第13课 函数模型及其应用-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第13课 函数模型及其应用 普查与练习13　　　　函数模型及其应用 1．利用函数图像刻画实际问题 (1)(多选)(2021福建厦门期末，5分)某学生为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市2020年月平均气温的相关数据，得到折线图(如图)，则(　AC　) A．甲城市有3个月的月平均气温低于0 ℃ B．甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大 C．甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低 D．甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小 解析：由折线图可得，甲城市在1，2，12月的月平均气温低于0 ℃，故A选项正确； 甲、乙城市都在7月取得月平均气温的最大值，甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值小，故B选项错误； 乙城市的月平均气温折线图在甲城市的月平均气温折线图的上方，故甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低，故C选项正确； 甲城市月平均气温比乙城市月平均气温波动大，故甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差大，故D选项错误． 故选AC. 2．函数模型的实际应用 a．一次函数模型 (2)(2020天津武清区期中，5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 2020年5月1日 12 35000 2020年5月15日 48 35600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　B　) A．6升　　 B．8升　　 C．10升　　 D．12升 解析：由题意知，2020年5月1日至2020年5月15日的耗油量为48升，行驶的路程为35600－35000＝600(千米)．设行驶的路程为x千米，耗油量为y升，则y与x之间的函数关系式为y＝kx(x>0)，故每千米的平均耗油量为k＝＝＝0.08(升/千米)，故该车每100千米平均耗油量为0.08×100＝8(升)．故选B. b．二次函数模型 (3)(2020四川泸州校级月考，5分)某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为(　B　) A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好 解析：设每天获得的销售利润为y元，则y＝mx－30m＝(162－3x)(x－30)＝－3x2＋252x－4860＝－3(x－42)2＋432.因为m∈N，所以x可取30，，，31，…，54.当x＝42时，y有最大值432，所以若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为42元．故选B. c．指数函数模型 (4)(2020山东，5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(　B　)(ln2≈0.69) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 解析：把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1＋rT，可得r＝0.38，故I(t)＝e0.38t.当t＝0时，I(0)＝1.令e0.38t＝2，两边取自然对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8.故选B. (5)(2021河北邢台联考，5分)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》， 文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工中使用了含甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25 mg/m3, 3周后室内甲醛浓度为1 mg/m3，且室内甲醛浓度ρ(t) (单位： mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t (t∈N*) (单位：周)近似满足函数关系式ρ(t) ＝ eat+b，则若要该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度达到安全开放标准，至少需要保持良好通风的时间为(　B　) A．5周 B．6周 C．7周 D．8周 解析：由题意可知，ρ(1) ＝ea+b＝6.25, ρ(3) ＝e3a+b＝1，所以＝e2a＝，所以ea＝，eb＝. 设该文化娱乐场所保持良好通风t0周后甲醛浓度达到安全开放标准，则ρ(t0)＝eat0+b＝ t0×≤0.1，整理得t0≤， 设＝，则t0≥m. 因为6<<5，所以5<m<6，所以t0≥6. 故至少需要保持良好通风的时间为6周．故选B. d．对数函数模型 (6)(2020湖南衡阳一模，5分)衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制订员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y(单位：万元)随经营利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该点要求的是(　D　)(参考数据：1.015100≈4.432，lg11≈1.041) A．y＝0.04x B．y＝1.015x－1 C．y＝tan D．