第16课 三角恒等变换-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第16课 三角恒等变换 普查与练习16 Ⅰ　　　　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．两角和与差公式 a．两角和差公式的基本应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)(2021全国模拟，5分) 已知点P，O为坐标原点，线段OP绕原点O逆时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为(　D　) A. B. C. D. 解析：设OP与x轴正方向的夹角为θ，则sinθ＝，cosθ＝.设P1(cosβ ，sinβ)， 则cosβ＝cos＝cosθ－sinθ＝， sinβ＝sin＝sinθ＋cosθ＝.故选D. (2)(2020全国Ⅲ，5分)已知2tanθ－tan＝7，则tanθ＝(　D　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：由2tanθ－tan＝7，得2tanθ－＝7， 即2tanθ－2tan2θ－tanθ－1＝7－7tanθ， 整理得(tanθ－2)2＝0，所以tanθ＝2.故选D. b．两角和差公式的逆用及变形应用 (3)(2020山东学业考试，5分)sin 110°·cos 40°－cos70°·sin 40°＝(　A　) A. B. C．－ D．－ 解析：sin 110°· cos 40°－cos 70°·sin 40° ＝sin 70°· cos 40°－cos 70°·sin 40° ＝sin(70°－40°)＝sin 30°＝.故选A. (4)(2020江苏校级检测，5分)若A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)＝__2__，应用此结论求(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan43°)(1＋tan44°)的值为__222__． 解析：因为A＋B＝45°， 所以(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanA·tanB ＝tan(A＋B)(1－tanA·tanB)＋1＋tanA·tanB ＝tan45°(1－tanA·tanB)＋1＋tanA·tanB＝2. (1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan43°)(1＋tan44°) ＝[(1＋tan1°)(1＋tan44°)]·[(1＋tan2°)(1＋tan43°)]·…·[(1＋tan22°)(1＋tan23°)]＝222. c．辅助角公式的基本应用 (5)(2023改编，5分)已知角α为第一象限角，＝，则实数a的取值范围为____． 解析：由题意得a＝sinα＋cosα＝sin. 因为2kπ<α<2kπ＋，k∈Z， 所以2kπ＋<α＋<2kπ＋，k∈Z， 所以<sin≤1， 所以实数a的取值范围为. (6)(2020全国Ⅲ，5分)已知sinθ＋sin＝1，则sin＝(　B　) A. B. C. D. 解析：∵sinθ＋sin＝1， ∴sinθ＋sinθ＋cosθ＝sinθ＋cosθ＝＝1， 即sin＝1，∴sin＝.故选B. 2．二倍角公式 a．二倍角正弦公式的应用 (7)(2020北京东城区期末，5分)若函数f(x)＝sinxcosx，则f的值为____． 解析：∵f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴f＝sin(2×)＝sin＝×＝. (8)(2021贵州校级月考，5分)若3sinθ－cosθ＝0，则sin2θ＝(　A　) A. B．－ C. D．－ 解析：因为3sinθ－cosθ＝0，显然cosθ≠0，则tanθ＝，所以sin2θ＝＝＝＝＝，故选A. b．二倍角余弦公式的应用 (9)(2023汇编，25分)按要求完成下列各题． ①若sinx＝－，则cos2x＝____．(2020全国Ⅱ) ②已知sin2＝，则sin2α的值是____．(2020江苏) ③函数f(x)＝sin22x的最小正周期是____．(2019北京) ④已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　A　)(2020全国Ⅰ) A. B. C. D. ⑤cos2－cos2＝(　D　)(2021全国Ⅱ) A. B. C. D. 解析：①∵sinx＝－，∴cos2x＝1－2sin2x＝1－2×2＝. ②由sin2＝＝＝，得sin2α＝. ③f(x)＝sin22x＝＝－cos4x＋，则最小正周期为＝. ④由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα－5＝0， 即3cos2α－4cosα－4＝0， 解得cosα＝2(舍去)或cosα＝－. 又∵α∈(0，π)， ∴sinα＝＝＝.故选A. ⑤由题意，得cos2－cos2＝cos2－cos2(－)＝cos2－sin2＝cos＝.故选D. c．二倍角正切公式的应用 (10)(2021河南洛阳校级月考，5分)人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形的短边为长边的.黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．巴特农神庙的部分轮廓ABCD就是黄金矩形(如下图所示)，则图中∠AOD的正切值等于(　D　) A. B.