第17课 函数y＝Asin(ωx＋φ)-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第17课 函数y＝Asin(ωx＋φ) 普查与练习17　　　　函数y＝Asin(ωx＋φ) 1．“五点法”画正、余弦型函数的图像 (1)(2021广东珠海校级模拟节选，6分)已知函数f(x)＝cos(x＋)＋sinx.利用“五点法”列表，并画出f(x)在上的图像． 答案：见解答过程 解：函数f(x)＝cos＋sinx＝cosxcos－sinxsin＋sinx＝cosx＋sinx＝sin.(3分) 利用“五点法”列表如下： x＋ 0 π 2π x － f(x) 0 1 0 －1 0 画出f(x)在上的图像，如图所示． 　(6分) 2．三角函数图像变换 a．常见的三角函数图像变换 (2)(多选)(2020山东模拟，5分)函数f(x)＝2sin的图像可由函数g(x)＝sin2x －cos2x的图像如何变化得到(　AD　) A．先将g(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．先将g(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．先将g(x)的图像上所有点向左平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．先将g(x)的图像上所有点向左平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 解析：g(x)＝sin2x－cos2x＝2sin. 先将g(x)＝2sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sin的图像；再将所得图像向左平移个单位，可得函数f(x)＝2sin的图像，故A正确． 先将函数g(x)的图像上所有点向左平移个单位，可得y＝2sin的图像；再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f(x)＝2sin的图像，故D正确．故选AD. (3)(2021全国Ⅱ，5分)把函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像，则f(x)＝(　B　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．sin B．sin C．sin D．sin 解析：(法一)函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图像，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到y＝f的图像． 根据已知得到函数y＝sin的图像， 所以f＝sin. 令t＝2，则x＝＋，x－＝＋， 所以f(t)＝sin，即f(x)＝sin.故选B. (法二)由函数y＝sin的图像逆向变换． 第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋－)＝sin的图像； 第二步：图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图像，即为y＝f(x)的图像，所以f(x)＝sin.故选B. (4)(2020辽宁沈阳一模，5分)如果将函数y＝sinx＋cosx的图像向右平移θ个单位得到函数y＝3sinx＋acosx(a＜0)的图像，则tanθ的值为(　A　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B. C. D．3 解析：函数y＝sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)＝sin，将其图像向右平移θ个单位后，可得到函数y＝sin的图像． 函数y＝3sinx＋acosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝. 由题可知，y＝sin与y＝sin(x＋φ) 表示同一函数，∴＝，且－θ＋2kπ＝φ，k∈Z. 又a＜0，∴a＝－1，此时tanφ＝－. ∵θ＝－φ＋2kπ，k∈Z， ∴tanθ＝tan＝＝2.故选A. b．诱导公式在三角函数图像变换中的应用 (5)(2021安徽池州适应性考试，5分)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　D　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 解析：因为C2：y＝sin＝sin(2x＋＋)＝cos，故把问题转化为由y＝cosx的图像经何种变换得到y＝cos的图像．将y＝cosx的图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝cos2x的图像，再将y＝cos2x的图像向左平移个单位长度得到y＝cos的图像．故选D. (6)(经典题，5分)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到y＝cosx的图像，则f＝(　C　) A．1　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D．－ 解析：(法一)由题意可知，函数y＝cosx的图像先向右平移个单位长度，得到y＝cos的图像；再将其图像上的每一点的横坐标缩短至原来的(纵坐标不变)，可以得到函数y＝cos的图像．根据题意知f(x)＝cos，∴f＝.故选C. (法二)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝sin的图像； 再将其图像向左平移个单位长度，可得y＝sin[ω(x＋)＋φ]＝sin(ωx＋＋φ)的图像． ∵最终得到y＝cosx＝sin的图像，∴ω＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴ω＝2， φ＝2kπ－，k∈Z.∵－<φ<， ∴φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)，∴f＝sin＝.故选C. (7)(2021天津校级月考，5分)将函数y＝sin2x的图像向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos的图像，则φ等于(　C　) A. B. C. D. 