第15课 三角函数的图像与性质-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第15课 三角函数的图像与性质 普查与练习15　　　　三角函数的图像与性质 1．三角函数的周期性 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)(多选)(2021海南模拟，5分)下列函数中，以4π为周期的函数有(　AD　) A．y＝tan B．y＝sin C．y＝sin|x| D．y＝cos|x| 解析：对于A：函数y＝tan的最小正周期为4π，故A正确； 对于B：函数y＝sin的最小正周期为8π，故B不正确； 对于C：根据图像可知函数y＝sin|x|不是周期函数，故C不正确； 对于D：y＝cos|x|＝cosx，最小正周期为2π， 所以4π也是它的一个周期，故D正确．故选AD. (2023改编，5分)在函数y＝，y＝2sin2x·，y＝，y＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|中，最小正周期为π的函数个数是(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①画出函数y＝的图像，如图所示，则函数的最小正周期为T＝2π. ②函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}, y＝2sin2x·＝2sin2x·＝2sin2x·cos2x＝sin4x，画出函数图像，如图所示，由图可知函数的最小正周期为T＝π. ③由已知得y＝＝＝sinxcosx＝sin2x，则函数的最小正周期为T＝＝π. ④根据诱导公式，易得 |sin＋cos|＋|sin－cos| ＝|cosx－sinx|＋|cosx＋sinx|＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|， 所以函数的一个周期为，所以函数y＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|的最小正周期一定小于π.故选B. (2)(2023汇编，25分)已知函数f(x)＝cos·cos(ω>0)． ①若函数f(x)的最小正周期为π，则ω＝(　B　) A．2 B．1 C. D．π ②若x1＝－，x2＝是函数f(x)的两个相邻的极值点，则ω＝(　C　) A．2 B. C．1 D. ③若函数f(x)的图像上相邻两对称轴之间的距离为，则ω＝(　A　) A. B. C. D．1 ④若函数f(x)有相邻的两个零点和，则ω＝(　C　) A．1 B. C．2 D．3 ⑤若f＝f，则ω的最小值是(　D　) A. B．1 C．2 D．3 解析：①∵ωx＋－＝， ∴ωx＋＝＋， ∴f(x)＝coscos＝－sincos＝－sin. ∵f(x)的最小正周期是π， ∴＝π，∴ω＝1.故选B. ②由题意可知，函数f(x)＝－sin的最小正周期为T＝2×＝π＝，∴ω＝1.故选C. ③函数f(x)的图像上相邻两条对称轴之间的距离为， 则T＝2×＝＝，得ω＝.故选A. ④∵f(x)有相邻的两个零点和，∴函数的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝2.故选C. ⑤根据题意，可知函数f(x)的图像关于直线x＝对称，即2ω×－＝kπ＋，k∈Z，得ω＝k＋3，k∈Z. 要使得ω取最小值，则k＝0，此时ω取得最小值3.故选D. 2．三角函数的奇偶性 (3)(2023汇编，15分)已知函数f(x)的最小正周期为4π，f(φ)＝1，f(ωx－φ)＝2sin(ω＞0，0＜φ＜π)． ①函数f(x)是__偶__函数；(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) ②函数g(x)＝是__非奇非偶__函数；(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) ③若函数f(x－m)(m>0)是奇函数，则实数m的最小值是__π__． 解析：①由题意，令ωx－φ＝t，可得x＝，则f(t)＝2sin， 可得f(x)的解析式为f(x)＝2sin. ∵函数f(x)的最小正周期为4π，∴ω＝4. 又f(φ)＝1，∴＝sin. ∵0<φ<π，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin＝2cosx. ∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2cos＝2cosx＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数． ②f(x－π)＝2cos＝2sin， g(x)＝． 令1＋2sin≠0，得x≠4kπ＋且x≠4kπ＋，k∈Z，∴函数g(x)的定义域为{x|x≠4kπ＋，且x≠4kπ＋}(k∈Z)． ∵函数的定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数． ③∵f(x)＝2cosx，∴f(x－m)＝2cos. 又∵f(x－m)为奇函数，∴－＝kπ＋，k∈Z， ∴m＝－2kπ－π，k∈Z. 又∵m>0，∴当k＝－1时，m取得最小值π. 故答案是π. 3．三角函数的对称性 (4)(2023汇编，20分)已知函数f(x)＝sin－1(ω>0)的最小正周期为. ①下列选项正确的是(　C　) A．函数f(x)的图像关于直线x＝－对称 B．函数f(x)的图像关于点对称 C．函数f(x)的图像关于直线x＝对称 D．函数f(x)的图像关于点对称 ②(多选)若函数g(x)＝f(x＋φ)，且函数g(x)的图像关于直线x＝对称，则φ的值是(　ABD　) A. B．－ C．－ D. ③若函数h(x)＝sin＋asin的图像的一条对称轴方程为x＝，则a的值是(　C　) A. B．－ C. D．－ ④函数m(x)＝sin(φ1>0)的图像关于点对称，则φ1的最小值是(　C　) A. B. C. D. 解析：函数f(x)的最小正周期为T＝＝，解得ω＝3， 所以f(x)＝sin－1. ①令3x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．观察选项，取k＝1，可得f(x)图像的一条对称轴为直线x＝.故选C. ②g(x)＝f(x＋φ)＝sin－1，|φ|<. 若函数g(x)的图像关于直线x＝对称， 则3×＋3φ＋＝kπ＋，k∈Z， 得φ＝＝＝π－π，k∈Z. 当k＝0时，φ＝－；当k＝1时，φ＝；当k＝2时，φ＝；当k＝3时，φ＝；当k＝－1时，φ＝－.故选ABD. ③h(x)＝sin＋asin ＝sin－acos ＝sin，tanθ＝a. 由3×＋－θ＝kπ＋，k∈Z，得θ＝π－kπ，k∈Z， 所以a＝tan＝，k∈Z.故选C. ④因为函数m(x)＝sin(2x＋φ1)(φ1>0)的图像关于点对称，所以2×＋φ1＝kπ，k∈Z，得φ1＝kπ－，k∈Z. 结合φ1>0，可知当k＝1时，φ1取得最小值.故选C. 4．三角函数的单调性 a．已知函数解析式求函数的单调区间 (5)(2023汇编，15分)已知函数f(x)＝7sin. ①下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是(　A　)(2021新高考Ⅰ)　 A. B. C. D. ②函数g(x)＝f的单调递增区间是(　B　) A. B. C. D. ③函数h(x)＝f，x∈的单调递增区间是(　D　) A. B. C. D. 解析：①因为函数y＝sinx的单调递增区间为(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，对于函数f(x)＝7sin，由2kπ－<x－<2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)． 