－1 C. D．2 解析：由题意知tan∠ACD＝＝， 则tan∠AOD＝tan2∠ACD＝＝2.故选D. (11)(2020山东潍坊模拟，5分)若sinθ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝(　C　) A．－ B. C．－ D. 解析：∵sinθ＝cos(2π－θ)＝cosθ，∴tan θ＝， ∴tan 2θ＝＝＝－.故选C. d．三角恒等变换公式的综合应用 (12)(2019全国Ⅱ，5分)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　B　) A. B. C. D. 解析：2sin2α＝4sinαcosα＝cos2α＋1＝2cos2α. ∵α∈(0，)，∴sinα>0，cosα>0，∴2sinα＝cosα. 又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝.故选B. (13)(2021全国Ⅰ，5分)若α∈，tan2α＝，则tanα＝(　A　) A. B. C. D. 解析：(法一)∵tan2α＝， ∴tan2α＝＝＝. ∵α∈，∴cosα>0， ∴＝，解得sinα＝， ∴cosα＝＝，∴tanα＝＝.故选A. (法二)tan2α＝＝， 即4tanα－＝cosα－， 即4tanα－＝cosα，即4sinα－sin2α＝cos2α， 结合sin2α＋cos2α＝1，可得sinα＝. 下同法一． (14)(2019江苏，5分)已知＝－，则sin＝____． 解析：由题意知＝＝－，① 而sincosα－cossinα＝sin＝，② 所以由①②得，sincosα＝，cos(α＋)sinα＝－，所以sin＝sin(α＋)cosα＋cos(α＋)sinα＝. 3．三角函数式的化简 (15)(经典题，12分)已知cos·cos＝－，α∈，求： (Ⅰ)sin2α；(Ⅱ)tanα－；(Ⅲ) . 答案：(Ⅰ)　(Ⅱ)2　(Ⅲ)－ 解：∵cos·cos ＝cos·cos ＝cos·sin＝sin， 又∵cos·cos＝－， ∴sin＝－，即sin＝－. 又∵α∈，∴2α＋∈， ∴2α＋＝，∴2α＝.(5分) (Ⅰ)sin2α＝sin＝.(6分) (Ⅱ)tanα－＝－ ＝ ＝＝＝＝2.(9分) (Ⅲ)∵2α＝，∴α＝. ∴＝＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.(12分) (16)(2023汇编，24分)化简： (Ⅰ)(π<α<2π)； 答案：cosα 解：原式＝ ＝ ＝＝. ∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0， ∴原式＝＝cosα.(6分) (Ⅱ) ； 答案：cos2x 解：原式＝ ＝＝ ＝＝＝＝cos2x.(12分) (Ⅲ)－； 答案：tanα 解：原式＝－＝－＝－＝－＝＝tanα.(18分) (Ⅳ)已知π<α<，化简＋ .　 答案：－cos 解：∵π<α<，∴<<，∴cos<0，sin>0，∴＝＝－cos， ＝＝sin， ∴＋ ＝＋ ＝＋ ＝－cos.(24分) 随堂普查练16 Ⅰ 1．(2021安徽池州模拟，5分)已知sinα＝，则cossin(－α)＝__或__． 解析：由sinα＝，得cosα＝±， 则cossin ＝ ＝cos2α＋sin2α－sinαcosα ＝－sinαcosα＝∓×＝或.故答案为或. 2．(2021广东模拟，5分)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htanθ.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1，θ2)，则tan(θ1－θ2)＝__－__． 解析：由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得tanθ1＝2，tanθ2＝3，所以tan(θ1－θ2)＝＝＝－.故答案为－. 3．(2021四川德阳二模，5分)在平面直角坐标系中，已知点A(2cos80°，2sin80°)，B(2cos20°，2sin20°)，那么|AB|＝(　A　) A．2 B．2 C．2 D．4 解析：|AB|＝ ＝ ＝＝＝＝2.故选A. 4．(2021江苏南通校级测试，5分)函数f(x)＝cosxsin的最小正周期为(　C　) A．4π B．2π C．π D. 解析：函数f(x)＝cosxsin＝cosx(sinx＋cosx) ＝·sin2x＋· ＝sin2x＋cos2x＋ ＝sin＋， 其最小正周期为T＝＝π.故选C. 5．(2023改编，5分)已知＝，则tanθ＝(　D　) A. B. C．－ D．－ 解析：∵＝＝＝， 又∵＝，∴cos≠0，∴＝＝， ∴tan＝2，∴tanθ＝＝＝－.故选D. 6．(经典题，5分)化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2α·cos2β＝(　B　) A. B. C．1 D．2 解析：(法一)原式＝·＋·－cos2α·cos2β＝(1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β)－cos2αcos2β＝.故选B. (法二)原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－ ＝sin2α·sin2β＋cos2α(1－ cos2β)＋cos2β－ ＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－ ＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－ ＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.