解析：将函数y＝sin2x的图像向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝sin(2x＋2φ)＝cos的图像． 由已知可得，平移后得到函数y＝cos的图像， 所以cos＝cos， 所以2φ－＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝kπ＋，k∈Z. 又0≤φ≤，所以φ＝.故选C. (8)(经典题，5分)为了得到函数y＝－sin2x的图像，可将函数y＝sin＋1的图像(　C　) A．向左平移个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移个单位，再向下平移1个单位 解析：(法一)∵y＝－sin2x＝sin(2x－π)＝sin2(x－)，且y＝sin＋1＝sin2＋1， ∴问题转化为将函数y＝sin2＋1的图像经过何种变换得到函数y＝sin2的图像， ∴将y＝sin＋1的图像向右平移个单位长度，得到y＝－sin2x＋1的图像，再将该函数图像向下平移1个单位长度，得到y＝－sin2x的图像．故选C. (法二)∵y＝sin＋1＝－sin＋1＝－sin2＋1，∴问题转化为将函数y＝－sin2(x＋)＋1的图像经过何种变换得到函数y＝－sin2x的图像．∴将y＝sin＋1的图像向右平移个单位长度，得到y＝－sin2x＋1的图像，再将图像向下平移1个单位长度，得到y＝－sin2x的图像．故选C. c．三角函数图像变换与性质的综合 (9)(2019天津，5分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　C　) A．－2 B．－ C. D．2 解析：因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以φ＝kπ， k∈Z.又|φ|<π，所以φ＝0，即f(x)＝Asinωx.由题意可得g(x)＝Asin，所以T＝＝2π，解得ω＝2.又g＝Asin＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin2x，所以f＝2sin＝.故选C. (10)(2021湖南长沙校级月考，5分)将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图像向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)图像的一条对称轴方程为(　D　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：(法一)将函数f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)的图像向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝sin[2＋]＝sin(2x＋＋)＝sin的图像． 令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，则令k＝0，可得函数g(x)图像的一条对称轴方程为x＝.故选D. (法二)f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin. 令2x＋＝kπ＋，k∈Z，可得x＝＋，k∈Z， ∴函数f(x)图像的对称轴为直线x＝＋，k∈Z. 将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图像，即函数g(x)图像的对称轴为直线x＝－＝＋，k∈Z. 令k＝0，可得函数g(x)图像的一条对称轴方程为x＝.故选D. (11)(多选)(2020山东泰安四模，5分)设函数g(x)＝sinωx(ω＞0)的图像向左平移个单位长度得到函数f(x)的图像，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　CD　) A．f(x)的图像关于直线x＝对称 B．f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 解析：由题意得f(x)＝g＝sin[ω(x＋)]＝sin，它的周期T＝.画出函数f(x)图像的示意图， 如图所示，其中xA＝－＋T＝－＋×＝，xB＝－＋3T＝－＋3×＝.　 对于A，令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以f(x)的图像关于直线x＝＋，k∈Z对称，故A不正确； 对于B，因为f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，所以根据函数图像可知，xA≤2π<xB，所以f(x)在(0，2π)有3个极大值点，有2个或3个极小值点，故B不正确； 对于D，由xA≤2π<xB，可得≤2π<，解得≤ω<，故D正确； 对于C，－＋T＝－＋×＝，根据函数图像可知，f(x)在上递增，因为ω<<3，所以－＝<0，即<，所以f(x)在上单调递增， 故C正确．故选CD. 3．正、余弦型函数图像的应用 a．根据图像求正、余弦型三角函数解析式 (12)(2021全国Ⅰ，5分)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f＝ __－__． 解析：由图可知T＝－＝，即T＝＝π， ∴|ω|＝2, 不妨取ω＝2. 当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝2kπ－π(k∈Z)， ∴f(x)＝2cos＝2cos， ∴f＝2cos(2×－)＝2cos＝－. (13)(多选)(2020海南，5分)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝(　BC　) A．sin B．sin C．cos D．cos 解析：(法一)根据题意，不妨设ω>0. 由图像知函数的周期T＝2×＝π， 所以＝π，即ω＝2. 由五点法得2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 所以sin(ωx＋φ)＝sin ＝sin＝sin ＝cos＝cos＝sin. 故选BC. (法二)由图可知f(0)>0，故排除D；又函数图像过点，故排除A. 因为cos＝cos＝sin， 所以B，C的函数图像相同．