取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为， 则⊆，不是的子集，A选项满足条件，B选项不满足条件； 取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为， 则不是的子集，且不是的子集，不是的子集，且不是的子集，C，D选项均不满足条件．故选A. ②g(x)＝f＝7sin＝7sin＝－7cos2x.函数g(x)的单调递增区间即为函数y＝cos2x的单调递减区间，即为(k∈Z)． 取k＝0，可得函数g(x)的一个单调递增区间为， 则⊆，B选项满足条件； 与均不是的子集， A，D选项均不满足条件； 而是g(x)的一个单调递减区间，C选项不满足条件． 故选B. ③h(x)＝f＝7sin(－2x－)＝7sin＝－7sin. 函数h(x)的单调递增区间即为函数y＝7sin的单调递减区间．由2kπ＋<2x－<2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ＋<x<kπ＋(k∈Z)． 令k＝－1，得－<x<－， 因此，函数h(x)的单调递增区间是.故选D. b．已知函数的单调区间求参数的值或范围 (6)(2023汇编，10分)已知函数f＝sin (ωx＋φ)(ω>0)． ①若φ＝，且函数f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　A　) A. B. C. D. ②若|φ|<，函数f(x)的最小正周期为π，且f(x)是上的单调函数，则φ的取值范围是(　C　) A. B. C. D. 解析：①令2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得≤x≤，k∈Z. ∵函数f(x)＝sin在区间上单调递增， ∴当k＝0时，可得函数f(x)＝sin的一个单调增区间为，∴(－，)⊆，　∴ 又ω>0，∴0＜ω≤， 即ω的取值范围是.故选A. ②∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)． ∵f(x)是上的单调函数，且|φ|<， ∴＋φ≥，且＋φ≤，解得－≤φ≤－.故选C. c．已知函数在含参区间上的单调性，求参数的取值范围 (7)(2018全国Ⅱ，5分)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(　A　) A. B. C. D．π 解析：(法一)f(x)＝cosx－sinx＝＝＝ cos， 令2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.由已知可得[－a，a]⊆， 所以－≤－a<0，且a≤，即0<a≤， 所以a的最大值为.故选A. (法二)同方法一可得f(x)＝cos， 所以直线x＝－为函数f(x)图像的一条对称轴，画出函数图像如图： 可知－≤－a<0，解得0<a≤， 所以a的最大值为.故选A. 5．三角函数中的值域及最值问题 a．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (8)(2023改编，15分)已知函数f(x)＝sinx－2sin2. ①函数f(x)在区间上的最小值是(　C　) A．－ B．2－ C．0 D. ②设g(x)＝－f(x)，则g(x)在区间上的值域是(　A　) A．[0，＋] B．[－2＋，＋] C．[＋，2＋] D．[0，2＋] ③设h(x)＝f＋，则h(x)在区间上的值域是(　C　) A．[－，] B．[－1，1] C．[0，2] D．[0，1] 解析：①f(x)＝sinx－2sin2＝sinx－(1－cosx)＝sinx＋cosx－＝2sin－. ∵x∈，∴x＋∈， ∴当x＋＝，即x＝0时， f(x)取得最小值，最小值为f(0)＝0.故选C. ②由①知g(x)＝－2sin＋. ∵x∈，∴x＋∈， ∴函数y＝2sin在区间上单调递增， ∴函数g(x)在区间上单调递减． ∵g(0)＝－2sin＋＝0， g＝－2sin＋＝＋， ∴函数g(x)在区间上的值域为[0，＋]．故选A. ③∵f(x)＝2sin－，∴h(x)＝f＋＝2sin－＋＝2sin＝2cos2x. 当x∈时，2x∈，函数h(x)在上为增函数；当x∈时，2x∈，函数h(x)在上为减函数． 又∵h(0)＝2cos0＝2，h＝2cos＝2cos＝0，h＝2cos＝1， ∴函数h(x)在上的值域是[0，2]．故选C. (9)(经典题，5分)函数y＝tan的值域是(　B　) A.[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1) D．[－1，＋∞) 解析：∵y＝tan ＝，且定义域关于原点对称，∴该函数为奇函数．当0<x≤时，y＝tanx单调递增，∴0<tanx≤1，∴≥1.又函数y＝为奇函数，∴当－≤x<0时，≤－1，∴函数y＝tan (－x)的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选B. b．利用换元法解决最值问题 (10)(2021北京，4分)函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　D　) A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 解析：由题意可知，函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以该函数为偶函数． 又因为f(x)＝cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2(cosx－)2＋，所以当cosx＝时，f(x)取最大值.故选D. c．利用化一法解决最值问题 (11)(2021全国Ⅱ，5分)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　C　) A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2 解析：由题意可知，函数f(x)＝sin＋cos＝(sin＋cos)＝sin，所以f(x)的最小正周期为T＝＝6π，最大值为.故选C. (12)(2023汇编，16分)已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x＋. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期； 答案：π 解：因为f(x)＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x＋＝sin＋， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(4分) (Ⅱ)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合； 知识点：对于函数y＝sin(ωx＋φ)＋b(ω>0)，当ωx＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)时，函数取最小值b－1. 答案：－，{x|x＝－＋kπ，k∈Z} 解：令2x－＝－＋2kπ(k∈Z)，解得x＝－＋kπ(k∈Z)，即当x∈时， f(x)取得最小值，最小值为－.(8分) (Ⅲ)求f(x)在上的最小值； 答案：＋ 解：当≤x≤时，≤2x－≤，∴函数f(x)在上先增后减． 又f ＝＋，f ＝＋，∴函数f(x)在上的最小值为f ＝＋.(12分) (Ⅳ)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值． 答案： 解析：解：当x∈时，2x－∈[－，2m－]．