故选B. 普查与练习16 Ⅱ　　　　简单的三角恒等变换 4．三角函数的条件求值 a．给角求值问题 (17)(2023汇编，20分)求出下列各式的值． ①cos20°cos40°cos80°＝____； ②sin6°cos24°sin78°cos48°＝____； ③＝__sin8__； ④2＋＝__－2sin4__． 解析：①(法一)cos20°cos40°cos80° ＝＝ ＝＝＝. (法二)令a＝cos20°cos40°cos80°， b＝sin20°sin40°sin80°，显然b≠0， 则ab＝cos20°cos40°cos80°sin20°sin40°sin80° ＝sin40°×sin80°×sin160° ＝sin40°sin80°sin160°＝sin40°sin80°sin20° ＝b，即ab＝b，∴a＝，故原式＝. ②sin6°cos24°sin78°cos48°＝sin6°cos12°cos24°cos48° ＝＝ ＝＝＝＝. ③＝＝＝sin8.　 ④原式＝2＋· ＝2＋·. ∵<4<，∴sin4<cos4<0， ∴原式＝－2(sin4－cos4)－2cos4＝－2sin4. (18)(2023汇编，35分)计算下列各式的值． ①cos 50°＋cos 70°－cos 10°＝__0__； ②＝__－4__； ③tan70°cos10°(tan20°－1)＝__－1__； ④＋＝__－4__； ⑤＝__1__； ⑥＝____－1__； ⑦＝____． 解析： ①cos 50°＋cos 70°－cos 10° ＝cos 50°＋cos(40°＋30°)－cos(40°－30°) ＝cos 50°＋cos 40°cos 30°－sin 40°sin 30°－cos 40°·cos 30°－sin 40°sin 30°　 ＝cos 50°－sin 40°＝cos 50°－cos 50°＝0. ②＝＝ ＝＝＝－4. ③tan70°cos10°(tan20°－1) ＝·cos10°· ＝·cos10°· ＝·cos10°· ＝·＝－1. ④＋＝＋ ＝－＝ ＝＝ ＝＝－4. ⑤＝ ＝＝1. ⑥原式＝ ＝＝＝－1. ⑦∵tan(5°＋10°)＝， ∴1－tan5°tan10°＝， ∴原式＝＝ ＝＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝. b．给值求值问题 (19)(2020山东日照模拟，5分)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些信息，可得sin234°＝(　C　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B．－ C．－ D．－ 解析：由题可知∠ABC＝72°，且cos72°＝＝，所以cos144°＝2cos272°－1＝ －，所以sin234°＝sin(144°＋90°)＝cos144°＝－.故选C. (20)(2020浙江湖州期末，6分)若tan＝，则tanα＝____，cos2α＝__－__． 解析：(法一)tan＝，即＝， 即＝，解得tanα＝. (法二)tanα＝tan ＝＝＝. cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝＝＝－. (21)(经典题，5分)若0＜α＜，cos＝，则cos的值为__－____． 解析：∵0＜α＜， ∴＜α＋＜. 又cos＝， ∴sin＝＝＝，　 ∴sin2＝2sincos＝2××＝， cos2＝2cos2－1＝2×2－1＝－， ∴cos＝cos ＝cos2cos－sin2sin ＝－×－ ×＝－ . (22)(2023改编，8分)已知0<α<，<β<π，且tanα＝，cos(α－β)＝，求cosβ和tan(2α－β)． 答案：－，－ 解：∵tanα＝，sin2α＋cos2α＝1， ∴sinα＝，cosα＝. ∵<β<π，0<α<，∴－π<α－β<0. 又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝－＝－， ∴cosβ＝cos(α－β－α)＝cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝×＋×＝－.(4分) ∵tanα＝，tan(α－β)＝＝＝－， ∴tan(2α－β)＝tan(α－β＋α)＝＝＝－.(8分) (23)(2020黑龙江哈尔滨模拟，5分)若0<α<，0<β<，sin＝，cos＝，则cos的值为(　B　) A. B. C. D. 解析：∵0<α<，∴<－<. 又sin＝，∴cos＝. ∵0<β<，∴－<－<－. 又cos＝，∴sin＝－， ∴cos＝cos＝cos[＋] ＝coscos－sin (－)·sin ＝×－×＝.故选B. c．给值求角问题 (24)(2023汇编，25分)已知α，β均为锐角． ①若sinα＝，sinβ＝，则α＋β ＝__45°__； ②若sinα＝，sin(α－β)＝－，则β＝____； ③若tanα＝7，cosβ＝，则α＋2β＝____； ④若3sinα＝2sinβ，3cosα＋2cosβ＝3，则α＋2β＝__π__； ⑤若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α<β，则α＋β＝____． 