第14课 三角函数的概念、基本公式-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第14课 三角函数的概念、基本公式 普查与练习14 Ⅰ　　　　任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角有关概念的理解 (1)(2023汇编，5分)下列结论中错误的是__②③④⑦⑧__. ①终边经过点(a，a)(a≠0)的角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z} ； ②第二象限角大于第一象限角； ③三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ④若α是第三象限角，则为第二象限角，2α为第一象限或第二象限角； ⑤将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是； ⑥M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°＋k·45°，k∈Z}，则M⫋N； ⑦2022°角的终边在第二象限； ⑧若α＝2kπ＋θ，β＝(2k＋1)π＋θ，其中k∈Z，则角α与β的终边关于y轴对称． 解析：①点(a，a)(a≠0)在直线y＝x上，终边在直线y＝x上的角的集合为，①正确； ②设α＝－π，β＝，则α为第二象限角，β为第一象限角，此时α<β，②错误； ③当三角形的一个内角为直角时，该角不属于象限角，③错误； ④角α是第三象限角，则由180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，得90°＋k·180°<<135°＋k·180°，k∈Z，当k＝2m(m∈Z)时，90°＋m·360°<<135°＋m·360°，m∈Z，此时为第二象限角，当k＝2m＋1(m∈Z)时，270°＋m·360°<<315°＋m·360°，m∈Z，此时为第四象限角，∴是第二或第四象限角；由180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，得360°＋2k·360°<2α<540°＋2k·360°，k∈Z，即(2k＋1)·360°<2α<180°＋(2k＋1)·360°，k∈Z，∴2α是第一象限角、第二象限角或终边在y轴正半轴上的角，④错误； ⑤将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针旋转360°×＝60°，转化为弧度数为60×＝，⑤正确； ⑥M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{y|y＝(2＋k)·45°，k∈Z}，易知M⫋N，⑥正确； ⑦2022°＝5×360°＋222°，∵222°角的终边在第三象限，∴2022°角的终边在第三象限，⑦错误； ⑧β－α＝π，当角θ的终边不在x轴上时，角α与β的终边不关于y轴对称，⑧错误． 故错误的是②③④⑦⑧. 2．扇形的弧长及面积公式的应用 (2)(2021江苏如皋月考，5分)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．下图是书画家唐寅(1470—1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为(　A　) A．704 cm2　 B．352 cm2　 C．1408 cm2 D．320 cm2 解析：如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r cm， 由题意可得解得r＝， 所以S扇面＝S扇形OCD－S扇形OAB＝×64×－×24×＝704 cm2.故选A. 3．三角函数定义的应用 a．判断三角函数值的符号 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)(2020全国Ⅱ，5分)若α为第四象限角，则(　D　) A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 解析：因为α为第四象限角，所以－＋2kπ＜α＜2kπ，k∈Z， 所以－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z， 所以2α是第三象限角、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角， 所以sin2α＜0.故选D. b．利用三角函数的定义求值 (4)(2023汇编，25分)在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合． ①若将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点(－1，)，则sinα＝ 1 ． ②若角α的终边过点P，则sin(α＋π)＝____． ③在同一直角坐标系中，角β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与角α的终边关于原点对称，点M(m，－1)在角β的终边上．