因为f(x)在区间上的最大值为，所以y＝sin在区间上的最大值为1，所以2m－≥，解得m≥，所以m的最小值为.(16分) d．与值域(或最值)有关的参数问题 (13)(2023汇编，20分)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)． ①若函数f(x)在上仅有1个最值，且是最大值，则实数ω的值不可能为(　B　) A．1 B．2 C. D. ②若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__1__． ③若函数f(x)在(0，π)内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围为(　A　) A. B. C. D. ④若函数f(x)的最小正周期T＜2π且在x＝处取得最大值，则ω的最小值为(　C　) A．3 B．12 C. D. 解析：①∵f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin， 且f(x)在上仅有1个最值，且是最大值， ∴根据如图所示的函数y＝sinx的图像， 可得＋<2kπ＋<＋，且＋≥－＋2kπ，＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋<ω<12k＋，k∈Z. 又ω>0，∴当k＝0时，<ω<. 结合选项可知，2∉.故选B. ②∵f(x)≤f对任意的实数x都成立， ∴函数f(x)在x＝时取得最大值， ∴＋＝2kπ＋，k∈Z，得ω＝8k＋1，k∈Z. ∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值，最小值为1. ③∵x∈(0，π)， ∴ωx＋∈. ∵ω>0， ∴函数f(x)在(0，π)内有且仅有一个极大值点，等价于函数y＝sinx在上有且仅有一个极大值点， ∴<ωπ＋≤，得<ω≤. 故ω的取值范围是.故选A. ④∵函数f(x)的最小正周期T＜2π，∴＜2π. 又∵ω>0，∴ω＞1. ∵函数f(x)在x＝处取得最大值， ∴＋＝2kπ＋，k∈Z，得ω＝12k＋，k∈Z. ∵ω>1，∴当k＝0时，ω取得最小值.故选C. (14)(2023改编，18分)已知函数f(x)＝cosx(sinx－cosx)＋. (Ⅰ)求f的值； 答案：1 解：因为f(x)＝cosx(sinx－cosx)＋＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，(3分) 所以f＝sin＝sin＝1.(5分) (Ⅱ)当x∈时，不等式c<f(x)<c＋2恒成立，求实数c的取值范围； 答案： 解：因为0≤x≤， 所以－≤2x－≤， 所以－≤sin≤1.(8分) 因为不等式c<f(x)<c＋2恒成立， 所以⊆(c，c＋2)，即解得－1<c<－， 所以实数c的取值范围为.(12分) (Ⅲ)若m<0，n>0，在区间(m，n)上，函数f(x)有最大值，无最小值，求实数m，n的取值范围． 答案：m∈　n∈ 解：因为f(x)＝sin， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 因为m<0，n>0，所以0所在的单调区间是函数f(x)的一个单调递增区间， 所以区间是函数f(x)的单调递减区间． 根据题意可得，函数f(x)在区间(m，n)上有最大值，无最小值， 则函数f(x)在(m，n)上的最大值为f.(15分) 则m，n分别满足不等式及 解得－≤m<0，<n≤. 所以，实数m的取值范围是，n的取值范围是.(18分) 6．三角函数中的零点问题 (15)(2023汇编，10分)已知函数f(x)＝cos. ①函数f(x)在[0，π]上的零点个数为__3__． ②若g(x)＝－f，x∈，函数y＝g(x)－a恰好有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1＋2x2＋x3的值为__π__． 解析：①由题意，令f(x)＝cos＝0， 则3x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)． 因为x∈[0，π]，所以可取x＝，，这3个值． 所以函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为3. ②g(x)＝－cos＝－cos＝sin. ∵x∈，∴3x＋∈. 当x∈时，g(x)单调递增；当x∈[，]时，g(x)单调递减；当x∈时，g(x)单调递增， 且g＝g＝1，g＝－1，g(0)＝. 函数y＝g(x)－a恰好有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，即为函数y＝g(x)的图像与直线y＝a有三个不同的交点，交点横坐标分别为x1，x2，x3. 结合图像的对称性可得，x1＋x2＝2×，x2＋x3＝2×π，则x1＋2x2＋x3＝π.故答案是π. (16)(2019全国Ⅲ，5分)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]上的零点个数为(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]上的零点个数，即方程2sinx－sin2x＝0在[0，2π]上的根的个数，即函数h(x)＝2sinx和g(x)＝sin2x的图像在[0，2π]上的交点个数． 作出两函数在[0，2π]上的图像，如图所示． 由图可知，两函数图像的交点个数为3.故选B. (17)(2020北京大兴区一模，4分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)．若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为(　B　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：令t＝ωx＋，则当x∈[0，π]时，t∈[，ωπ＋]，∴方程f(x)＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根等价于方程sint＝1在区间上有且仅有两个不相等的实根，等价于函数y＝sint的图像与直线y＝1在区间上有且仅有两个交点． 结合正弦函数y＝sint的图像，可得≤ωπ＋<，解得≤ω<，∴满足条件的ω的最大整数值为4.故选B. 7．三角函数的性质的综合应用 a．利用三角函数的图像和性质解三角不等式 (18)(2021江西贵溪校级三模，12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期； 答案：π 解：∵函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1＝2sin－1，(2分) ∴f(x)的最小正周期为＝π.(4分) (Ⅱ)若f(x)≥0，求x的取值范围． 答案：，k∈Z 解：由f(x)≥0，可得 sin≥， ∴2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，(8分) 解得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，故不等式的解集为，k∈Z.(12分) b．综合应用三角函数的性质解决问题 (19)(2023汇编，10分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的最小正周期为π，且图像关于中心对称． ①下列结论正确的是(　D　) A．f(1)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(2)＜f(1) C．f(2)＜f(0)＜f(1) D．f(2)＜f(1)＜f(0) ②下列说法正确的是(　D　) A．