解析：①(法一)∵α为锐角，∴cosα＝＝. ∵β为锐角，∴cosβ＝＝， ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝×－×＝. 又∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°， ∴0°＜α＋β＜180°，∴α＋β＝45°. (法二)由法一知cosα＝，cosβ＝，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝. 又∵α，β均为锐角，sinα＝＜，sinβ＝＜， ∴0°＜α＜30°，0°＜β＜30°，∴0°＜α＋β＜60°，∴α＋β＝45°. ②(法一)∵α，β为锐角，∴－<α－β<. 又∵sinα＝，sin(α－β)＝－， ∴cosα＝＝， cos(α－β)＝＝， ∴cosβ＝cos(α－β－α)＝cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝×＋×＝. ∵β为锐角，∴β＝. (法二)由法一可知tanα＝＝，tan(α－β)＝＝－，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝1. 又β为锐角，∴β＝. ③∵β为锐角，cosβ＝，∴sinβ＝，tanβ＝， 则tan2β＝＝＝， tan(α＋2β)＝＝＝－1. ∵α，β均为锐角，∴α＋2β＝. ④由题意得 ⓐ2＋ⓑ2得cosβ＝，cosα＝. 由α，β均为锐角知，sinβ＝，sinα＝， ∴tanβ＝2，tanα＝， ∴tan2β＝＝－， ∴tan(α＋2β)＝＝0. ∵α∈，β∈，∴α＋2β∈，∴α＋2β＝π. ⑤0<α＋β<π，－<α－β<0，0<2α<π，sin(α－β)＝－，sin2α＝， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝× ＋×＝－，∴α＋β＝. (25)(2020宁夏吴忠期末，5分)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝(　B　) A．－ B．－ C. D. 解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＜1，α∈(0，π)，∴0<α<. ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1. ∵0<β<π，tanβ＝－<0，∴<β<π. 又0<α<，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.故选B. 5．三角恒等式的证明 (26)(2023汇编，12分)求证： (Ⅰ) sin2α＋cosαcos－sin2＝； 答案：见证明过程 证明：等式左边＝sin2α＋cosα·(coscosα－sinsinα)－2 ＝sin2α＋cosα(cosα－ sinα)－ ＝sin2α＋ ＝sin2α＋ ＝sin2α＋cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2α ＝(sin2α＋cos2α)＝＝右边， ∴原等式成立．(6分) (Ⅱ)＝. 答案：见证明过程 证明：(法一)等式左边 ＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝， 等式右边＝＝， ∴左边＝右边，∴原等式成立．(12分) (法二)等式左边 ＝ ＝＝ ＝＝， 则原等式等价于＝， 即sin2x＝(1＋cosx)(1－cosx)，即sin2x＝1－cos2x， 即sin2x＋cos2x＝1，该等式恒成立，∴原等式成立．(12分) (27) (2020湖北武汉期末节选，6分)已知α，β∈且sin β＝cos(α＋β)sin α，求证： tan β＝. 答案：见证明过程 证明：∵α，β∈且sin β＝cos(α＋β)sin α， ∴sin β＝cos αcos βsin α－sin αsin βsin α， 即 tan β＝sin αcos α－sin2αtan β， 解得tan β＝＝， 即tan β＝成立．(6分) 6．三角恒等变换与三角函数性质的综合 a．三角恒等变换与三角函数图像变换的综合 (28)(2023改编，5分)函数y＝2sincos－2cos2＋1的图像可由函数y＝sinx＋cosx的图像至少向右平移____个单位长度得到． 解析：设g(x)＝2sincos－2cos2＋1 ＝sinx－cosx＝2＝2sin， f(x)＝sinx＋cosx＝2＝2sin(x＋) . 设函数f(x)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)的图像，则sin＝sin， 即－φ＋＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－2kπ，k∈Z. ∵φ>0，∴当k＝0时，φ取最小值， ∴函数y＝2sincos－2cos2＋1的图像可由函数y＝sinx＋cosx的图像至少向右平移个单位长度得到． b．三角恒等变换与三角函数图像和性质的综合 (29)(2019浙江，14分)设函数f(x)＝sinx，x∈R. (Ⅰ)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值； 答案：或　 解：∵f(x＋θ)＝sin(x＋θ)为偶函数，∴f(x＋θ)图像关于y轴对称，∴0＋θ＝＋kπ，k∈Z，即θ＝＋kπ，k∈Z. 又∵θ∈[0，2π)，∴θ为或.(6分) (Ⅱ)求函数y＝＋的值域． 答案：[1－，1＋] 解：∵y＝＋ ＝sin2＋sin2 ＝＋ ＝1－＝1－sin，(10分) ∴函数y＝＋的值域为[1－，1＋]．