若sinα＝，则sinβ＝__－__，m＝__±2__． ④若角α的终边在直线2x＋y＝0上，则sin2α＝(　C　) A．± B. C．－ D．－ ⑤若角α的终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝(　B　) A. B. C. D．1 解析：①由题可知，角α＋的终边经过点(－1，)， ∴tan＝＝－，且角α＋为第二象限角，∴α＋＝＋2kπ，k∈Z，∴α＝＋2kπ，k∈Z，∴sinα＝1. ②∵x＝－，y＝－，∴OP＝＝1， ∴sin(α＋π)＝－sinα＝－＝. ③∵角α与角β的终边关于原点对称，点M(m，－1)在角β的终边上，∴点M′(－m，1)在角α的终边上． 又sinα＝，∴sinβ＝－sinα＝－，＝， 解得m＝±2. ④取终边上不与顶点重合的任意一点N. (法一)不妨设点N的坐标为(x0，－2x0)， 则sinα＝＝， cosα＝＝， ∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.故选C. (法二)易知直线2x＋y＝0经过第二、四象限． 若角α的终边在第四象限，则不妨设点N的坐标为(1，－2)，则sinα＝＝－，cosα＝＝， ∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－. 同理，若角α的终边在第二象限，则不妨设点N的坐标(－1，2)，则sinα＝，cosα＝－，∴sin2α＝－. 综上，sin2α＝－.故选C. ⑤∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝，解得cos2α＝， ∴|cosα|＝，|sinα|＝＝. 又点A(1，a)，B(2，b)均在角α的终边上， ∴|tanα|＝＝|a－b|＝＝＝.故选B. 随堂普查练14 Ⅰ 1．(2021北京，5分)若点P(cosθ，sinθ)与点Q(cos，sin)关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝__(答案不唯一，满足θ＝＋kπ，k∈Z即可)． 解析：由题意知P(cosθ，sinθ)与Q(cos，sin)关于y轴对称， 即利用诱导公式sinα＝sin(π－α)，cosα＝－cos(π－α)可得θ＋＝π－θ＋2kπ，k∈Z， 则θ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为. 故答案为(答案不唯一，满足θ＝＋kπ，k∈Z即可)． 2．(2020河南开封期末，5分)已知扇形的弧长是5π，面积是15π，则该扇形的圆心角的正切值等于(　D　) A. B．－ C. D．－ 解析：由扇形的面积公式得S＝lr， 即15π＝×5πr，解得r＝6. ∵l＝αr＝5π，∴扇形的圆心角α＝， ∴tanα＝－.故选D. 3．(经典题，6分)已知角α为第三象限角，求y＝＋＋ 的值． 答案：－1 解：∵角α为第三象限角， ∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，(1分) ∴kπ＋<<kπ＋，k∈Z， 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋<<2mπ＋，m∈Z，此时为第二象限角； 当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋<<2mπ＋，m∈Z，此时为第四象限角．(3分) 当为第二象限角时，sin>0，cos<0，tan<0， ∴y＝1－1－1＝－1；(4分) 当为第四象限角时，sin<0，cos>0，tan<0， ∴y＝－1＋1－1＝－1.(5分) 综上所述，y＝－1.(6分) 4．(2021山西运城模拟，5分)“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成，两岸连接点间距离为60米，外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为__(40＋30)π__米． 解析：设内岸、外岸圆弧所在圆的圆心分别为P，O，两岸连接点分别为Q，T，画出月牙泉示意图，如图所示，则QT＝60米，PQ＝60米． 连接PO，由外圆弧为半圆可得PO⊥QT，O为QT中点， 所以sin∠QPO＝＝， 所以∠QPO＝，∠QPT＝， 所以绕着月牙泉的岸边步行一周，该游客步行的路程为L＝×2π×＋60×＝(40＋30)π(米)． 5．(2020北京东城区一模，4分)在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是(　C　) A. B. C. D. 解析：动点M每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，OM转过的角为×2π＝. 