1.4 角平分线(2) 课件-2023-2024学年北师大版数学八年级下册

1.4角平分线(2) 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 知识点：三角形的角平分线的性质 1．已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是(　 　) A．P是∠A与∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 B 2．如图，三条公路相交形成一个三角形区域，现要在这个三角形区域内建一个仓库，使得仓库到各公路的距离相等，你能确定仓库的位置吗？ 略 3．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G. (1)求证：AD垂直平分EF； 证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°. ∴∠DEF＝∠DFE.∴∠AEF＝∠AFE. ∴AE＝AF.∴点A、D都在EF的垂直平分线上． ∴AD垂直平分EF. 3．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G. (2)若∠BAC＝60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由． 解：AG＝3DG.理由： ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝30°.∴AD＝2DE，∠EDA＝60°. ∵AD⊥EF，∴∠EGD＝90°.∴∠DEG＝30°.∴DE＝2DG.∴AD＝4DG.∴AG＝3DG. 4．到三角形三边距离相等的点是(　 　) A．三角形三边中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形任意两个角平分线的交点 D．三角形任意两边垂直平分线的交点 C 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论：(1)AD上任意一点到点B、C的距离相等；(2)AD上任意一点到AB、AC的距离相等；(3)BD＝CD，AD⊥BC；(4)∠BDE＝∠CDF，其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 6．如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D. 求证：(1)OC＝OD； 证明：(1)∵∠COE＝∠DOE，PC⊥OA， PD⊥OB，∴PC＝PD. ∵OP＝OP，∴Rt△OCP≌Rt△ODP. ∴OC＝OD. 6．如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D. 求证：(2)OP是CD的垂直平分线． 证明：(2)∵P是∠AOB平分线上的一点， ∴∠COP＝∠DOP.       ∴△COE≌△DOE(SAS)，∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEO， 即OE⊥CD，∴OP是CD的垂直平分线. 7．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(　 　) A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 C 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为(　 　)     A．2 B．3 C．4 D．无法确定 B 9．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AB＝AC，DE＝DF.求证：BD＝CD. 证明：如图，连接AD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF， ∴∠BAD＝∠CAD.       ∴△ABD≌△ACD，∴BD＝CD. 10．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC. (1)求证：AM平分∠DAB； 证明：如图，过点M作ME⊥AD于点E， ∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD， ∴MC＝ME. ∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝ME. ∵∠B＝90°，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB. (2)线段DM与AM有怎样的位置关系？说明理由． 解：AM⊥DM，理由如下： ∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥DC， ∴∠BAD＋∠ADC＝180°. ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC， ∴∠MAD＝ ∠BAD，∠MDA＝ ∠ADC， ∴∠MAD＋∠MDA＝ (∠BAD＋∠ADC)＝90°， ∴∠AMD＝90°，∴AM⊥DM. 11．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于__________． 2∶3∶4 课后强化 1．三角形内到三边的距离相等的点是(　 　) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．以上均不对 C 2．已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是(　 　)