(14分) (30)(2021山东临沂模拟改编，14分)在①x＝－是函数f(x)图像的一条对称轴，②是函数f(x)的一个零点，③函数f(x)在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知函数f(x)＝2sinωxcos－(0<ω<2)，________． (Ⅰ)求f(x)在上的单调递减区间． 答案：， 解： f(x)＝2sinωxcos－ ＝2sinωx－ ＝cosωxsinωx＋sin2ωx－＝sin2ωx－cos2ωx ＝sin.(3分) ①若x＝－是函数f(x)图像的一条对称轴， 则－－＝kπ＋，k∈Z，即－＝kπ＋，k∈Z， 得ω＝－3k－2，k∈Z. 又0<ω<2，∴当k＝－1时，ω＝1，f(x)＝sin.(6分) ②若是函数f(x)的一个零点， 则×2ω－＝kπ，k∈Z，即ω＝kπ＋，k∈Z， 得ω＝6k＋1，k∈Z. 又0<ω<2，∴当k＝0时，ω＝1，∴f(x)＝sin.(6分) ③若f(x)在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为， 则T＝π＝，故ω＝1，∴f(x)＝sin.(6分) 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 令k＝0，得≤x≤，令k＝－1，得－≤x≤－. 又－≤x≤，∴f(x)在上的单调递减区间为，.(9分) (Ⅱ)若f＝，求cos的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案： 解：由(Ⅰ)知，f(x)＝sin， ∴f＝sin＝sinα＝.(10分) ∵0<α<，∴cosα＝＝， ∴cos(α＋)＝(cosα－sinα)＝×＝.(14分) 7．三角恒等变换与平面向量的综合 (31)(经典题，14分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (Ⅰ)若a∥b，求x的值； 答案： 解：∵a∥b，∴3sinx＝－cosx.(2分) 显然cosx≠0，∴tanx＝－.(4分) 又x∈[0，π]，∴x＝.(6分) (Ⅱ)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 答案：当x＝0时， f(x)取得最大值3；当x＝时， f(x)取得最小值－2 解：根据题意得 f(x)＝3cosx－sinx＝－2 ＝－2sin.(8分) ∵x∈[0，π]，∴x－∈， ∴－≤sin≤1，∴－2≤－2sin≤3， 即－2≤f(x)≤3.(10分) 故当x－＝－，即x＝0时， f(x)取得最大值3； 当x－＝，即x＝时， f(x)取得最小值－2.(14分) (32)(2021江苏宿迁考前，14分)设向量a＝(cosα，λsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中λ>0，0<α<β<，且a＋b与a－b互相垂直． (Ⅰ)求实数λ的值； 答案：1 解：由a＋b与a－b互相垂直，可得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以cos2α＋λ2sin2α－(cos2β＋sin2β)＝λ2sin2α－(1－cos2α)＝(λ2－1)sin2α＝0. 因为0<α<，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0. 又λ>0，所以λ＝1.(6分) (Ⅱ)若a·b＝，且tanβ＝2，求tanα的值． 答案： 解：由(Ⅰ)知a＝(cosα，sinα)． 由a·b＝，得cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝. 因为0<α<β<，所以－<α－β<0， 所以sin(α－β)＝－＝－， 所以tan(α－β)＝＝－， 所以tanα＝tan(α－β＋β)＝＝.(14分) 随堂普查练16 Ⅱ 1．(2021河南洛阳期中改编，12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． ①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； ②sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； ③sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)从上述三个式子中选一个计算出这个常数； 答案： 解：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17° ＝sin213°＋cos2(30°－13°)－sin13°cos(30°－13°) ＝sin213°＋(cos30°cos13°＋sin30°sin13°)2－sin13°·(cos30°cos13°＋sin30°sin13°) ＝sin213°＋cos213°＋sin213°＋sin13°cos13°－sin13°cos13°－sin213° ＝sin213°＋cos213°＝.(6分) ②sin218°＋cos212°－sin18°cos12° ＝sin218°＋cos2(30°－18°)－sin18°cos(30°－18°) ＝sin218°＋(cos30°cos18°＋sin30°sin18°)2－sin18°·(cos30°cos18°＋sin30°sin18°) ＝sin218°＋cos218°＋sin218°＋sin18°cos18°－sin18°cos18°－sin218° ＝sin218°＋cos218°＝.