5.3.1 函数的单调性-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章《一元函数的导数及其应用》 5.3.1 函数的单调性 [核心素养·学习目标] 学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 教学重点：建立函数的单调性与导数的正负之间的联系． 教学难点：理解函数的单调性与导数的正负之间的联系，利用导数判断函数的单调性． 课前预习 预习01　函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递 f′(x)<0 单调递 预习02　利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 预习03　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 比较“ ”(向上或向下) 越小 比较“ ”(向上或向下) 知识讲解 知识点01：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点02：讨论单调区间问题 类型01：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型02：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【大招总结】 大招1 常用结论 1．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 大招2 函数的单调性与导数的理解 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间； 在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 典型例题 【例1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导函数，由得减区间． 【详解】函数定义域是， 由已知，由得，∴减区间为， 故选：A． 【变式】已知函数，则函数的单调递增区间是______. 【答案】 【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数，于是， 所以当时，，函数单调