故选BC. (经典题，5分)已知函数y＝Asin的部分图像如图所示，且ω>0，|φ|<，则函数解析式为(　A　) A． y＝－4sin B． B．y＝4sin C． y＝－4sin D． D．y＝4sin 解析：函数的最小正周期为[6－(－2)]×2＝16，即16＝，∴ω＝.当A>0时，根据函数的图像，得A＝4，∴y＝4sin.∵函数图像过点(－2，0)，且该点在减区间上， ∴×(－2)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z.经验证，不存在k∈Z使|φ|<，∴A>0不满足题意． A<0时，根据函数的图像，得A＝－4， ∴y＝－4sin＝4sin(x＋φ＋π)． ∵函数图像过点(－2，0)，且该点在减区间上， ∴×(－2)＋φ＋π＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z， 又|φ|<，∴令k＝0，得φ＝，∴y＝－4sin.故选A. b．根据图像判断三角函数的性质 (14)(2020北京密云区一模，4分)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　D　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：(法一)根据图像可知，T＝－，所以T＝2. 易知f(x)的一个单调递增区间为[－，＋]，即，故f(x)的单调递增区间为，k∈Z，即[－＋2k，－＋2k]，k∈Z.故选D. (法二)根据图像可知，T＝－，所以T＝2， 所以ω＝π，即f(x)＝sin(πx＋φ)． 由五点法得＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin(πx＋＋2kπ)＝ sin. 令－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋2k≤x≤－＋2k，k∈Z.故选D. (15)(2021天津模拟，5分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像如图所示，把函数f(x)的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝g(x)的图像，给出下列结论： ①φ＝； ②函数g(x)的最小正周期为π； ③函数g(x)在区间上单调递增； ④函数g(x)的图像关于点中心对称． 其中正确结论的个数是(　C　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：根据函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像， 可得T＝>，且T<，∴ω∈. 把(0，)代入，可得2sinφ＝，∴φ＝或φ＝. 把代入，可得ω·＋φ＝2kπ＋，k∈Z. 当φ＝时，ω·＋＝2kπ＋，k∈Z，解得ω＝＋，k∈Z，不满足ω∈，故φ＝，故①错误． 由①得ω·＋＝2kπ＋，k∈Z， 解得ω＝－＋，k∈Z. 令k＝1，可得ω＝2，满足ω∈， 故f(x)＝2sin. 把函数f(x)的图像上所有的点向右平移个单位长度， 可得到函数y＝g(x)＝2sin的图像， 故g(x)的最小正周期为＝π，故②正确． 当x∈时，2x＋∈， 故g(x)单调递增，故③正确． 令x＝－，得g(x)＝－≠0，故g(x)的图像不关于点中心对称，故④错误．故选C. 4．正、余弦型函数与其他知识的综合 (16)(2020天津南开区二模，5分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，且与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，则函数f(x)的导函数f′(x)的一个单调减区间为(　A　) A. B. C. D. 解析：∵y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，∴函数的周期T＝2×＝π，∴T＝＝π， ∴ω＝2.∵y＝f(x)的图像关于直线x＝对称， ∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝－＋(k－1)π，k∈Z. 又|φ|＜，∴φ＝－， ∴f(x)＝sin，f′(x)＝2cos. 令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 故f′(x)的单调减区间为，k∈Z. k＝0时，可得f′(x)的一个单调减区间为.故选A. (17)(2020山东泰安模拟，5分)将函数f(x)＝cosx图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数y＝g(x)的图像，则g(x)的解析式为__g(x)＝cos__；若方程g(x)＝在x∈(0，π)的解为x1，x2，则cos(x1－x2)＝__－__． 解析：将函数f(x)＝cosx图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到y＝cos2x的图像，再将图像向右平移个单位，可得到y＝cos2＝cos的图像，∴g(x)＝cos. 当x∈(0，π)时，－<2x－<. ∵方程g(x)＝在x∈(0，π)的解为x1，x2， ∴g(x1)＝g(x2)＝， 即cos＝cos＝. 令2x－＝π，得x＝，即函数y＝g(x)的图像关于直线x＝对称，∴x1＋x2＝，∴＋ ＝2π， ∴cos(2x1－2x2)＝cos[(2x1－)－] ＝cos[－2π＋]＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－， ∴cos2(x1－x2)＝＝. ∵0<cos＝<，不妨设x1<x2， ∴<2x1－<，∴<x1<， ∴x1－x2＝ x1－＝2x1－∈(－，－)， ∴cos(x1－x2)＝－. (18)(2021安徽池州模拟，12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示． (Ⅰ)求函数f(x)的解析式； 答案：f(x)＝2sin 解：根据函数f(x)的图像，可得A＝2，×＝－，∴ω＝2. 再结合五点法作图过程可得，2×＋φ＝， ∴φ＝，∴f(x)＝2sin.(4分) (Ⅱ)在△ABC中，角A为三角形的内角，且f(A)＝1，D在边BC上，AD是∠BAC的平分线，AB＝1，AC＝3，求AD的长度． 答案： 解：在△ABC中，角A为三角形的内角且f(A)＝2sin(2A＋)＝1，∴2A＋＝，即A＝.