函数f(x＋φ′)为偶函数的充要条件是φ′＝ B．当x∈时，函数f(x)的最小值为 C．函数f(x)在区间上是减函数 D．函数f(x)的图像关于直线x＝对称 解析：①∵函数的最小正周期是π，ω＞0，∴＝π，得ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)． ∵函数f(x)的图像关于中心对称， ∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z. 又∵0＜φ＜，∴k＝0，φ＝，∴f(x)＝sin. 易知函数f(x)在上递减，f(x)图像的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，∴直线x＝和直线x＝都是f(x)图像的对称轴，∴f(0)＝f＝f， f(2)＝f＝f. 又∵<＜1＜－2<， ∴f＞f(1)＞f， 即f(2)＜f(1)＜f(0)．故选D. ②f(x＋φ′)＝sin， 若函数为偶函数，则2φ′＋＝kπ＋，k∈Z， 得φ′＝＋，k∈Z.故A选项错误； 当x∈时，2x＋∈， 在上，f(x)单调递增；在上，f(x)单调递减． 在x＝时，f(x)取得最大值，最大值为f＝sin＝1.故B选项错误； 当x∈时，2x＋∈，函数f(x)单调递减； 当x∈时，2x＋∈，函数f(x)单调递增．故C选项错误； 当x＝时，2x＋＝，即函数f(x)的图像关于直线x＝对称．故D选项正确． (20)(多选)(2020山东济南二模，5分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f＝0，f(x)≤恒成立，且f(x)在区间上单调，则下列说法正确的是(　BCD　) A.存在φ，使得f(x)是偶函数 B．f(0)＝f C．ω是奇数 D．ω的最大值为3 解析：若f(x)是偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)，不满足|φ|＜，故选项A错误． 因为f(x)≤恒成立，所以直线x＝为函数f(x)图像的对称轴，所以f(0)＝f，故选项B正确． 因为f＝0，所以是函数f(x)图像的一个对称中心，所以－＝＋(n∈N)，解得T＝(n∈N)， 所以＝(n∈N)，即ω＝2n＋1(n∈N)，所以ω是奇数，故选项C正确． 因为f(x)在区间上单调，所以≥－＝，所以T≥，所以0<ω≤8. 又ω是奇数，所以ω＝1，3，5，7. 当ω＝3时，φ＝，由x∈，得3x＋∈，所以f(x)在上单调，符合条件； 当ω＝5时，φ＝－，由x∈，得5x－∈，所以f(x)在上不单调，不符合条件； 当ω＝7时，φ＝－，由x∈，得7x－∈，所以f(x)在上不单调，不符合条件，故选项D正确．故选BCD. (21)(2020北京西城区二模，14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)同时满足下列四个条件中的三个： ①最小正周期为π； ②最大值为2；③f(0)＝－1；④f＝0. (Ⅰ)给出函数f(x)的解析式，并说明理由； 答案：f(x)＝2sin，理由见解答过程 解：若函数f(x)满足条件③，则f(0)＝Asinφ＝－1，这与A>0，0<φ<矛盾，故函数f(x)不能满足条件③， 所以函数f(x)只能满足条件①②④.(3分) 由条件①，可得＝π，即ω＝2. 由条件②，可得A＝2. 由条件④，可得f＝2sin＝0. 又因为0<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin.(9分) (Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间． 答案：，k∈Z 解：令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(14分) (22)(2019全国Ⅰ，5分)函数f(x)＝在[－π，π]上的图像大致为(　D　) A B C D 解析：由y＝sinx＋x为奇函数，y＝cosx＋x2为函数值不为0的偶函数，得f(x)＝，x∈[－π，π]为奇函数，故排除A选项； 又f(π)＝＝>0，故排除B，C选项．故选D. c．判断与三角函数有关的复杂函数的性质 (23)(2020全国Ⅲ，5分)关于函数f(x)＝sinx＋有如下四个命题： ①f(x)的图像关于y轴对称； ②f(x)的图像关于原点对称； ③f(x)的图像关于直线x＝对称； ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是__②③__． 解析：由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故定义域关于原点对称． 因为f(－x)＝sin(－x)＋＝－sinx－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图像关于原点对称，故①错②对； 因为f(π－x)＝sin(π－x)＋＝sinx＋＝f(x)，所以函数f(x)的图像关于直线x＝对称，故③对； 令t＝sinx，则t∈[－1，0)∪(0，1]， 由对勾函数g(t)＝t＋的性质可知， g(t)＝t＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以f(x)无最小值，故④错．故所有真命题的序号是②③. (24)(2019全国Ⅰ，5分)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数； ②f(x)在上单调递增； ③f(x)在[－π，π]上有4个零点； ④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是(　C　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 解析：因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，且定义域为R，所以函数f(x)是偶函数，故①正确； 当x∈时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，则f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx为减函数，故②错误； 当x∈[0，π]时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，则f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx.令f(x)＝0，得2sinx＝0，解得x＝0 或x＝π.由f(x)是偶函数，得f(x)在[－π，0)上有一个零点x＝－π，即函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，故③错误； 当sin|x|＝1且|sinx|＝1时， f(x)取得最大值2，故④正确． 综上，正确结论是①④.故选C. 随堂普查练15 1．(2020辽宁期末，5分)下列函数中，周期为的偶函数是(　B　) A．y＝|tanx| B．y＝cos22x C．y＝ D．y＝sin2x－cos2x 解析：选项A中，因为≠|tanx|，所以函数y＝|tanx|的周期不是，故A不符合题意； 选项B中，y＝cos22x＝，函数的周期T＝＝，且函数为偶函数，故B符合题意； 选项C中，y＝＝tan2x，函数的周期T＝，但函数为奇函数，故C不符合题意； 选项D中，y＝sin2x－cos2x＝sin，函数的周期T＝＝π，故D不符合题意．故选B. 2．(经典题，5分)设函数f(x)＝sin＋cos，则函数y＝f(x)是(　D　) A．奇函数，其图像关于点(π，0)对称 B．奇函数，其图像关于直线x＝对称 C．偶函数，其图像关于点(π，0)对称 D．