦定理的常见变形： (1) , , (为外接圆的半径). (2) , , ( 为外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即. (4) . (5) , , . 8 二、已知两角及任意一边解三角形 例题2 在中，已知解这个三角形. 【解析】根据正弦定理，得 . 又 ， . 9 反思感悟 方法总结 (1)正弦定理实际上是三个等式： ， ， ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道每个等式中的三个元素就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为 ，所以已知两角一定可以求出第三个角. 10 新知运用 跟踪训练2 在 中，已知 ，解这个三角形. 【解析】因为 ，所以 . 由正弦定理，得 ，解得 ， . 11 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 例题3 在中，已知 ，解三角形. 【解析】 ， . ， 或 . 当 时， ， ； 当 时， ， . ， ， 或 ， ， . 12 反思感悟 方法总结 这一类型题目的解题步骤为 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，再求出该角的大小； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. 13 新知运用 跟踪训练3 在中，，， ，求的值. 【解析】由正弦定理，得 ， 即 ，解得 . ， ， . 14 四、三角形形状的判断 例题4 在中，已知 ，且 .求证： 为等腰直角三角形. 【解析】 ， ， 又 ， ， ，即 . 设 ， 则 ， ， ， 又 ， ，即 ， 为等腰直角三角形. 15 反思感悟 方法总结 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判 断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有 ① ， ， ( 为 外接圆的半径)； ② ， ， . (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有 ① ， ， ( 为 外接圆的半径)； ② ， ， . 16 新知运用 跟踪训练4 在中,已知 ，那么 一定是( ) . A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 【解析】(法一：利用边的关系进行判断)由正弦定理和余弦定理知， 可化为 ，即 ，即 ，故 ，所以 . (法二：利用角的关系进行判断)因为在 中， ，即 ，所以 . 由 ，得 ， 即 ，所以 .因