(6分) ∵AD是∠BAC的平分线，AB＝1，AC＝3， ∴∠BAD＝∠CAD＝. 由余弦定理的推论得cos∠BAC＝＝， 解得BC＝. 同理可得cosB＝＝－，故sinB＝.(9分) ∵sin∠ADB＝sin＝cosB＋sinB＝， ∴在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AD＝.(12分) 5．三角函数模型的应用 (19)(2020北京校级开学，4分)如下图所示，点O为做简谐运动的物体m的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时，则物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系式为(　D　) A．x＝sin B．x＝3sin C．x＝sin D．x＝3sin 解析：设位移x关于时间t的函数关系式为x＝f(t)＝Asin(ωt＋φ)(ω>0)，则A＝3，周期T＝＝3，故ω＝. 由题意可知，当t＝0时，f(t)取得最大值3，故3sinφ＝3，故φ＝＋2kπ，k∈Z.故选D. (20)(2021北京模拟，4分)京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为(　B　) A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟 解析：如图所示， (法一)由题意可知，摩天轮转动的角速度为＝.　 因为OC＝100－44－34＝22，所以∠BOC＝， 所以最佳观赏期的圆心角为2π－＝， 故在运行的一圈里最佳观赏时长为＝12(分钟)．故选B. (法二)根据题意，摩天轮转动时，可设乘客与地面的距离与时间之间满足关系式f(t)＝asin(ωt＋φ)＋b. 摩天轮转动的角速度为ω＝＝； 摩天轮的直径为88米，故a＝＝44； 摩天轮所在圆的圆心距离地面的高度为100－＝56(米)， 故b＝56. 当t＝0时，乘客与地面的距离为100－88＝12(米)，故12＝44sinφ＋56，得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 故f(t)＝44sin＋56(0≤t≤18)． 令f(t)≥34，得sin≥－， 所以－＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z， 解得3＋18k≤t≤15＋18k，k∈Z，故3≤t≤15， 所以最佳观赏时长为15－3＝12(分钟)．故选B. 随堂普查练17 1．(经典题，12分)已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x. (1)用“五点作图法”在如图所示给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图像； 答案：见解答过程 解析：解：f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin.在[0，π]上，2x＋∈[，]． 根据“五点作图法”列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π y 1 2 0 －2 0 1 则函数f(x)在区间[0，π]上的图像如下图： (5分) (2)先将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)图像的对称中心． 答案：(k∈Z) 解：将函数f(x)＝2sin的图像向右平移个单位长度后得到y＝2sin＝2sin(2x－)的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图像．令－＝kπ(k∈Z)，可得x＝2kπ＋(k∈Z)，故g(x)图像的对称中心为(＋2kπ，0)(k∈Z)．(12分) 2．(2020北京房山区一模，5分)将函数f(x)＝sin的图像向右平移s(s＞0)个单位长度，所得图像经过点，则s的最小值是____． 解析：将函数f(x)＝sin的图像向右平移s个单位长度，所得图像对应的函数为y＝sin[2(x－s)－]，再由所得图像经过点，可得sin(π－2s－)＝sin＝1， ∴－2s＝2kπ＋，k∈Z，解得s＝－kπ＋，k∈Z. 又∵s>0，∴s的最小值是. 3． (经典题，5分)函数f(x)＝sin的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到y＝cos2x的图像，则φ的最小值为(　A　) A. B. C. D. 解析：将函数f(x)＝sin的图像向右平移φ (φ>0)个单位长度后得到y＝cos2x＝sin(2x＋)的图像，即sin＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x－2φ＋)，可得－2φ＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝－kπ－(k∈Z)．由于φ>0，可得φ的最小值为.故选A. 4．(2018天津，5分)将函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　A　) A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 解析：将函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，得函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin＝sin2x的图像．令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 当k＝1时，可得≤x≤；当k＝2时，可得≤x≤.故[，]和[，]为单调递增区间，A选项正确，B，C，D选项错误．故选A. 5．(2020天津和平区二模，5分)把函数f(x)＝Asin(A≠0)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，若函数g(x－m)(m＞0)是偶函数，则实数m的最小值是(　A　) A. B. C. D. 解析：根据题意可得，g(x)＝Asin[2－]＝－Acos.　 若函数g(x－m)(m＞0)是偶函数，则g(0－m)＝－Acos＝±A，即cos＝±1， ∴2m＋＝kπ，k∈Z，解得m＝－＋，k∈Z. 