专题6.1空间几何中的轨迹、体积、截面问题（真题体验+九个重难热点+模拟练）-2024年新高考数学二轮复习重难点提升精讲（新高考专用）

专题6.1空间几何中的轨迹、体积、截面问题 题型一 根据位置关系求轨迹 【解题方法】1.平行关系：①线面平行转化为面面平行得轨迹；②可利用法向量垂直关系求轨迹； 2.垂直关系：①转化为面面垂直，得交线求轨迹；②利用空间坐标运算求轨迹；③将垂直关系转化为平行关系求轨迹 【例1】如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D．1 【例2】已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 【变式1-1】在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）． A． B． C． D．4a 【变式1-2】（多选）将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，动点在该六面体表面上，且满足，则（    ）    A． B．该几何体的体积为 C．动点的轨迹长为 D．该多面体内切球的半径为 【变式1-3】在棱长为4的正方体中，棱上的点满足，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．4 题型二 根据角度求轨迹 【解题方法】①若动直线与面或定直线成定角，轨迹可能是圆锥侧面；②利用空间坐标运算求轨迹 【例3】已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 .    【变式2-1】我们通常把圆、椭圆、抛物线､双曲线统称为圆锥曲线，通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，实际上，设圆锥母线与轴所成角为，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为.当，截口曲线为圆，当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为双曲线；当时，截口曲线为抛物线；如图2，正方体中，为边的中点，点在平面上运动并且使，那么点的轨迹是 . 【变式2-2】如图，在长方体中，为棱的中点，点是侧面上的动点，满足，给出下列四个结论： ①动点的轨迹是一段圆弧； ②动点的轨迹长度为； ③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点； ④三棱锥的体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是 . 【变式2-3】如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点， ，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ．    题型三 根据定长或长度关系求轨迹 【解题方法】①可转化为在一个平面内的距离关系，借助圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；②利用空间坐标运算求轨迹 【例5】在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，是平面内一点，且，若，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【例6】已知点是正四面体内的动点，是棱的中点，且点到棱和棱的距离相等，则点的轨迹被平面所截得的图形为（    ） A．线段 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【变式3-1】已知边长为的正方体，点为内一个动点，且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为 ． 【变式3-3】已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 ． 题型四 翻折运动中求轨迹 【解题方法】①翻折过程中寻找不变的垂直关系或者长度关系求轨迹；②利用空间坐标运算求轨迹 【例7】（多选）如图，在矩形中，，沿对角线向上翻折，得到，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点使得 B．三棱锥体积的最大值为 C．当时，直线与平面所成的线面角为 D．当在平面的投影在内部（含边界）时，的轨迹长度为 【例8】如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 .    【变式4-1】（多选）如图，已知矩形为中点，为线段（端点除外）上某一点．沿直线沿翻折成，则下列结论正确的是（    ）    A．翻折过程中，动点在圆弧上运动 B．翻折过程中，动点在平面的射影的轨迹为一段圆弧 C．翻折过程中，二面角的平面角记为，直线与平面所成角记为，则． D．当平面平面时，在平面内过点作为垂足，则的范围为 【变式4-2】矩形ABCD中，，E为AB中点，将△ADE沿DE折起至△A'DE，记二