如图，记∠MOx＝α， 则当点M在初始位置时，根据坐标，可令α＝， 所以当动点M运动到3分钟时，α＝＋＝， 此时cosα＝－，sinα＝， 所以动点M所处位置的坐标是 . 故选C. 6．(2023改编，6分)已知角α的终边上一点P(m，－)(m≠0)，且cosα＝，求tanα的值． 答案：± 解：由题设知，x＝m，y＝－，∴r2＝OP2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝. 又∵cosα＝＝，∴r＝2，(2分) ∴＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.(4分) 当m＝时，tanα＝＝＝－； 当m＝－时，tanα＝＝＝. 综上所述，tanα＝±.(6分) 7．(经典题，5分)已知角α的终边上一点P(a，2a)(a≠0)，则2sinα－cosα＝(　D　) A. B．－ C.或－ D.或－ 解析：由α的终边上一点P(a，2a)(a≠0)， 得cosα＝＝＝ sinα＝＝＝ 所以2sinα－cosα＝故选D. 普查与练习14 Ⅱ　　　　同角三角函数关系式及诱导公式 4．同角三角函数的基本关系及其应用 a．利用sin2α＋cos2α＝1求三角函数值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (5)(2023改编，5分)已知α是第二象限角，sinα＝，则tanα＝(　A　) A．－　 B. C．－ D. 解析：∵角α的终边在第二象限，且sinα＝，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－.故选A. (6)(经典题，6分)已知3sinα＋4cosα＝5，求tanα. 答案： 解：(法一)由 得25sin2α－30sinα＋9＝0，解得sinα＝，(4分) ∴cosα＝，∴tanα＝＝.(6分) (法二)设4sinα－3cosα＝x，等式两边平方得16sin2α－24sinαcosα＋9cos2α＝x2，①(1分) 将3sinα＋4cosα＝5两边平方得 9sin2α＋24sinαcosα＋16cos2α＝25，②(2分) ①＋②，整理得9(sin2α＋cos2α)＋16(sin2α＋cos2α)＝25＋x2，即25＝x2＋25，解得x＝0，(4分) ∴4sinα－3cosα＝0，即4sinα＝3cosα， ∴tanα＝＝.(6分) (法三)将3sinα＋4cosα＝5两边平方得 9sin2α＋24sinαcosα＋16cos2α＝25，(1分) 即＝25，(3分) 即＝25， 即16tan2α－24tanα＋9＝0， 即(4tanα－3)2＝0，(5分) 解得tanα＝.(6分) b．利用tanα＝ 及“1”的代换化弦为切求值 (7)(2023汇编，20分)已知角α满足＝2. ①tanα的值等于(　C　) A. B. 2 C . 3 D．－ ②若角α是第三象限角，则cosα的值等于(　D　) A. B．－ C. D．－ ③cos2α＋4sinαcosα＝(　A　) A. B. C．－ D．－ ④＝(　D　) A．－ B. C．－ D. 解析：①将＝2等号左边的分子与分母同除以cosα， 可得＝2，解得tanα＝3.故选C. ②(法一)由①知tanα＝3＝，所以sinα＝3cosα， 所以 解得或 因为α为第三象限角，所以cosα<0，即cosα＝－. 故选D. (法二)由①知tanα＝3，因为角α是第三象限角， 所以角α的终边在直线y＝3x(x<0)上． 根据三角函数的定义，取终边与单位圆x2＋y2＝1的交点P(x0，y0)(x0<0)， 则解得或(舍去)， 故点P的坐标为，故cosα＝－.故选D. ③由①可知tanα＝3， 故cos2α＋4sinαcosα＝＝＝＝＝. 故选A. ④＝＝＝sinα(sinα＋cosα)＝＝. 由①可知tanα＝3，所以＝＝.故选D. c．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα知一求二 (8)(2020辽宁省实验中学期中，7分)已知0＜x＜π，sinx＋cosx＝. (Ⅰ)求sinx－cosx的值； 答案： 解：(法一)因为sinx＋cosx＝，所以(sinx＋cosx)2＝，解得sinxcosx＝－，(2分) 所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝1－＝.(3分) 由0<x<π可得sinx>0. 又因为sinxcosx＝－<0，所以cosx＜0， 所以sinx－cosx>0，故sinx－cosx＝.(5分) (法二)由法一知，sinxcosx＝－.(2分) 又sinx＋cosx＝， 所以sinx，cosx为一元二次方程t2－t－＝0的两个根， 解方程得t1＝，t2＝.(3分) 由0<x<π可得sinx>0， 所以sinx＝，cosx＝， 所以sinx－cosx＝.(5分) (Ⅱ)求sin3x＋cos3x的值． 答案： 解：sin3x＋cos3x＝(sinx＋cosx)(sin2x－sinxcosx＋cos2x)＝×＝×＝.(7分)　 5．三角函数诱导公式及其应用 a．