偶函数，其图像关于直线x＝对称 解析： f(x)＝sin＋cos＝sin(2x＋＋)＝cos2x，故易知f(x)为偶函数，A，B错误． 令2x＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以f(x)图像的对称中心为(k∈Z)，而f(π)＝≠0，故f(x)的图像不关于点(π，0)对称，C错误． 令2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，所以f(x)图像的对称轴方程为x＝(k∈Z)．当k＝1时，x＝，故f(x)的图像关于直线x＝对称，D正确．故选D. 3．(2020江苏南京模拟，5分)曲线y＝2sin(ω＞0)的一个对称中心的坐标为(3，0)，则ω的最小值为____． 解析：因为曲线y＝2sin(ω＞0)的一个对称中心的坐标为(3，0)，所以3ω＋＝kπ，k∈Z.因为ω＞0，所以令k＝1，可得ω的最小值为. 4．(经典题，5分)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在上单调递减，则ω的取值范围是(　B　) A.　 B. C.　 D. 解析：根据题意知函数f(x)＝sin的最小正周期T≥2＝π，∴T＝≥π，∴0<ω≤2. 由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ＋≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，∴＋≤x≤＋，k∈Z， ∴f(x)＝sin的单调递减区间为[＋，＋]，k∈Z.∵函数f(x)在上单调递减， ∴k∈Z， ∴4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z. 又∵0<ω≤2，∴k＝0，∴≤ω≤.故选B. 5．(2020北京大兴区一模，5分)若函数f(x)＝cos2x－sin2x在区间[0，m]上单调递减，则m的一个值可以是__1(答案不唯一)__． 解析：f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x. 令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，　 故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. ∵函数在区间[0，m]上单调递减， ∴k∈Z，∴k＝0，解得0<m≤， ∴m的一个值可以是1. 6．(经典题，12分)定义：T(x，y)＝cosxcosy＋sinxsiny，其中x，y∈R. (1)设f(x)＝T，求f(x)在区间上的最小值； 答案：－ 解：由题意可知f(x)＝cos. 因为x∈，所以－≤2x－≤， 所以当2x－＝，即x＝时， f(x)取得最小值， f(x)min＝f＝－.(4分) (2)设g(x)＝T·T＋2aT，其中a∈R，求当x∈时，g(x)的最大值． 答案：g(x)max＝ 解：g(x)＝T·T＋2aT ＝＋2asinx ＝cos2x－sin2x＋2asinx＝－sin2x＋2asinx＋ ＝－(sinx－a)2＋a2＋.(7分) 令t＝sinx，因为x∈，所以t∈[－1，1]， 则h(t)＝－(t－a)2＋a2＋. 原问题可转化为求函数h(t)在[－1，1]上的最大值．(9分) 由二次函数的单调性知， 当a<－1时，g(x)max＝h(－1)＝－2a－； 当－1≤a≤1时，g(x)max＝h(a)＝a2＋； 当a>1时，g(x)max＝h(1)＝2a－. 综上，g(x)max＝(12分) 7．(2020北京，5分)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为__(答案不唯一)__． 解析：(法一)因为f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx ＝sinxcosφ＋cosxsinφ＋cosx＝sinxcosφ＋(1＋sinφ)cosx ＝sin(x＋θ)， 其中cosθ＝，sinθ＝， 所以f(x)的最大值为＝2， 所以cos2φ＋(1＋sinφ)2＝4，即2＋2sinφ＝4，所以sinφ＝1， 所以φ＝＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，φ＝. (法二)因为－1≤sin(x＋φ)≤1，－1≤cosx≤1，所以要使函数f(x)取得最大值2，则sin(x＋φ)＝cosx＝1，此时x＝2kπ，φ＝2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，φ＝. 8．(多选)(2020山东模拟，5分)已知函数f(x)＝Asinωx－cosωx(A＞0，ω＞0)，g(x)＝2sinx，若∀x1∈R，∃x2∈，使得f(x1)≤g(x2)成立，且f(x)在区间上的值域为[－1，]，则实数ω的取值可能是(　CD　) A. B. C．1 D. 解析：f(x)＝Asinωx－cosωx＝sin(ωx＋θ)，tanθ＝－(A>0)．当x∈时，g(x)＝2sinx∈[0，]． ∵∀x1∈R，∃x2∈，使得f(x1)≤g(x2)成立， ∴f(x)max≤g(x)max，即≤. 又f(x)在区间上的值域为[－1，]， ∴f(x)max＝≥，∴＝，解得A＝1， ∴f(x)＝sinωx－cosωx＝sin. ∵f(x)在区间上的值域为[－1，]， 即－1≤sin≤，∴－≤sin≤1， 当x∈时，ωx－∈，∴≤ω－≤π＋，解得1≤ω≤2.故选CD. 9．(2020北京密云区二模节选，8分) 已知函数f(x)＝cosx(2sinx＋cosx)－sin2x.当x∈时，关于x的不等式f(x)≥m________，求实数m的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题，并求解．其中，①有解；②恒成立． 答案：(－∞，2](选择①)　(－∞，－1](选择②) 解：f(x)＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．(2分) 若选择①： 不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max.(4分) 因为x∈，所以≤2x＋≤， 故当2x＋＝，即x＝时， f(x)取得最大值，f(x)max＝f＝2.(7分) 所以m∈(－∞，2]．(8分) 若选择②： 不等式f(x)≥m恒成立，即m≤f(x)min.(4分) 因为x∈，所以≤2x＋≤. 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值， f(x)min＝f＝－1.(7分) 所以m∈(－∞，－1]．(8分) 10．(2023汇编，15分)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ). ①函数f(x)的最小正周期为__π__； ②若函数f(x)在区间上有且只有三个零点，则φ的值是__－__； ③在②的条件下，设函数g(x)＝－3f－1，且g(x)的定义域为[－5，8]，则g(x)的所有零点之和等于__12__． 解析：①f(x)的最小正周期T＝＝π. ②令t＝2x＋φ，则由x∈可得，t∈， ∴函数f(x)在上有且只有三个零点，即函数y＝cost在上有且只有三个零点． 如图是余弦函数y＝cost的图像， ∵－<φ<0，∴<＋φ<，<＋φ<， ∴函数y＝cost在上的三个零点分别是，，， ∴解得∴φ＝－. ③g(x)＝－3cos－1＝－3cosx－1.　 ∵g(x)的定义域为[－5，8]， ∴函数g(x)＝－3cosx－1在区间[－5，－4]，[－2，0]，[2，4]，[6，8]上单调递减，在区间[－4，－2]，[0，2]，[4，6]上单调递增，且g(－5)＝－1，g(8)＝－4. 