2024年中考数学二轮复习专题突破课件 专题十四 折叠

模块六 动态问题 专题十四 折叠 (1)折叠变换是全等变换，折叠前后的两个图形是全等图形，解题过程中要抓住对应边、对应角对应相等的关系，快速找到问题的切入点； (2)证明或计算过程中要关注图形本身的性质； (3)折叠问题中的有关计算常用的工具有勾股定理、解直角三角形、相似三角形对应边成比例等． 专题指导 1．(2022阿坝州)如图，在矩形ABCD中，⁠AB＝4，BC＝8，将矩形沿对角线BD对折，BC的对应边BE与AD相交于点P，则PD的长为 　5　 ⁠． 5　 专题冲关 【解析】∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝8，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠C＝90°，AD∥BC．∴∠PDB＝∠CBD．根据折叠的性质，得∠CBD＝∠EBD，DE＝CD＝4，BE＝BC＝8.∴∠PDB＝∠EBD，即∠PDB＝∠PBD．∴BP＝PD．设BP＝PD＝x，则PE＝BE－BP＝8－x.在Rt△DEP中，DE2＋PE2＝PD2，∴42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5.∴PD＝5. 2．(徐州中考)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF. (1)求证：∠ECB＝∠FCG； 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD． 由折叠，得∠A＝∠ECG.∴∠BCD＝∠ECG. ∴∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF. ∴∠ECB＝∠FCG. (2)求证：△EBC≌△FGC． (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝CB． 由折叠，得∠G＝∠D，CG＝AD． ∴∠B＝∠G，CB＝CG.∵∠ECB＝∠FCG， ∴△EBC≌△FGC(ASA)． 3．(广东中考)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG； (1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°. ∴∠AFG＝180°－90°＝90°.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°. 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)． (2)求BG的长． (2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x. ∵点E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3. ∴EG＝3＋x. ∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2. 解得x＝2.∴BG＝2. 4.(广东中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；点E，F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． (1)求证：△ABG≌△C′DG； (1)证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，四边形ABCD是矩形， ∴∠C′＝∠C＝∠BAG＝90°，C′D＝AB＝CD．在△ABG与△C′DG中，∴△ABG≌△C′DG(AAS)． (2)求tan ∠ABG的值； (2)解：由(1)可知△ABG≌△C′DG.∴GD＝GB．∴AG＋GB＝AD．设AG＝x，则GB＝8－x. 在Rt△ABG中，AB2＋AG2＝BG2， 即62＋x2＝(8－x)2.解得x＝.∴AG＝. ∴tan ∠ABG＝＝＝. (3)求EF的长． (3)解：∵△AEF是由△DEF翻折而成的， ∴EF垂直平分AD．∴HD＝AD＝4. ∵△ABG≌△C′DG，∴∠ABG＝∠ADE. ∴tan ∠ADE＝＝tan ∠ABG＝.∴EH＝HD·＝4×＝. ∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF∥AB．∴△DHF∽△DAB．∴＝＝.∴HF＝AB＝×6＝3.∴EF＝EH＋HF＝＋3＝. 5．(2022无锡)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF. (1)求EF的长； 解：(1)∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC． 根据翻折，得AF＝AB＝2，∠ECA＝∠FCA， ∠BAC＝∠FAC．∵四边形ABCD是矩形， ∴DA∥CB．∴∠ECA＝∠CAD．∴∠EAC＝∠CAD． ∴∠FAC－∠CAD＝∠BAC－∠EAC，即∠DAF＝∠BAE. ∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°.设CE＝AE＝x，则BE＝4－x. 在Rt△BAE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即(2)2＋(4－x)2＝x2.解得x＝3.∴AE＝3.∴在Rt△EAF中，EF＝＝. (2)求sin ∠CEF的值． (2)如图，过点F作FG⊥BC于点G.设CG