利用诱导公式化简求值 (9)(2023改编，12分) 已知f(α)＝. (Ⅰ)化简f(α)； 答案：－cosα 解：f(α)＝ ＝＝＝－＝－cosα.(4分) (Ⅱ)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α＋π)的值； 答案：－ 解：∵cos＝，即－sinα＝，∴sinα＝－.(5分) 又∵α是第三象限角，∴cosα＝－＝－，(6分) ∴f(α＋π)＝－cos(α＋π)＝cosα＝－.(8分) (Ⅲ)若α＝，求f(α)的值． 答案： 解：∵α＝，∴f(α)＝f ＝－cos＝－cos＝cos＝.(12分) (10)(2020安徽模拟改编，5分) sin613°＋cos(－1063°)＋tan570°的值为____． 解析：sin613°＋cos(－1063°)＋tan570° ＝sin613°＋cos1063°＋tan570° ＝sin(360°＋253°)＋cos(360°×2＋343°)＋tan(180°×3＋30°) ＝sin253°＋cos343°＋tan30° ＝sin(180°＋73°)＋cos(270°＋73°)＋tan30° ＝－sin73°＋sin73°＋tan30°＝. b．利用角之间的关系求值 (11)(经典题，5分)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝__－__． 解析：∵θ是第四象限角，且sin＝>0， ∴θ＋为第一象限角，∴cos＝＝， ∴tan＝＝， ∴tan＝tan＝－＝－. 随堂普查练14 Ⅱ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(经典题，5分)已知sinθ＝，cosθ＝－，若θ是第二象限角，则tanθ的值为(　C　) A．－ B．－2 C．－ D．－ 解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，化简得a2－4a＝0，解得a＝0或4.因为θ是第二象限角，所以a＝4，所以sinθ＝，cosθ＝－，所以tanθ＝＝－.故选C. 2．(经典题，6分)已知2sinθ－cosθ＝，θ∈， 求sinθ的值． 答案： 解：(法一)设sinθ＋2cosθ＝x，两边平方得 sin2θ＋4cos2θ＋4sinθcosθ＝x2，① 将2sinθ－cosθ＝两边平方得 4sin2θ＋cos2θ－4sinθcosθ＝，② ①＋②，得5＝＋x2，解得x2＝. ∵θ∈，∴sinθ>0，cosθ>0，∴x>0，∴x＝， ∴sinθ＋2cosθ＝.(3分) 联立 ③×2＋④，得5sinθ＝，∴sinθ＝.(6分) (法二)联立即整理得10sin2θ－4sinθ＋3＝0，解得sinθ＝或sinθ＝.(3分) ∵2sinθ－cosθ＝>0，θ∈，∴2sinθ>cosθ>0. 当sinθ＝时，cosθ＝，满足题意； 当sinθ＝时，cosθ＝－，不满足题意，舍去， ∴sinθ＝.(6分) 3．(2023汇编，20分)已知＝2，则 (1)＝__3__； (2)＝__－3__； (3)7sin2α＋3cos2α＝____； (4)sinα＋cosα＝__±__． 解析：∵＝2，且易知cosα≠0，∴＝2，解得tanα＝2. (1)(法一)原式＝＝3. (法二)∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，∴原式＝＝＝3. (2)(法一)原式＝＝＝－3. (法二)原式＝ ＝＝＝－3. (3)原式＝＝＝. (4)(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝＝＝. ∵tanα＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角， ∴sinα＋cosα＝±. 4．(2023改编，12分)已知sinθ－cosθ＝. (1)求tanθ＋的值； 答案： 解：tanθ＋＝＋＝＝.(1分)　 因为sinθ－cosθ＝，所以(sinθ－cosθ)2＝， 展开，得sin2θ－2sinθcosθ＋cos2θ＝， 即1－2sinθcosθ＝，解得sinθcosθ＝，(3分) 所以tanθ＋＝＝.(4分) (2)当0<θ<π时，求tanθ的值． 答案： 解：由(1)得sinθcosθ＝， 所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1＋2×＝.(6分) 又0<θ<π，所以sinθ>0，cosθ>0，所以sinθ＋cosθ＝. 又sinθ－cosθ＝，联立求解可得(10分) 所以tanθ＝.(12分) 5．(2020山东潍坊月考改编，7分) 已知f(θ)＝＋， (1)化简f(θ)； 答案： f(θ)＝ 解：f(θ)＝＋ ＝＋ ＝＋＝.(4分) (2)已知sin＝，θ∈，求f(θ)的值． 答案： 解：因为sin＝cosθ＝， 所以sin2θ＝1－cos2θ＝，所以f(θ)＝.(7分) 6．(2020安徽滁州期末，10分)计算下列各式的值： (1)sin＋cos·tan； 答案： 解：原式＝sin＋cos·tan ＝sin＋costan＝＋×＝.