令g(x)＝0，得cosx＝－. ∵函数y＝cosx关于直线x＝－2，2，6对称， ∴g(x)的零点之和为－4＋4＋12＝12. 11．(2020山东德州一模，5分)若函数f(x)＝sin(ω＞0)在上存在唯一极值点，且在上单调，则ω的取值范围为____． 解析：当x∈时，ωx＋∈(，ω＋)． 因为f(x)在上存在唯一极值点，所以＜＋≤，解得＜ω≤. 又f(x)在上单调，所以≤＝，即ω≤2，所以＜ω≤2. 当x∈时，ωx＋∈(ω＋，πω＋)，所以＜ω＋≤，所以πω＋≤，解得ω≤，所以<ω≤，所以ω的取值范围是. 12．(2020北京门头沟区一模，14分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足下列3个条件中的2个条件： ①函数f(x)的周期为π； ②x＝是函数f(x)的图像的对称轴； ③f＝0且在区间上单调． (1)请指出这2个条件，并求出函数f(x)的解析式； 答案：①②，f(x)＝sin 解：若选择①③，则由函数f(x)的周期为π，可得ω＝＝2；由f＝0，可得2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，与|φ|<矛盾，故f(x)不可能满足①③.(3分) 若选择②③，则由x＝是函数f(x)的图像的对称轴，f＝0，可得－＝＋(k∈N)，即T＝(k∈N)，所以 T≤.又f(x)在上单调，所以－≤，所以T≥，矛盾，故f(x)不可能满足②③.(6分) 故f(x)满足条件①②.(7分) 由①可得ω＝2，因为x＝是函数f(x)的图像的对称轴，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.又因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin .(10分) (2)若x∈，求函数f(x)的值域． 答案： 解：当x∈时，2x＋∈， 所以sin∈， 所以函数f(x)在内的值域是.(14分)　 13．(多选)(2021湖南岳阳一模，5分)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　ABC　) A．f(x)的一个周期为2π B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在上单调递减 解析：(法一)函数f(x)＝cos的周期为2kπ，k∈Z且k≠0，当k＝1时，函数的周期为2π，A正确；将x＝代入函数解析式，得f(x)＝cos＝cos3π＝－1，为函数 f(x)的最小值，∴函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，B正确； f(x＋π)＝cos＝－cos，将x＝代入该函数解析式，得f＝－cos(＋)＝－cos＝0，即x＝是函数f(x＋π)的一个零点，C正确； 当<x<π时，<x＋<.∵<π<， ∴此时函数f(x)不是单调函数，D错误．故选ABC. (法二)画出函数f(x)＝cos的图像，如图所示． 由图可知，选项A，B正确；f(x＋π)的图像由f(x)的图像向左平移π个单位长度得到，由图知f(x)的一个零点为，所以f(x＋π)对应的零点为，选项C正确； f(x)在上先单调递减后单调递增，D选项错误．故选ABC. 14．(经典题，5分)函数y＝的部分图像大致为(　C　) A B C D 解析：∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，且定义域关于原点对称，∴函数y＝为奇函数，排除B；当x＝π时，y＝＝0，排除D；当x＝1时，y＝，∵<2<π，∴sin2>0，又1－cos1>0，∴当x＝1时，y>0，排除A.故选C. 15．(多选)(2020山东聊城三模，5分)已知函数f(x)＝|sinx|＋cosx，则下列说法正确的是(　ABC　) A．2π为f(x)的周期 B．对于任意x∈R，函数f(x)都满足f(π＋x)＝f(π－x) C．函数f(x)在上单调递减 D．f(x)的最小值为－ 解析：∵f(x＋2π)＝|sin(x＋2π)|＋cos(x＋2π)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，∴2π为f(x)的周期，故A正确． f(π＋x)＝|sin(π＋x)|＋cos(π＋x)＝|sinx|－cosx，f(π－x)＝|sin(π－x)|＋cos(π－x)＝|sinx| －cosx，故B正确． 当x∈时，sinx>0，∴f(x)＝sinx＋cosx＝sin，x＋∈，∴函数f(x)单调递减，故C正确． 当0≤x≤π时，f(x)＝sinx＋cosx＝sin，≤x＋≤，∴f(x)∈[－1，]．又 f(－x)＝ |sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数，∴当－π≤x≤0时，f(x)∈[－1，]．又2π为f(x)的周期，∴函数f(x)在R上的值域为[－1，]，故D错误．故选ABC. 课后提分练15　三角函数的图像与性质 A组(巩固提升) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2020河南洛阳期末，5分)设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则(　C　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 解析：a＝sin33°，b＝cos55°＝cos(90°－35°)＝sin35°.∵函数y＝sinx在0°≤x≤90°上单调递增， ∴sin35°>sin33°，即b>a.∵c＝tan35°＝，0<cos35°<1，∴>sin35°，即c>b，∴c>b>a.故选C. 2．(2019北京，5分)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　C　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当b＝0时， f(x)＝cosx为偶函数，所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分条件； 当f(x)为偶函数时，f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinx＝f(x)＝cosx＋bsinx，即2bsinx＝0恒成立， 所以b＝0，所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的必要条件． 综上，“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C. 3．(2019全国Ⅱ，5分)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　A　) A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 解析：作出y＝|cos2x|的图像，如图所示．由图可知函数y＝|cos2x|以为周期，在上单调递增，故A正确； 同理，作出y＝|sin2x|，y＝cos|x|＝cosx，y＝sin|x|的图像，由图可知y＝|sin2x|在上单调递减，y＝cos|x|的最小正周期为2π，y＝sin|x|不是周期函数，故B，C，D选项错误．故选A. 4．(2023改编，5分)已知x0＝是函数f(x)＝cos(2x＋φ)的一个极大值点，则函数f(x)的一个单调递减区间是(　B　) A. B. C. D. 解析：∵x0＝是函数f(x)＝cos(2x＋φ)的一个极大值点，且f(x)的最小正周期为T＝＝π，∴f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋＋kπ]，k∈Z， 即，k∈Z.