y＝log11(3x－10) 解析：对于函数y＝0.04x，当x＝100时，y＝4＞3，不符合题意． 对于函数y＝1.015x－1，当x＝100时，y≈3.432＞3，不符合题意． 对于函数y＝tan，在x∈(6，100]时不满足函数单调递增，不符合题意． 对于函数y＝log11(3x－10)，当x∈(6，100]时，满足函数单调递增；y≤log11 (3×100－10)＝log11290＝＜＜3, 满足奖金总数不超过3万元；函数y＝x与y＝log11 (3x－10)的图像如图所示， 结合图像可知，满足奖金未超过利润的20%.故选D. (7)(2020福建厦门模拟，5分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3成正比．当v＝1时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890，则当v＝2时，其耗氧量的单位数为(　C　) A．2670 B．7120 C．7921 D．8010 解析：因为v与log3成正比，所以可设v＝klog3. 由题意得，当v＝1时，Q＝890，即1＝klog38.9， 所以k＝log8.93. 当v＝2时，2＝klog3，即2＝log8.93·log3＝log8.9，故＝8.92，解得Q＝7921.故选C. e．对勾函数模型 (8)(经典题，16分)共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润．某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车．该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16×106元．设在每个省投放共享汽车的市的数量相同(假设每个省的市的数量足够多)，每个市都投放1000辆共享汽车．由于各个市的多种因素的差异，在第n个市的每辆共享汽车的管理成本为(kn＋1000)元(其中k为常数)．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元．(本题中不考虑共享汽车本身的费用) 注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用，平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车总数． (Ⅰ)求k的值； 答案：200 解： 每个省在5个市投放共享汽车，则所有共享汽车为10×1000×5辆，所有共享汽车管理费用总和为[(k＋1000)＋(2k＋1000)＋(3k＋1000)＋(4k＋1000)＋(5k＋1000)]×1000×10＝(15k＋5000)×10000＝(3k＋1000)×50000，(4分) 所以＝1920，解得k＝200.(7分) (Ⅱ)要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？ 答案：4个市，1900元 解：设在每个省有n(n∈N*)个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为f(n)，由题设可知 f(n)＝×{16×106＋[(200＋1000)＋(400＋1000)＋…＋(200n＋1000)]×1000×10} ＝ ＝100n＋＋1100 ≥2＋1100＝1900，(13分) 当且仅当100n＝，即n＝4时，等号成立．(15分) 答：每个省有4个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为1900元．(16分) f．分段函数模型 (9)(2021浙江期中改编，14分)已知某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|. (Ⅰ)写出日收益h(t)的表达式； 答案： h(t)＝ 解：由题可得， 人均消费g(t)＝(3分) 所以日收益 h(t)＝ 即h(t)＝(6分) (Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值． 答案： 441万元 解：当1≤t≤20时， h(t)＝4t＋＋401≥2＋401＝441， 当且仅当4t＝，即t＝5时取到等号；(9分) 当20<t≤30时，h(t)＝－4t＋＋559，此时函数h(t)在(20，30)上单调递减，故h(t)的最小值为h(30)＝－120＋＋559＝443.(12分) 故该城市旅游日收益的最小值为441万元．(14分) g．其他函数模型 (10)(2020福建宁德期末，5分)为积极响应李克强总理在山东烟台考察时提出的“发展地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A，B两种小商品．当投资额为x(x≥0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝5ln(2x＋1)．如果该个体户准备共投资5千元销售A，B两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投资(　B　) A．4千元 B．3千元 C．2千元 D．1千元 解析：设投资销售B商品x 千元(0≤x≤5)，则投资销售A商品(5－x)千元，所获得的总收益为 S(x)千元，则 S(x)＝f(5－x)＋g(x)＝2(5－x)＋5ln(2x＋1)＝5ln(2x＋1)－2x＋10(0≤x≤5)，S′(x)＝－2＝. 当0<x＜2时，S′(x)＞0，函数 S(x) 单调递增； 当2＜x<5时，S′(x)＜0，函数 S(x) 单调递减， 所以当x＝2时，函数 S(x) 取得最大值，S(x)max＝ S(2)＝6＋5ln5. 所以当投资2 千元销售B商品，投资3千元销售A商品时，总收益最大，为(6＋5ln5)千元．故选B. 随堂普查练13 1．(2020北京海淀区模拟，4分)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、图3所示．