三角函数期中复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

三角函数 1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质和图形特点 三角函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递减 递增 最值 时，最大值1 时，最小值 时，最大值1 时，最小值 无最大值 无最小值 图像 【练习】1.函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2.函数的定义域是_________ 2.三角函数的性质 类型1 求三角函数的值域和最值、单调区间、对称轴、对称中心、周期 方法：换元的思想，令 求值域和最值：根据范围求的范围，再求的范围； 求单调区间：根据复合函数“同增异减”原则，求增区间令 求减区间令； 【注意】若，则作适应改变，自行斟酌 求对称轴：令 求对称中心：令 求周期： 【练习】已知，回答下列问题： ①的周期为_______； ②的单调减区间为______________；在上的增区间为_____________ ③的对称轴方程为____________________；的对称中心为__________________ ④在上的值域为____________. 类型2 根据三角函数相关性质（值域或最值、单调区间、对称轴、对称中心、奇偶性、周期）反过来求参数（如、） 方法：换元思想，转化为的问题去分析即可 已知值域或最值：结合的图像，先分析的范围 已知某对称轴：说明在处取最大或最小值，有 已知某对称点：说明在处，有 已知奇偶性：奇函数则有，偶函数则有 【练习】1.已知函数在区间上递减，则实数的取值范围是_________ 2.已知函数的图像关于直线对称，则的值是_____ 3.若函数（）为奇函数，则最小值为_______ 4.已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） （A） （B） （C） （D） 5.设函数，若对任意的实数均成立，则的最小值为_______ 6.已知函数的图像关于点对称，且，则实数的值为 __ 类型3 三角函数中常见值域求法 ①：根据的范围，求的范围，结合正弦函数图像求值域； ②或：可以换元令，转化为关于的二次函数去做； ③：可以换元令，则，转化为关于的二次函数去做； ④：可以换元令，转化为关于的一次/一次的分式函数去做； ⑤：变形为， 利用的有界性，解关于的不等式即可； ⑥或：利用降次公式先降次为 或，再用辅助角公式化为形式； 【练习】①； ②； ③； ④； ⑤; ⑥已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________ 类型4 函数向右平移个单位后成为，具有某些性质，求参数、或者 通法：向右平移个单位后的 具备的性质 对应的解决方案 若关于轴对称（或者说是偶函数） 若关于原点对称（或者说是奇函数） 若有一条对称轴为 若关于点对称 若与原图像重合 【注意】若、向左平移个单位，则相应解决方案适应改变，自行斟酌 【练习】①若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是 ②设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是 ③函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则____ 3.三角函数相关方程 类型1 解三角方程 ①的解：或， 比如，则或， ②的解：或， 比如，则或， ③的解：， 比如，则， ④或的解：可以先换元令，求出一元二次方程的根，再转化成①去求； ⑤的解：或者，如果是求的解，可以先把余弦变为正弦； 【练习】①；②； ③已知，方程在区间上所有解的和为_________ 类型2 三角函数的零点个数问题、三角方程的解的问题 方法：有解问题可以转化为三角函数求值域，具体有几个解的问题可以转化为两个函数交点问题，一般是三角函数和一条直线 【练习】1.①若关于的方程在时有解，则实数的取值范围为______ ②若关于的方程在时有解，则实数的取值范围为______ 2.设常数使方程在闭区间上恰有三个解，，，则 3.已知函数. （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若在区间上有两个解，求的取值范围及的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数 1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质和图形特点 三角函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递减 递增 最值 时，最大值1 时，最小值 时，最大值1 时，最小值 无最