(6分) ③sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55° ＝sin2(30°－55°)＋cos255°－sin(30°－55°)cos55° ＝(sin30°cos55°－cos30°sin55°)2＋cos255°－cos55°·(sin30°cos55°－cos30°sin55°) ＝cos255°＋sin255°－sin55°cos55°＋cos255°－cos255°＋sin55°cos55° ＝sin255°＋cos255° ＝.(6分)(任选一式作答即可，第(1)问满分6分) (2)猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． 答案：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝，见证明过程 解：一般规律：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.(7分) 证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sin2α＋sinαcosα－sinαcosα－sin2α＝ sin2α＋cos2α＝.(12分) 2．(经典题，5分)＋(sin27.5°－cos27.5°)＝__－__．　 解析：原式＝－cos15° ＝－cos15° ＝－cos15°＝sin15°－cos15° ＝2sin(15°－60°)＝－2sin45°＝－. 3．(2020山东模拟，5分)已知sin＝，则cos＝__－__． 解析：因为sin＝sin＝cos＝cos＝，所以cos＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－. 4．(2021重庆模拟，5分)已知sin＝，cos(α＋β)＝，α∈，β∈(0，π)，则sinα＝____． 解析：∵β∈(0，π)，∴∈. 又∵sin＝，∴cos＝. ∵sin＝<，∴∈，∴β∈. 又∵sinβ＝2sincos＝，∴cosβ＝. ∵α∈，∴α＋β∈. 又∵cos(α＋β)＝，∴sin(α＋β)＝，∴sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝×－×＝. 5．(2020浙江校级期中，4分)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　A　) A. B. C.或 D.或 解析：∵α∈，∴2α∈. 又sin2α＝>0，∴2α∈，∴cos2α＝－. ∵β∈，∴β－α∈. 又sin(β－α)＝，∴cos(β－α)＝－， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α) ＝－×－×＝. 又α＋β∈，∴α＋β＝.故选A. 6．(2020福建福州月考，6分)求证三角恒等式：tanx－tanx＝.　 答案： 见证明过程 证明：等式右边＝ ＝＝，(3分) 等式左边＝－＝ ＝＝， 左边＝右边，故等式成立．(6分) 7．(经典题，5分)将偶函数f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移个单位长度，得到y＝g(x)的图像，则g(x)的一个单调递减区间为(　B　) A. B. C. D. 解析： f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)＝2sin(2x＋φ－)．因为函数f(x)为偶函数，所以当x＝0时，0＋φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)． 又φ∈(0，π)，所以φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋－)＝2sin＝2cos2x. 因为将f(x)的图像向右平移个单位长度可得g(x)的图像，所以g(x)＝2cos＝2cos(2x－)．　 令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 可得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 当k＝0时，单调递减区间为，故选项B正确，其余选项无法找到整数k满足所给的区间．故选B. 8．(2020北京朝阳区模拟，13分)已知①函数f(x)＝cosωxsin(ωx＋)－(ω＞0)； ②向量m＝(sinωx，cos2ωx)，n＝，且ω＞0，f(x)＝m·n； ③函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)的图像经过点. 请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知______，且函数f(x)图像的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)若0＜θ＜，且sinθ＝，求f(θ)的值； 答案： 解：因为函数f(x)图像的相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.(1分) 选条件①： f(x)＝cosωx·sin－ ＝cosωx－ ＝sinωxcosωx＋cos2ωx－＝sin2ωx＋cos2ωx ＝＝sin. 因为ω>0，T＝＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin.(6分) 选条件②： 根据题意可得f(x)＝m·n＝sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin.　 又ω>0，T＝＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin.(6分)　 选条件③： 因为ω>0，T＝＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)． 又函数f(x)的图像经过点， 所以＝sin，即sin＝1， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z. 又因为|φ|＜，所以 φ＝，所以f(x)＝sin.(6分)　 因为0＜θ＜，sinθ＝，所以 θ＝， 所以f(θ)＝f＝sin＝.(8分) (2)求函数f(x)在[0，2π]上的单调递减区间． 答案：， 解：令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 当k＝0时，有≤x≤；当k＝1时，有≤x≤，所以函数f(x)在[0，2π]上的单调递减区间为，.(13分) 课后提分练16　三角恒等变换 A组(巩固提升) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)(2021江苏扬州校级期中，5分)下列各式中，值为的是(　ACD　) A．sin72°cos42°－cos72°sin42° B．cos2－sin2 C. D．2tan15°·cos215° 解析：sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝，故A满足条件； cos2－sin2＝cos＝，故B不满足条件； ＝·＝tan45°＝，故C满足条件； 2tan15°·cos215°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝，故D满足条件，故选ACD. 2．(2021河北石家庄模拟，5分)若cosα(1＋tan10°)＝1，则α的一个可能值为(　C　) A．70° B．50° C．40° D．10° 解析：∵cosα(1＋tan10°)＝1， ∴cosα＝＝＝＝＝cos40°，∴α的一个可能值为40°.故选C. 3．(经典题，5分)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝____，b＝__1__． 解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1. 4．(2020辽宁沈阳三模，5分)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝(　C　) A．4 B.＋1 C．2 D.－1 解析：由题可知m＝2sin18°， ∴＝ ＝＝＝2. 故选C. 5．(2023汇编，31分)已知tanα＝2. (1)cos2α＝__－__，tan＝____；(2020浙江，6分) (2)若＜α＜，－＜β＜0，cosβ＝，则cos(α－β)＝ __－__； (3)若tan(2α－γ)＝－1，则tan(α－γ)＝__3__； (4)若sin(α－δ)＝，α，δ∈，则δ＝____；　 (5)若α∈，sinθ＝，θ∈，则2α－θ＝____； (6)若α∈，则cos＝____． 解析：(1)cos2α＝＝＝＝－； tan＝＝＝. (2)因为＜α＜，tanα＝2， 所以cosα＝，sinα＝. 因为－<β<0，cosβ＝， 所以sinβ＝－＝－. 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－. (3)tan(α－γ)＝tan[(2α－γ)－α]＝＝＝3. (4)由(2)可知cosα＝，sinα＝. 因为α，δ∈，所以－<α－δ<， 所以cos(α－δ)＝＝. 所以sinδ＝sin [α－(α－δ)]＝sinαcos(α－δ)－cosαsin(α－δ)＝×－×＝.所以δ＝. (5)由(1)可知cos2α＝－， sin2α＝2sinαcosα＝＝＝. 因为sinθ＝，θ∈， 所以cosθ＝＝， 所以cos(2α－θ)＝cos2αcosθ＋sin2αsinθ＝×＋×＝. 又因为α∈，θ∈，所以2α－θ∈(2π，3π)，所以2α－θ＝. (6)由tanα＝2，得sinα＝2cosα. 又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝1－sin2α＝1－4cos2α，∴cos2α＝. ∵α∈，∴cosα＝，sinα＝. ∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝·(cosα＋sinα)＝×＝. 6．(2021江苏模拟，5分)已知sin＝，则sin的值为(　C　) A. B. C．－ D. 解析：sin＝－cos＝－cos(2α＋)＝2sin2－1＝－. 故选C. 7．(2020山东威海一模，5分)已知sin(β－α)cosβ－cos(α－β)·sinβ＝，α为第三象限角，则cos(α＋)＝(　A　) A．－ B．－ C. D. 解析：∵sin(β－α)cosβ－cos(α－β)sinβ＝sin[(β－α)－β]＝－sinα＝，∴sinα＝－. 又α为第三象限角，∴cosα＝－. ∴cos＝ cosαcos－sinαsin＝－×＋×＝－.故选A. 8．(经典题，10分)(1)＝__sin2α__； (2)已知α为第三象限角，则－＝__0__． 