根据图像判断下列说法错误的是(　D　) 图1 图2 图3 ①图2的建议为减少运营成本； ②图2的建议可能是提高票价； ③图3的建议为减少运营成本； ④图3的建议可能是提高票价． A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ 解析：根据题意和题图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出减少，即说明此建议是减少运营成本而保持票价不变； 由题图3知，当乘客量为0时支出不变，但是直线的斜率变大，即乘客量相同时收入增大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变． 综上可得①④正确，②③错误．故选D. 2．(2021浙江月考，4分)某口罩批发商在疫情期间销售口罩，口罩规格为每包100只，每包成本价10元．经过一段时间，批发商发现当以每包12元出售时，每天销量800包，若每包口罩的批发价每涨1元，销售量就减少40包．当定价为每包__21__元时，批发商可获得的利润最大． 解析：设每包口罩的批发价为(12＋x)元，批发商获得的利润为y元， 则y＝(12＋x－10)(800－40x)＝－40(x2－18x－40)． 当x＝9时，y取得最大值，此时定价为12＋9＝21， 因此，当定价为每包21元时，批发商可获得的利润最大． 3．(2020北京房山区二模，4分)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80 ℃的物体，放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则k约等于(　D　)(参考数据：ln3≈1.099) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 解析：由题意得40＝20＋(80－20)e－4k，即e－4k＝，两边取对数可得－4k＝ln＝－ln3≈－1.099， 解得k≈≈0.3.故选D. 4．(2023改编，5分)某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金也不超过利润的25%.现有四个奖励模型：y＝x，y＝lgx＋1，y＝，y＝2＋2，其中能符合公司要求的模型是(　B　) A．y＝x B．y＝lgx＋1 C．y＝ D．y＝2＋2 解析：由题意，符合公司要求的模型需要同时满足：①当x∈[10，1000]时，函数为增函数；②函数在[10，1000]上的最大值不超过5；③y≤x·25%. 对于y＝x，易知满足①，当x＞40时，y＞5，不满足②； 对于y＝，易知满足①， ∵1.54＞5，故当x∈[10，1000]时，y＞5，不满足②； 对于y＝2＋2，易知满足①， 当x∈[10，1000]时，y＞5，不满足②； 对于y＝lgx＋1，易知满足①， 当x∈[10，1000]时，2≤y≤4<5，满足②， 再证明lgx＋1≤x·25%， 即证4lgx＋4－x≤0(x∈[10，1000])． 设F(x)＝4lgx＋4－x，x∈[10，1000]， 则F′(x)＝－1＝＜0， ∴F(x)在[10，1000]上为减函数，∴F(x)≤F(10)＝4lg10＋4－10＝－2＜0，满足③. 综上，y＝lgx＋1符合公司要求．故选B. 5．(2020陕西汉中期中，5分)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比．当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为a千米时，运费与仓储费之和最小，最小为b万元，则a和b分别是(　B　) A．2和10 B．2和20 C．2和20 D.和10 解析：当工厂和仓库之间的距离为x千米时，设运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝. ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k1＝5，k2＝20， ∴运费与仓储费之和为y＝5x＋，y≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．故选B. 6．(2020湖南长沙月考，5分)某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元．已知总营业收入R(元)与年产量x(单位)的关系是R(x)＝则总利润最大时，年产量是(　D　) A．100单位 B．150单位 C．200单位 D．300单位 解析：设总成本为C(x)元，总利润为P(x)元， 则C(x)＝20000＋100x， P(x)＝R(x)－C(x)＝ 当0≤x≤400时，P(x)＝－x2＋300x－20000，所以当x＝－＝300时，P(x)的值最大，最大值为25000； 当x＞400时，P(x)＝－100x＋60000＜P(400)＝20000.　 综上所述，当x＝300时，总利润最大．故选D. 7．(经典题，12分)某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销售完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图1(一条折线)、图2(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图3是每件样品的销售利润与上市时间的关系． (1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系； 答案：f(t)＝g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40) 解：图1是两条线段，第一条线段经过(0，0)，(30，60)两点，第二条线段经过(30，60)，(40，0)两点， 由待定系数法，得f(t)＝(2分) 图2是一个二次函数的部分图像，图像经过(0，0)，(20，60)，(40，0)三点， 易得g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．