观察选项，易知k＝0时，B选项满足条件，而A，C，D选项，无论k取何值都不满足条件．故选B. 5．(2020山东泰安三模，5分)函数f(x)＝x3cos＋sinx在的图像大致为(　A　) A B C D 解析：易得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除B，D；由f＝3×＋， f＝3×＋＝×4＋， 可知f>f，结合图像可知A选项正确． 故选A. 6．(经典题，5分)设函数f(x)＝k∈Z，g(x)＝sin|x|，则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－3π，3π]上的解的个数是(　A　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：方程f(x)－g(x)＝0在区间[－3π，3π]上的解的个数即函数f(x)与g(x)的图像在区间[－3π，3π]上的交点个数． 当x∈时，f(x)＝＝－cosx. 在同一坐标系内画出两个函数的图像，如图所示． 因为当0＜x＜时，sinx＜tanx恒成立，故由图可知，两函数图像的交点个数为7.故选A. 7．(2020山东模拟，5分)若函数f(x)＝sin与g(x)＝cos都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减，则b－a的最大值为(　B　) A. B. C. D. 解析：令2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋<x<kπ＋，k∈Z， 所以当x∈(0，π)时，函数f(x)＝sin的单调递减区间是； 令2kπ<x＋<2kπ＋π，k∈Z， 得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以当x∈(0，π)时，g(x)＝cos的单调递减区间是， 所以这两个函数在区间上单调递减，故(a，b)⊆，故b－a的最大值为－＝.故选B. 8．(经典题，5分)已知直线x＝是函数f(x)＝sinx＋acosx图像的一条对称轴，若x1，x2满足f(x1)·f(x2)＝2，则|x1＋x2|的最小值为(　B　) A. B. C. D. 解析： f(x)＝sinx＋acosx＝sin(x＋φ)，tanφ＝a. 已知直线x＝是函数f(x)＝sinx＋acosx图像的一条对称轴，则f＝＋a为函数f(x)的最值，故(±)2＝，解得a＝1，故f(x)＝sinx＋cosx＝sin， 所以f(x)max＝， f(x)min＝－，所以当且仅当f(x1)＝f(x2)＝f(x)max或f(x1)＝f(x2)＝f(x)min时， f(x1)·f(x2)＝2成立． 作出f(x)的图像，由图像可知， 当x1＝－，x2＝时， f(x)均取得最大值，此时有|x1＋x2|＝－＋＝； 当x1＝－，x2＝时， f(x)均取得最小值，此时有|x1＋x2|＝－＋＝. 综上所述，|x1＋x2|min＝.故选B. 9．(2020北京密云区二模改编，4分)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　A　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ 解析：(法一)∵函数的解析式为f(x)＝2sin(ωx＋φ)且f ＝2，∴当x＝时，函数取得最大值．设函数的最小正周期为T，∵f＝0，f＝2，∴＝－，k∈N，解得T＝，k∈N.又∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝>2π，k∈N，即2k＋1<，k∈N，∴2k＋1＝1，∴T＝3π，∴ω＝＝.∵f ＝2，∴×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z.又∵|φ|<π，∴φ＝.故选A. (法二)由题意知其中k1，k2∈Z， ∴ω＝(k2－2k1)－.∵T＝>2π，∴0<ω<1，∴0<(k2－2k1)－<1，∴<k2－2k1<.又∵k1，k2∈Z，∴k2－2k1＝1，∴ω＝，∴φ＝2k1π＋π，k1∈Z.又由|φ|<π，得φ＝.故选A. 10．(2023汇编，20分)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)． (1)若|φ|<，函数f(x)在区间上单调递减，则φ的取值范围是____； (2)若|φ|<，函数f(x)在区间上有最大值，则φ的取值范围是____； (3)若点是函数f(x)图像的一个对称中心，则|φ|的最小值为____； (4)若0＜φ＜π，函数f(x)在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则φ的取值范围是____． 解析：(1)f(x)＝cos(2x＋φ)， 令2kπ≤2x＋φ≤2kπ＋π，k∈Z， 得≤x≤，k∈Z. ∵函数f(x)在区间上单调递减， ∴⊆，k∈Z， 即可得 解得2kπ≤φ≤，k∈Z.又∵|φ|<， ∴0<φ<，即φ的取值范围是. (2)令2x＋φ＝2kπ，k∈Z，可得x＝kπ－，k∈Z. 若函数f(x)在区间上有最大值， 则<kπ－<，k∈Z， 整理得2kπ－<φ<2kπ－，k∈Z. 当k＝0时，得φ∈； 当k＝1时，得φ∈. 又∵|φ|<，∴φ的取值范围是. (3)∵点是函数f(x)图像的一个对称中心，∴π＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z，∴|φ|的最小值为. (4)由2kπ≤2x＋φ≤2kπ＋π，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ－＋，k∈Z， 即函数f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋－]，k∈Z.∵f(x)在区间上单调递减，∴ 解得2kπ＋≤φ≤2kπ＋，k∈Z. 又0＜φ＜π，∴k＝0，≤φ≤. 令2x＋φ＝kπ＋，k∈Z， 得x＝－＋，k∈Z. ∵f(x)在区间上有零点， ∴0＜－＋＜，k∈Z， ∴kπ＋<φ<kπ＋，k∈Z. 又0<φ<π，∴k＝0，<φ<，∴≤φ＜. 故φ的取值范围是. 11．(经典题，5分)关于x的方程(sinx＋1)(cosx＋1)－m＝0恒有实数解，则m的取值范围是__[0，]__． 解析：由题得sinxcosx＋sinx＋cosx＋1－m＝0， 所以sinxcosx＋sinx＋cosx＝m－1. 令t＝sinx＋cosx＝sin，t∈[－，]， 则sinxcosx＝＝， 所以原方程可化为＋t＝＝m－1. 易知函数y＝，t∈[－，]的值域为[－1，]．　 因为关于x的方程(sinx＋1)(cosx＋1)－m＝0恒有实数解，所以－1≤m－1≤，解得0≤m≤，即m的取值范围是. 12．(2021浙江，14分)设函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)． (1)求函数y＝2的最小正周期； 答案：π 解：由辅助角公式得f(x)＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，(2分) 所以y＝2＝2＝2sin2(x＋)＝1－cos＝1－sin2x，(5分) 所以该函数的最小正周期T＝＝π.(6分) (2)求函数y＝f(x)f在上的最大值． 答案：1＋ 解：由题意可得， y＝f(x)f＝sin·sinx ＝2sinsinx ＝2sinx· ＝sin2x＋sinxcosx ＝·＋sin2x ＝sin2x－cos2x＋ ＝sin＋，(11分) 由x∈可得2x－∈，(12分) 所以当2x－＝，即x＝时，函数取最大值1＋.(14分) 13．