又∵m＞0，∴当k＝1时，m取得最小值.故选A. 6．(2020山东烟台一模，5分)将函数f(x)＝cosx的图像向右平移π个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的(ω＞0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围是(　A　) A. B. C. D. 解析：将函数f(x)＝cosx的图像向右平移π个单位长度，可得y＝cos的图像； 再将各点的横坐标变为原来的(ω＞0)，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cos的图像． 当x∈时，ωx－∈. ∵cos＝cos＝－， ∴0≤－≤，解得≤ω≤.故选A. 7．(2021全国Ⅰ，5分)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则满足条件>0的最小正整数x为__2__． 解析：由图可知T＝－＝，即T＝＝π， 所以|ω|＝2.不妨取ω＝2， 由五点法可得2×＋φ＝，解得φ＝－， 所以f(x)＝2cos， 所以f＝2cos＝1， f＝2cos＝0. 由题可知>0， 即[f(x)－1]f(x)>0，解得f(x)>1或f(x)<0. 令f(x)＝1，x∈，得x＝，则0<f(1)<1； f(x)在y轴右侧第2个零点为＋＝>2， 则f(2)<0， 故满足条件的x的最小正整数为2.故答案为2. 8．(经典题，5分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，＜，部分图像如图所示，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　D　) A．对称轴方程是x＝＋kπ(k∈Z) B．对称中心坐标是 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 解析：由图可知， 函数的最小正周期为T＝2×＝2π， 一条对称轴为x＝＝， ∴函数的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z， ∴A，C错误； 由图像易知函数的一个对称中心为， ∴函数的对称中心为，k∈Z，∴B错误；延伸函数图像，如图所示，可知f(x)在[－，－]上单调递减，又－<－π<－，∴D正确． 9．(2021山西临汾模拟，12分)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深关系表： 时间 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1) 已知该港口的水深与时间的变化满足函数y＝Acos(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，b>0， －π<φ<π)，画出函数的图像，并求出函数解析式； 答案：作图见解答过程，y＝2cos＋4.5 解：作图如下： (3分) 由图像可知A＝2，b＝＝4.5，T＝12＝，ω＝， 则有y＝2cos＋4.5. 又因为x＝3时取最大值6.5，可得φ＝－， 所以y＝2cos＋4.5.(6分) (2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ 参考数据：≈1.7. 答案：该船在2：00或14：00时可以进入港口，在港口可以停留2小时 解：货船需要的安全水深为4＋2.2＝6.2(米)， 所以当y≥6.2时就可以进港． 令2cos＋4.5≥6.2， 得cos≥≈， 得－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，(9分) 即2＋12k≤x≤4＋12k. 当k＝0时，x∈[2，4]；当k＝1时，x∈[14，16]， 所以，该船在2：00或14：00时可以进入港口，在港口可以停留2小时．(12分) 10． (2020天津武清区校级模拟，5分)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω＞0)，若集合A＝{x∈[0，π)|f(x)＝－1}只含有3个元素，则实数ω的取值范围是____． 解析：f(x)＝sinωx－cosωx＝sin. 由f(x)＝－1可得sin＝－， ∴ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ，k∈Z， 解得x＝或x＝，k∈Z. 当k＝0时，x＝0，；当k＝1时，x＝，. ∵集合A＝{x∈[0，π)|f(x)＝－1}只含有3个元素， ∴当x∈[0，π)时，f(x)＝－1只有3个解， ∴解得2＜ω≤， 即实数ω的取值范围是. 突破积累练　　　　　三角恒等变换与三角函数性质的综合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2023原创，40分)已知函数f(x)＝sin(2ωx＋)＋cos2(ωx－)的最小正周期为π，ω>0. 求三角函数的单调区间 (1)求函数f(x)的单调递减区间； 答案：[＋kπ，＋kπ]，k∈Z 解： f(x)＝sin＋cos2(ωx－) ＝sin＋× ＝sin2ωx＋cos2ωx＋(cos2ωx＋sin2ωx)＋＝cos2ωx＋sin2ωx＋ ＝sin＋.(2分) ∵函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，ω＝1， ∴f(x)＝sin＋.(3分) 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 故函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.(5分) 三角函数的图像变换与性质的综合应用 (2)将函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位，所得图像对应的函数是偶函数，求实数m的最小值； 答案： 解：设将函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位，所得图像对应的函数是T(x)，则T(x)＝sin[2(x＋m)＋]＋＝sin＋.(7分) ∵函数T(x)为偶函数，∴2m＋＝＋kπ，k∈Z， 解得m＝＋，k∈Z. ∵m>0，∴当k＝0时，m取得最小值.