2024年中考数学二轮复习专题突破课件 专题十二 二次函数最值问题

模块五 函数综合 专题十二 二次函数最值问题 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值的方法： (1)如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在图象的顶点处取得最大值或最小值，即当x＝－时，y最值＝. 专题指导 (2)如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2(x1<x2，x1，x2对应的函数值分别为y1，y2)，那么，首先要看－是否在自变量x的取值范围内．若－在此范围内：①当a>0时，y最小＝.y的最大值要看－－x1与x2－(-)的大小：当前者大时，y最大＝y1；当后者大时，y最大＝y2.②当a<0时，y最大＝.y的最小值要看－－x1与x2－(-)的大小：当前者大时，y最小＝y1；当后者大时，y最小＝y2；若－不在此范围内，直接利用二次函数的增减性求最值即可． 一、给出函数解析式(部分含参数)，讨论函数在某个范围内的最值．解决此类问题时最好利用函数的图象(数形结合)求之． 专题冲关 1．(2023哈尔滨三模)抛物线y＝－3(x－4)2－5的最大值为（　D　） A．4 B．－4 C．5 D．－5 D 2．(2022贺州)已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　D　） A．1 B．2 C．3 D．4 D 3．(2022绍兴)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)． (1)求b，c的值； 解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得 (2)当－4≤x≤0时，求y的最大值； (2)由(1)知，y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6. ∵－4≤x≤0， ∴当x＝－3时，y有最大值为6. (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． (3)①当－3＜m≤0时，y随x的增大而减小． 当x＝0时，y有最小值为－3.当x＝m时，y有最大值为－m2－6m－3. ∴－m2－6m－3＋(－3)＝2.∴m1＝－2，m2＝－4(舍去)． ②当m≤－3时，x＝－3时y有最大值为6. ∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为－4.∴－(m＋3)2＋6＝－4. ∴m1＝－3－，m2＝－3＋(舍去)． 综上所述，m的值为－2或－3－. 二、求几何图形的最值，如线段长度，图形面积等．一般先求出关系式，再根据关系式求最值(要特别注意自变量的取值范围)． 4．如图所示，点E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F. (1)求证：△ADE∽△BEF； (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAE＝∠FBE＝90°.∴∠ADE＋∠AED＝90°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠AED＋∠FEB＝90°. ∴∠ADE＝∠FE B．∴△ADE∽△BEF. (2)设正方形ABCD的边长为4，AE＝x，BF＝y.当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值． (2)解：由(1)，得△ADE∽△BEF.∴＝. ∵AD＝4，AE＝x，∴BE＝4－x.∴＝. 化简，得y＝(－x2＋4x)＝[－(x－2)2＋4]＝－(x－2)2＋1. ∴当x＝2时，y有最大值1. 5．(2022无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m．(如图) (1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值； 解：(1)根据题意知，较大矩形的宽为2x m，长为＝(8－x) m． ∴(x＋2x)(8－x)＝36.解得x1＝2，x2＝6. 经检验，x＝6时，3x＝18>10， 不符合题意，舍去． ∴x＝2. ∴此时x的值为2 m． (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ (2)设矩形养殖场的总面积是y m2. ∵墙的长度为10 m，∴0<x≤. 根据题意，得y＝(x＋2x)(8－x)＝－3x2＋24x＝(-3 ) ＋48. ∵－3<0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为 －3× ＋48＝(m2)． ∴当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2. $$