(2023汇编，18分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0<|φ|<)，它的图像与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图像上的一个最低点为M. (1)求函数f(x)的最小正周期和图像的对称中心； 答案：最小正周期为π，对称中心为(＋，0)(k∈Z) 解：因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像与x轴的相邻两个交点之间的距离为， 所以函数f(x)的最小正周期T＝×2＝π. 又T＝，所以ω＝2.(2分) 由题意知A＝2, f＝2sin＝－2，0<|φ|<， 所以φ＝－，所以f(x)＝2sin.(4分) 令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 所以f(x)图像的对称中心为，k∈Z.(6分) (2)若函数g(x)＝f(x＋a)＋b是奇函数，求a，b的值； 答案：a＝，b＝0 解：g(x)＝2sin＋b. 因为函数g(x)为奇函数，所以g(－x)＋g(x)＝0，即2sin＋b＋2sin(2x＋2a－)＋b＝0， 所以－2sin＋2sin[2x＋(2a－)]＋2b＝0， 所以4cos2xsin＋2b＝0，(10分) 所以结合|a|≤，b∈R，可得所以a＝，b＝0.(12分) (3)若f(x)≥－1，求x的取值范围． 答案：[kπ，kπ＋](k∈Z) 解：因为f(x)≥－1，所以sin≥－， 所以2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，(16分) 解得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z. 故x的取值范围是，k∈Z.(18分) B组(冲刺满分) 14．(多选)(2021山东烟台一模，5分)已知函数f(x)＝2|sinx|＋|cosx|－1，则(　BC　) A．f(x)在上单调递增 B．直线x＝是f(x)图像的一条对称轴 C．方程f(x)＝1在[0，π]上有三个实根 D．f(x)的最小值为－1 解析：函数f(x)＝2|sinx|＋|cosx|－1. 对于A：由于x∈时，f(x)＝2sinx＋cosx－1＝sin(x＋θ)－1. 当x＝－θ时，函数取得最大值，故函数在上单调递增，故A错误； 对于B：f＝2|sin|＋|cos|－1＝2|sin|＋|cos|－1＝f，故函数的图像关于直线x＝对称，故B正确； 对于C：由f(x)＝2|sinx|＋|cosx|－1＝1，可得|cosx|＝2－2|sinx|，显然2－2|sinx|≥0，等式|cosx|＝2－2|sinx|两边平方得cos2x＝4＋4sin2x－8|sinx|，整理可得5sin2x－8|sinx|＋3＝0，解得|sinx|＝或|sinx|＝1. 当x∈[0，π]时，0≤sinx≤1，则sinx＝或sinx＝1. 方程sinx＝在x∈[0，π]时有两解，方程sinx＝1在x∈[0，π]时只有一解． 所以，方程f(x)＝1在[0，π]上有三个实根，C选项正确； 对于D：假设f(x)的最小值为－1，即f(x)≥－1，即2|sinx|＋|cosx|≥0， 且存在x∈R，使得2|sinx|＋|cosx|＝0，此时sinx＝cosx＝0，这与sin2x＋cos2x＝1矛盾，假设不成立，D选项错误．故选BC. 15．(2018全国Ⅰ，5分)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是__－__． 解析：(法一)易知f(x)的周期为2π， 不妨假设x∈. 因为f(x)＝2sinx＋sin2x，所以f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝2(2cosx－1)(cosx＋1)，所以当2cosx－1>0，即x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当2cosx－1<0，即x∈时， f′(x)≤0, f(x)单调递减，所以f(x)≥f＝－. (法二)因为f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx＋2sinxcosx＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cos2x)(1＋cosx)2. 设cosx＝t(－1≤t≤1)，构造函数g(t)＝4(1－t2)·(1＋t)2，则g′(t)＝4[－2t(1＋t)2＋(1－t2)·2(1＋t)]＝－8(1＋t)2(2t－1)．　 当t∈时，g′(t)>0； 当t∈时，g′(t)<0， 所以g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以g(t)≤g＝， 所以－≤f(x)≤，且有f＝－，所以f(x)的最小值是－. 16．(2019全国Ⅲ，5分)设函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点，下述四个结论： ①f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f(x)在上单调递增； ④ω的取值范围是. 其中所有正确结论的编号是(　D　) A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 解析：当x∈[0，2π]，即ωx＋∈[，2ωπ＋]时，由f(x)在[0，2π]上有且仅 有5个零点，及y＝sinx的图像可知，2ωπ＋∈[5π，6π)，即ω∈[，)，故④正确； 因为f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点，且ω·0＋＝<，所以f(x)有3个极大值点，有2个或3个极小值点，故①正确，②错误； 由正弦函数的图像可知，当ωx＋在，，[，]上，即x在，[，]，[，]上时， f(x)单调递增． 又ω∈，所以f(x)在上单调递增，而⊇，故③正确． 综上，正确结论的编号为①③④.故选D. 17．(多选)(2020山东潍坊模拟，5分)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，通过我们每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数f(x)＝的图像就可以近似地模拟某种信号的波形，下列说法正确的是(　BCD　) A．函数f(x)为周期函数，且最小正周期为π B．函数f(x)为奇函数 C．函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称 D．函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为7 解析：∵f(x)＝sinx＋＋＋…＋， f(x＋π)＝sin(x＋π)＋＋＋…＋＝－sinx－－－…－＝－f(x)， ∴π不是函数f(x)的最小正周期，A选项错误； ∵f(－x)＝sin(－x)＋＋＋…＋＝－sinx－－－…－＝－f(x)，且函数y＝f(x)的定义域为R， ∴函数f(x)为奇函数，B选项正确； ∵f(π－x)＝sin(π－x)＋＋＋…＋＝sinx＋＋＋…＋＝f(x)， ∴函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，C选项正确； f′(x)＝cosx＋cos3x＋cos5x＋…＋cos13x. ∵－1≤cosx≤1，－1≤cos3x≤1，－1≤cos5x≤1，…，－1≤cos13x≤1， ∴f′(x)＝cosx＋cos3x＋cos5x＋…＋cos13x≤7， 当x＝2kπ(k∈Z)时取等号， ∴导函数f′(x)的最大值为7，D选项正确．故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$