(10分) (3)将函数f(x)图像上所有点的横坐标变为原来的(a>0)，得到函数g(x)的图像，若g(x)在上单调递增，求实数a的最大值； 答案： 解：根据题意，可得g(x)＝sin(2ax＋)＋. 令2kπ－≤2ax＋≤2kπ＋，k∈Z， 得≤x≤，k∈Z.(12分) ∵函数g(x)＝sin＋在区间上单调递增，∴ k∈Z， 解得4≤a≤，k∈Z. ∵a>0，∴k<0不符合题意． 当k＝0时，0<a≤. 当k≥1时，4>，不符合题意．∴a的最大值为.(15分) 求三角函数的最值 (4)设h(x)＝f，求h(x)在上的最值； 答案：最小值为－1，最大值为 解：h(x)＝ f ＝sin[＋]＋ ＝－cos＋.(17分) 当x∈时，2x－∈， ∴cos∈， ∴h(x)∈， 即函数h(x)在上的最小值为－1，最大值为.(20分) 根据三角函数的零点个数求参数范围 (5)设m(x)＝f(x)－(2t＋sin2x)，若m(x)在上存在唯一零点，求t的取值范围； 答案：∪ 解：m(x)＝f(x)－(2t＋sin2x) ＝sin＋－(2t＋sin2x) ＝sin－sin2x＋－2t ＝sin2x＋cos2x －sin2x＋－2t ＝cos2x －sin2x＋－2t ＝cos＋－2t.(22分) 设p(x)＝cos，x∈，则m(x)在上存在唯一零点，等价于函数p(x)的图像与直线y＝2t－有唯一交点． 当x∈时，2x＋∈. 根据余弦函数的图像可知，若函数p(x)的图像与直线y＝2t－有唯一交点，则－<2t－≤或2t－＝－1，解得<t≤或t＝－， 故实数t的取值范围是∪ .(25分)　 三角函数求值的应用 (6)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求cos的值； 答案： 解：由f(θ)－f(－θ)＝，得sin(2θ＋)－·sin＝sin2θ＝ ，即sin2θ＝ .(27分) ∵θ∈，∴2θ∈. 又sin2θ>0，∴2θ∈， ∴cos2θ＝－＝－，(29分) ∴cos＝－cos2θ＋sin2θ＝.(30分) (7)若f＝1，x0∈，求cos2x0的值； 答案：－ 解：由f＝1，得sin(2x0－)＝.∵x0∈，∴2x0－∈. 又∵sin＝<， ∴2x0－∈， ∴cos＝－，(32分) ∴cos2x0＝cos ＝coscos－sinsin ＝－×－×＝－.(35分) (8)设△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若sinC＝2sinB，a＝2，f＝，求△ABC的面积． 答案： 解：由f＝sin＋＝，得sin＝0.∵0<A<π，∴－<A－<， ∴A－＝0，即A＝.(37分) 由正弦定理及sinC＝2sinB可得c＝2b. 根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b＝，∴c＝，∴S△ABC＝bcsinA＝.(40分) 课后提分练17　函数y＝Asin(ωx＋φ) A组(巩固提升) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2020河南期末节选，6分)已知x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝. (1)求ω和φ的值； 答案： ω＝2　φ＝－ 解：由最小正周期T＝＝π，得ω＝2. ∵f＝， ∴cos＝cos＝－sinφ＝， ∴sinφ＝－.又－＜φ＜0， ∴φ＝－.(3分) (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像． 答案：见解答过程 解：列表如下： 2x－ － 0 π π π x 0 π π π π f(x) 1 0 －1 0 函数f(x)在[0，π]上的图像如图所示． (6分) 2．(2020江苏，5分)将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，则平移后的图像中与y轴最近的对称轴的方程是__x＝－__． 解析：将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数为y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin . 令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 当k＝0时，x＝； 当k＝－1时，x＝－， 所以平移后的图像中与y轴最近的对称轴的方程是x＝－. 3．(多选)(2020山东校级模拟，5分)要得到y＝cos2x的图像C1，只要将y＝sin的图像C2怎样变化？(　ABC　) A．将y＝sin的图像C2沿x轴方向向左平移个单位 B．将y＝sin的图像C2沿x轴方向向右平移个单位 C．先作C2关于x轴对称的图像C3，再将图像C3沿x轴方向向右平移个单位 D．先作C2关于x轴对称的图像C3，再将图像C3沿x轴方向向左平移个单位 解析：将C2沿x轴方向向左平移个单位，所得图像对应的函数为y＝sin＝ sin(2x＋)＝cos2x，故A正确； 将C2沿x轴方向向右平移个单位，所得图像对应的函数为y＝sin＝sin(2x－)＝cos2x，故B正确； 先作C2关于x轴对称的图像C3，则图像C3对应的函数为y＝－sin，再将图像C3沿x轴方向向右平移个单位，所得图像对应的函数为y＝－sin[2＋]＝ －sin＝cos2x，故C正确； 将图像C3沿x轴方向向左平移个单位，所得图像对应的函数为y＝－sin＝－sin＝－cos2x，故D错误．故选ABC. 4．(2023改编，5分)要得到函数y＝cosx的图像，只需将函数y＝cos的图像上所有点的(　D　) A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 C．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 解析：y＝cos＝cos. 将函数y＝cos的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos的图像，再将所得图像向左平移个单位长度，得到y＝cosx的图像，故选D. 5．(多选)(2020山东模拟，5分)定义运算：＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是(　BC　) A. B. C．－ D．－ 解析： f(x)＝＝cosωx－sinωx＝2cos，将函数f(x)的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为y＝2cos(ωx＋＋)．