2024年中考数学二轮复习专题突破课件 专题九 切线的判定

模块四 几何证明与计算 专题九 切线的判定 切线的证明是中考常考考点，常见的题型有两类：(1)直线与圆有公共点：连半径，证垂直；(2)不知道直线与圆是否有公共点：作垂线，证半径． 专题指导 ⁠ ⁠知道直线与圆有公共点，证两线平行 1．(2023鄂州)如图，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F. 专题冲关 (1)求证：CD是⊙O的切线； (1)证明：如图1，连接OC．∵点C为的中点， ∴＝.∴∠EAC＝∠BAC． ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA． ∴∠EAC＝∠OCA．∴AE∥OC． ∴∠ADC＝∠OCF. ∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°.∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF. 又OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． (2)若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长． (2)解：如图2，连接CE，BC．∵CD⊥AD，∴∠D＝90°. ∵DE＝1，DC＝2， ∴CE＝＝＝. ∵点C是的中点，∴＝.∴CE＝CB＝. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠DEC＋∠AEC＝180°，∠ABC＋∠AEC＝180°， ∴∠DEC＝∠ABC．∴△DEC∽△CBA． ∴＝.∴＝.∴AB＝5.∴AO＝AB＝.∴⊙O的半径长为. 2．(2023常德)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，点C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E. (1)求证：CE是⊙O的切线； (1)证明：如图，连接OC．∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA．∵点C是的中点， ∴＝. ∴∠OAC＝∠CAE.∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE. ∵AD⊥CE，∴OC⊥CE.∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． (2)若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长． (2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10. ∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°， ∴△AEC∽△ACB． ∴＝，即＝.∴CE＝. ∵点C是的中点，∴＝.∴CD＝BC＝6.∴DE＝＝. 3.(2023仙桃)如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC． (1)求证：AE为⊙O的切线； (1)证明：∵AB∥CE，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD． ∵BD是边AC上的中线，∴AD＝CD． ∴△ABD≌△CED(AAS)．∴AB＝CE. ∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE∥BC． 如图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵AB＝AC，∴AH为BC的垂直平分线． ∴点O在AH上．∴AH⊥AE，即OA⊥AE. ∵点A在⊙O上，∴AE为⊙O的切线． (2)若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长． (2)解：如图，过点D作DM⊥BC于点M，连接OB． ∵AH为BC的垂直平分线，∴BH＝HC＝BC＝3. ∴OH＝＝＝4. ∴AH＝OA＋OH＝5＋4＝9. ∴AB＝AC＝＝＝3.∴CD＝AC＝. ∵AH⊥BC，DM⊥BC，∴DM∥AH.∴△CMD∽△CHA． ∵AD＝CD，∴＝＝＝. ∴MC＝HC＝，DM＝AH＝.∴MH＝. ∴BM＝BH＋MH＝3＋＝. ∴BD＝＝＝ . ∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB， ∴△FCD∽△ABD．∴＝.∴＝.∴FC＝5. 4．(2019广东)如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF. (1)求证：ED＝EC； (1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠BCD＝∠ADC．∴ED＝EC． (2)求证：AF是⊙O的切线； (2)证明：如图1，连接OA．∵AB＝AC，∴＝.∴OA⊥BC． ∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠F.∴∠ACD＝∠CAF＋∠F＝2∠CAF. ∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB． ∴∠CAF＝∠ACB．∴AF∥BC．∴OA⊥AF. ∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线． (3)如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长． (3)解：∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB， ∴△ABE∽△CBA．∴＝.∴AB2＝BC·BE. ∵BC·BE＝25，∴AB＝5. 如图2，连接AG.∴∠BAG＝∠BAD＋∠DAG， ∠BGA＝∠GAC＋∠ACB． ∵点G是△ACD的内心，∴∠DAG＝∠GAC． ∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴∠BAD＋∠DAG＝∠ACB＋∠GAC，