(5分) (2)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°. 答案： 解：原式＝－sin1395°cos1110°＋cos1020°sin750° ＝－sin(4×360°－45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(3×360°－60°)·sin(2×360°＋30°) ＝sin45°cos30°＋cos60°sin30° ＝×＋×＝.(10分) 7．(2023改编，5分)已知α∈，且sin＝，则cos＝__－__． 解析：cos＝cos＝－cos， ∵α∈，∴<＋α<， 又sin＝，∴cos＝＝， ∴cos＝－cos＝－. 课后提分练14　三角函数的概念、基本公式 A组(巩固提升) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2020北京平谷区二模，4分)若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(　D　) A．sin B．cos C．sin(π＋α) D．cos(π＋α) 解析：角α的终边在第二象限，则sinα>0，cosα<0. 对于A，sin＝cosα<0； 对于B，cos＝－sinα<0； 对于C，sin(π＋α)＝－sinα<0； 对于D，cos(π＋α)＝－cosα>0.故选D. 2．(2020海南模拟，5分)sin1050°＝(　B　) A. B．－ C. D．－ 解析：sin1050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin30°＝－.故选B. 3．(2021北京模拟，4分)已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则sin(－α)＝(　D　) A. B．－ C. D．－ 解析：因为点P的纵坐标为，所以sinα＝. 又角α的终边在第二象限， 所以cosα＝－＝－， 所以sin＝cosα＝－.故选D. 4．(2018北京，5分)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧，如图，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是(　C　)　 A. B. C. D. 解析：若点P在或(不包含端点A，D)上，则角α的终边在第一象限，此时tanα－sinα＝tanα(1－cosα)>0，与tanα<sinα矛盾，故排除A，B. 若点P在(不包含端点G)上，则角α的终边在第三象限，此时tanα>0，cosα<0，与tanα<cosα矛盾，故排除D.故选C. 5．(2021山东德州实验中学期中，5分)如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则cos2θ的值是(　C　) A．1 B. C. D．－ 解析：由已知可得大正方形的边长为1，小正方形的面积S＝(cosθ－sinθ)2＝(cosθ>sinθ>0)，∴cosθ－sinθ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝，cosθ＝，∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝.故选C. 6．(2020山东聊城模拟，5分)已知cos＝，则sin＝(　A　) A. B．－ C. D．－ 解析：因为cos＝， 所以sin＝sin ＝cos＝.故选A. 7．(2020山东模拟，5分)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(－，m)是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan，则m＝____，n＝____． 解析：∵点P(－，m)是角θ终边上的一点， ∴sinθ＝＝，解得m＝. ∵tanθ＝＝－， ∴n＝tan＝＝. 8．(2020湖南期末，5分)如图所示，用两种方案将一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形，设方案一、二中扇形的面积分别为S1，S2，周长分别为l1，l2，则(　A　) A．S1＝S2，l1>l2 B．S1＝S2，l1<l2 C．S1>S2，l1＝l2 D．S1<S2，l1＝l2 解析：如图，在方案二中设扇形与边AB相切于点D，连接OD，易知OD⊥AB.∵△AOB为顶角为，腰长为2的等腰三角形，∴∠A＝∠B＝，OD＝1. 由题意得， 方案一中扇形的周长l1＝2＋2＋×2＝4＋， 方案二中扇形的周长l2＝1＋1＋×1＝2＋； 方案一中扇形的面积S1＝××22＝， 方案二中扇形的面积S2＝××12＝， 所以S1＝S2，l1>l2.故选A. 9．(2020北京，4分)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是(　A　) A．