因为该函数为偶函数，所以＋＝kπ，k∈Z， 解得ω＝－，k∈Z.令k＝1，可得ω＝；令k＝－1，可得ω＝－.故选BC. 6．(经典题，5分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，M，N为函数图像上相邻的最高点和最低点，且|MN|＝4，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)在下列区间一定单调递增的是(　D　) A. B. C. D. 解析：设函数f(x)的最小正周期为T，由图像知A＝. 因为|MN|＝＝4，所以T＝4(负值舍去)． 由图可知，函数f(x)的一个单调递增区间为，即[－1，1]，所以函数f(x)的单调递增区间为[4k－1，4k＋1]，k∈Z，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 取k＝1，则D符合题意．故选D. 7．(2020安徽合肥段测，5分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的部分图像如图所示，将函数f(x)的图像向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图像，则下列说法正确的是(　D　) A．函数g(x)为奇函数 B．函数g(x)为偶函数 C．函数g(x)的图像的对称轴为直线x＝kπ＋(k∈Z) D．函数g(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z) 解析：(法一)由f(x)的图像可知， f(x)的最小正周期为×＝π， 则f(x)图像与x轴在原点右侧第一个交点的横坐标为－＝，该交点向左平移个单位长度后该交点的横坐标变为－.横坐标为的最高点向左平移个单位长度后变为横坐标为的最高点，所以g(x)为非奇非偶函数，选项A，B错误． f(x)图像的对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，向左平移个单位长度后，g(x)图像的对称轴为直线x＝－＋＝＋(k∈Z)，选项C错误． 因为f(x)的一个单调递增区间为，即，所以f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)，则g(x)的单调递增区间为[－－＋kπ，－＋kπ](k∈Z)，即[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)，选项D正确．故选D. (法二)由图像可得A＝3，×＝－，所以ω＝2，可得f(x)＝3sin(2x＋φ)．将代入f(x)＝3sin(2x＋φ)，得sin(2×＋φ)＝1，所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z， 所以f(x)＝3sin＝3sin. 因为将函数f(x)的图像向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图像， 所以g(x)＝3sin[2－]＝3sin(2x＋)，则g(x)为非奇非偶函数，选项A，B错误． 令2x＋＝kπ＋，k∈Z，可得g(x)图像的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，选项C错误． 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，选项D正确．故选D. 8．(2021江西宜春模拟，5分)已知函数f(x)＝sin2x－2cos2x＋1，将f(x)的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图像．若g(x1)·g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可能为(　B　) A. B. C. D. 解析：f(x)＝sin2x－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝2sin. 将f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝2sin的图像；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＋1的图像，所以g(x)max＝3，且g(x)的最小正周期T＝＝. 要使g(x1)·g(x2)＝9，则需有g(x1)，g(x2)均为函数g(x)的最大值，则|x1－x2|＝kT＝(k∈Z)．故选B. 9．(2020安徽六安校级开学，5分)将函数f(x)＝sin2x的图像向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图像．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　B　) A. B. C. D. 解析：将函数f(x)＝sin2x的图像向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)＝sin2(x－φ)的图像．∵函数f(x)＝sin2x的最值为±1，函数g(x)＝sin2(x－φ)的最值为±1，且|f(x1)－g(x2)|＝2，∴f(x)与g(x)一个取最大值，一个取最小值．不妨设f(x)取最大值，g(x)取最小值，则2x1＝＋2kπ，k∈Z，2(x2－φ)＝－＋2mπ，m∈Z， 即x1＝＋kπ，k∈Z，x2＝φ－＋mπ，m∈Z，∴x1－x2＝－φ＋(k－m)π，k，m∈Z.又|x1－x2|min＝，0<φ<，∴k－m＝0，－φ＝，∴φ＝，故选B. B组(冲刺满分) 10．(多选)(2020山东模拟，5分)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(0＜ω＜4)满足f(x＋π)＝f(x)，其图像向左平移m个单位后，所得图像对应的函数y＝g(x)在上单调递增，则下列判断正确的是(　BC　) A．ω＝1 B．函数f(x)的图像关于直线x＝－对称 C．正整数m的值可以为7 D．正整数m的最小值为6 解析：f(x)＝sinωx－cosωx＝2sin. 因为f(x＋π)＝f(x)，所以2sin＝2sin，所以ωπ＝2kπ，k∈Z，即ω＝2k，k∈Z. 又0＜ω＜4，所以ω＝2，A错误． 