解析：(1)∵4sin2tan ＝4sin2tan ＝4cos2tan ＝4cossin ＝2sin＝2cos2α， ∴＝ ＝＝sin2α. (2)∵α 为第三象限角，∴sinα<0，cosα＜0. ∴－＝－＝＝0. 9．(2021河南模拟，5分)已知α∈且tan(2α＋)＝－，则的值为(　B　) A．－ B．－1 C．1 D. 解析：∵α∈且tan＝－＝，∴tan2α＝－＝，∴tanα＝2(舍去)，或tanα＝－，则＝＝tanα－＝－1.故选B. 10．(2020百校联盟模拟，5分)设0＜β<α<，tan(α－β)＋tanβ＝，则(　B　) A．2α＋β＝ B．2α－β＝ C．α＋2β＝ D．α－2β＝ 解析：∵tan(α－β)＋tanβ＝，∴＋＝，等式两边同乘cos(α－β)cosβ，得sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝cos(α－β)，将等式左边逆用两角和的正弦公式，整理可得sinα＝cos(α－β)，即cos＝cos(α－β)． ∵0＜β＜α＜，∴0＜－α＜，0＜α－β＜，∴－α＝α－β，∴2α－β＝.故选B. 11．(2020河南月考，5分)已知a＝(sin，cos2－)，b＝，若对于任意的m∈[－1，1]，a·b>恒成立，则α的取值范围是(　B　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：a·b＝sincos＋m(cos2－)＝sinα＋mcosα. 为使a·b>对任意的m∈[－1，1]恒成立，只需min>， 所以 即 解得＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)．故选B. 12．(经典题，6分)求证：＝sinα＋cosα.　 答案：见证明过程 证明：∵1＋2sinαcosα＝(sinα＋cosα)2， ∴ ＝(3分) ＝＝sinα＋cosα， 即＝sinα＋cosα.(6分) 13．(2023汇编，15分)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.　 (1)求函数f(x)的单调递增区间； 答案：(k∈Z) 解：f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－＝sin2x＋－＝sin(2x＋)．(2分) 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，可得－π＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间是[－π＋kπ，＋kπ](k∈Z)．(4分) (2)若f(α)＝，α∈，求cos2α的值； 答案： 解：由f(α)＝，得sin＝.(5分)　 因为α∈，所以2α＋∈， 所以cos＝－＝－，(7分) 所以cos2α＝cos ＝[cos＋sin] ＝×＝.(10分) (3)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在上的最小值． 答案：－ 解：由(1)得f(x)＝sin. 将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x＋)的图像，再将得到的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin＝cosx的图像， ∴g(x)＝cosx.(13分) ∵x∈，∴当x＝时，函数g(x)在上取得最小值，g(x)min＝g ＝×＝－.(15分) B组(冲刺满分) 14．(2021全国模拟，5分)已知函数f(x)＝sin＋2sin2－在[0，m]上恰有10个零点，则m的取值范围是____． 解析：f(x)＝sin＋2sin2(＋)－ ＝sin＋－ ＝2sin. ∵f(x)在[0，m]上恰有10个零点，f(x)＝0⇔2sin＝0， ∴sin＝0在[0，m]上恰有10个解， ∴sinx＝0在上恰有10个解， ∴9π≤m－<10π，解得≤m<， 故m的取值范围是. 15．(2020浙江绍兴期中，10分)(1)已知cos(＋x)＝，<x<，求的值； 答案：－ 解：＝ ＝＝ ＝sin2x·tan.(2分) 因为<x<，所以<＋x<2π， 所以sin＝－＝－， 所以tan＝－， sin2x＝－cos＝－cos2＝sin2－cos2＝，(4分) 所以原式＝sin2x·tan ＝× ＝－.(5分) (2)求值：. 答案： 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝.(10分) 16．(2020浙江绍兴二模，14分)已知函数f(x)＝sin2x＋2·sinxcosx＋sinsin. (1)求f(x)图像的对称中心； 答案：，k∈Z 解：f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋sin·sin　 ＝＋sin2x＋(sinx＋cosx)·(sinx－cosx)　 ＝－cos2x＋sin2x＋(sin2x－cos2x) ＝－cos2x＋sin2x－cos2x＋ ＝sin2x－cos2x＋ ＝2sin＋.(5分) 令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 所以f(x)图像的对称中心为，k∈Z.(7分) (2)若x0为f(x)的一个零点，求cos 2x0的值． 答案： 解：若x0为f(x)的一个零点， 则2sin＋＝0， 即sin＝－.(9分) 由x0∈知2x0－∈， 所以2x0－∈，(11分) 所以cos＝＝， 所以cos2x0＝cos ＝cos cos－sin sin ＝×－× ＝.(14分) 学科网（北京）股份有限公司 $$