3n B．6n C．3n D．6n 解析：如图，设单位圆内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b. 易得a＝2sin＝2sin，b＝2tan＝2tan， 则2π≈＝6n， 即π≈3n.故选A. 10．(2023改编，10分)已知cosα，sinα是函数f(x)＝x2－x＋m(m∈R)的两个零点，则 (1)sin4α＋cos4α＝____； (2)＝__±__． 解析：(1)∵cosα，sinα是函数f(x)＝x2－x＋m(m∈R)的两个零点， ∴cosα，sinα是方程x2－x＋m＝0的两个根， ∴cosα＋sinα＝， ∴(cosα＋sinα)2＝cos2α＋2sinαcosα＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝， ∴sinαcosα＝－， ∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×2＝. (2)原式＝. 由(1)可知sinα＋cosα＝，sinαcosα＝－， ∴(－sinα＋cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα＝－4×＝， ∴－sinα＋cosα＝±， 代入原式，可得原式＝＝±. 11．(2023汇编，16分)已知＝－2. (1)求tanα，cosα的值； 答案：　－ 解：由＝－2①，知cosα≠0. ①式变形得1－cosα＋sinα＝－2－2cosα－2sinα， 化简得3sinα＋cosα＝－3②. ②式两边平方得9sin2α＋cos2α＋6sinαcosα＝9， 即9sin2α＋cos2α＋6sinαcosα＝9(sin2α＋cos2α)， 化简得6sinαcosα＝8cos2α. 又cosα≠0，∴3sinα＝4cosα，∴tanα＝.(5分) 由②可得sinα<0，cosα<0. 又∵cos2α＝＝＝， ∴cosα＝－.(8分) (2)求的值； 答案：5 解：原式＝ ＝ ＝5.(12分) (3)求sin2α－cos2α＋sinαcosα的值． 答案：1 解：(法一)原式＝ ＝＝1.(16分) (法二)∵sinα＝cosα，∴原式＝sin2α－cos2α＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.(16分) 12．(经典题，10分)已知角α的终边经过点A(1，2)． (1)求的值； 答案：13 解：∵点A(1，2)在角α的终边上， ∴tanα＝2，且cosα≠0， ∴＝＝＝13.(4分)　 (2)求的值． 答案：－ 解：由(1)知tanα＝2， ∴ ＝ ＝－＝－ ＝－.(10分) B组(冲刺满分) 13．(2021贵州盘州一模，5分)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为O，始边为x轴非负半轴，若点P(1＋cos，sin)是角α终边上的一点，则角α的值是(　B　) A．kπ＋，k∈Z B．2kπ＋，k∈Z C．2kπ＋，k∈Z D．2kπ±，k∈Z 解析：由1＋cos>0，sin>0， 可得点P在第一象限． 又tanα＝＝＝tan， ∴α＝2kπ＋，k∈Z.故选B. 14．(2020海南海口模拟，5分)若对任意x∈R，都有cos(2x－)＝sin(ωx＋φ)(ω∈R，|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为(　C　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由诱导公式可得cos＝cos(2x－－)＝sin， 即sin＝sin(ωx＋φ)，所以ω＝±2. 若ω＝2，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝－； 若ω＝－2，则sin(－2x＋φ)＝sin[π－(－2x＋φ)]＝sin(2x＋π－φ)＝sin， 所以π－φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 即φ＝－2kπ＋(k∈Z)， 又|φ|<π，所以φ＝－. 综上可知，满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为2.故选C. 15．(经典题，5分)设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝__－__． 解析：(法一)∵tan＝>0，θ为第二象限角，∴θ＋为第三象限角，∴sin<0， ∴sinθ＋cosθ＝sin ＝－· ＝－· ＝－· ＝－·＝－. (法二)∵tan＝＝， ∴tanθ＝－. ∵tan＝>0，θ为第二象限角， ∴sinθ>0，cosθ<0，且|sinθ|<|cosθ|， ∴sinθ＋cosθ<0， ∴sinθ＋cosθ＝－ ＝－ ＝－＝－＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$