因为f＝2sin ＝2sin＝－2， 所以直线x＝－是函数f(x)图像的对称轴，B正确． 根据题意得，g(x)＝2sin. 当x∈时，2x＋2m－∈， 所以k∈Z， 解得kπ＋≤m≤kπ＋，k∈Z. 当k＝1时，3.4≈≤m≤≈3.9； 当k＝2时，6.5≈≤m≤≈7.1， 所以正整数m的最小值为7. 所以C正确，D错误．故选BC. 11．(2020山东枣庄期末，5分)将曲线y＝f(x)cos2x上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝cos2x，则f＝(　D　) A．1 B．－1 C. D．－ 解析：将曲线y＝f(x)cos2x上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝fcosx的图像，再把得到的曲线向右平移个单位长度，可得到y＝fcos的图像． 由题意得fcos＝cos2x， 所以f＝＝＝(cosx－sinx)＝2cos. 令x－＝t，解得x＝2t＋， 所以f(t)＝2cos＝2cos＝－2sin2t，所以f(x)＝－2sin2x. 所以f＝－2sin＝－2×＝－.故选D. 12．(2021黑龙江哈尔滨校级模拟，5分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是(　A　) A．H＝4sin＋2 B．H＝4sin＋2 C．H＝4sin＋2 D．H＝4sin＋2 解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示． ∵∠xOP0＝30°＝，OM在t s内转过的角为t＝t， ∴以x轴为始边，以OM为终边的角为t－， 则点M的纵坐标为4sin. ∵水平面处的纵坐标为4sin＝－2， ∴盛水筒M距离水面的高度H(m)表示为时间t(s)的函数是H＝4sin－(－2)＝4sin(t－)＋2.故选A. 13．(2021安徽校级模拟，5分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，将f(x)的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像，点A，B，C是f(x)与g(x)图像的三个相邻交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围为(　B　) A. B. C. D. 解析：函数f(x)＝sin＝cosωx，将f(x)的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)＝cos(ωx－)的图像．作出两个函数图像，如图所示： A，B，C为三个相邻交点(不妨设B在x轴下方)， 设D为AC的中点，连接BD. 由对称性，知△ABC是以∠ABC为顶角的等腰三角形，AC＝T＝.由cosωx＝cos， 整理可得cosωx＝sinωx，可得cosωx＝±， 则yC＝－yB＝，所以BD＝2|yB|＝. 要使△ABC为钝角三角形，只需∠ACB<即可． 由tan∠ACB＝＝<1，解得0<ω<π.故选B. 14．(2023汇编，20分)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)的部分图像． (1) 求函数f(x)的表达式； 答案：f(x)＝sin 解：由图可知A＝1，最小正周期T＝＝2×(－)，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)． 由图像可知sin＝0，且x＝处于f(x)的单调递减区间，∴＋φ＝(2k＋1)π，k∈Z， 即φ＝－＋(2k＋1)π，k∈Z. 又|φ|≤，∴φ＝，∴f(x)＝sin.(3分) (2)若先将函数f(x)的图像向右平移个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变) ，得到函数g(x)的图像，求y＝g(x)－|lgx|在(0, ＋∞)上的零点个数； 答案：4 解：先将函数f(x)的图像向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2x的图像． 再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝sinx的图像． 函数y＝g(x)－|lgx|在(0，＋∞)上的零点个数，即函数g(x)的图像与y＝|lgx|的图像的交点个数．(6分) 因为y＝|lgx|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且lg10＝1，3π<10<π， 所以，结合图像可知，在(0，＋∞)上，g(x)的图像和y＝|lgx|的图像的交点个数为4. 故函数y＝g(x)－|lgx|在(0，＋∞)上的零点个数为4.(9分) (3)求方程f(x)＝a(0<a<1)在[0，2π]内的所有实数根之和； 答案： 解：因为f(x)＝sin的最小正周期为π，所以f(x)＝sin在[0，2π]内恰有2个周期． 作出f(x)在[0，2π]上的图像如下图所示． 令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，可得f(x)图像的对称轴为直线x＝＋(k∈Z)．(11分) (ⅰ)当0<a<时，方程sin＝a在[0，2π] 内有4个实根，从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，结合图像知x1＋x4＝x2＋x3＝2×＝，此时所有实数根之和为.(12分) (ⅱ)当a＝时，方程sin＝a在[0，2π]内有5个实根，此时所有实数根之和为0＋2×＝.(13分) (ⅲ)当<a<1时，方程sin＝a在[0，2π]内有4个实根，从小到大依次设为x5，x6，x7，x8，结合图像知x5＋x8＝x6＋x7＝2×＝，此时所有实数根之和为.(14分) 综上，方程sin＝a(0<a<1)在[0，2π]内的所有实数根之和为(15分) (4)若函数h(x)＝f2(x)－2mf(x)在x∈上的最小值为－3，求实数m的值． 答案：m＝－ 或m＝2 解：令t＝f(x)，则y＝t2－2mt，图像的对称轴为直线t＝m. 因为x∈，所以t∈.(16分) 当m<－时，ymin＝＋m＝－3，所以m＝－ ，成立；当－≤m≤1时，ymin＝－m2＝－3，所以m＝±，不成立；当m>1时，ymin＝1－2m＝－3，所以m＝2，成立．综上所述，m＝－ 或m＝2.(20分) 学科网（北京）股份有限公司 $$