(4分) (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由． 答案：有可能，是上市后的第30天 解：有可能．图3是两条线段，第一条线段经过(0，0)，(20，60)，第二条线段经过(20，60)，(40，60)，故每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)＝ 故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为 F(t)＝(6分) 当0≤t≤20时， F(t)＝3t＝－t3＋24t2， ∴F′(t)＝－t2＋48t＝t≥0， ∴F(t)在[0，20]上是增函数， ∴F(t)在[0，20]上的最大值为F(20)＝6000<6300；(8分) 当20<t≤30时，F(t)＝60， 令F(t)＝6300，得3t2－160t＋2100＝0， 解得t＝(舍去)或t＝30；(10分) 当30<t≤40时，F(t)＝60， 由F(t)在(30，40]上是减函数， 得F(t)<F(30)＝6300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，是上市后的第30天．(12分) 8．(2021广东深圳月考，12分)环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车在一段平坦的国道进行测试，国道限速80 km/h(不含80 km/h)．经多次测试，得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的下列数据： v 0 20 40 60 M 0 3000 5600 9000 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：M(v)＝v3＋bv2＋cv；M(v)＝800v＋a；M(v)＝500logav＋b. (1)当0≤v＜80时，请选出符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； 答案：选择M(v)＝v3＋bv2＋cv，当0≤v<80时，M(v)＝v3－2v2＋180v 解：对于M(v)＝500logav＋b，其定义域不包含v＝0，不合题意； 对于M(v)＝800＋a，在[0，80)上单调递减，与M(40)<M(60)矛盾， 故选择M(v)＝v3＋bv2＋cv.(2分) 根据提供的数据， 有解得 所以当0≤v<80时，M(v)＝v3－2v2＋180v.(4分) (2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是200 km的国道，后一段是100 km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度的关系是：N(v)＝2v2－10v＋200(80≤v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？(假设在两段路上分别匀速行驶) 答案：当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h，在高速路上的行驶速度为80 km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为43250 Wh 解：国道路段长为200 km，所用时间为 h， 所耗电量为f(v)＝·M(v)＝·(0.025v3－2v2＋180v)＝5(v2－80v＋7200)＝5(v－40)2＋28000.(6分) 因为0≤v<80，所以当v＝40时，f(v)min＝28000(Wh)．(7分) 高速路段长为100 km，所用时间为 h， 所耗电量为g(v)＝·N(v)＝·(2v2－10v＋200)＝200＝200－1000. 因为g′(v)＝200，当v>10时，g′(v)>0， g(v)单调递增， 所以g(v)min＝g(80)＝200×－1000＝15250(Wh)．(11分) 故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h，在高速路上的行驶速度为80 km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为28000＋15250＝43250(Wh)．(12分) 突破积累练　　　　　函数奇偶性的多种考查角度 1．(2023汇编，45分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数． 根据奇偶性求解析式 (1)当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)－sinx，求当x＜0时，f(x)的解析式． 答案：f(x)＝ln(1－x)＋sinx 解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时， f(x)＝ln(x＋1)－sinx， 所以当x＜0时， f(x)＝f(－x)＝ln(－x＋1)－sin(－x)＝ln(1－x)＋sinx.(3分) (2)若函数g(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)－g(x)＝ex＋2cosx－4x，求f(x)，g(x)的解析式． 答案：f(x)＝＋2cosx，g(x)＝＋4x 解：由题可得f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 又f(x)－g(x)＝ex＋2cosx－4x ①， 所以f(－x)－g(－x)＝e－x＋2cos(－x)＋4x， 即f(x)＋g(x)＝e－x＋2cosx＋4x ②.(5分) 联立①②，可得f(x)＝＋2cosx，g(x)＝＋4x.(8分) (3)若f(x)＝xln(＋bx)(a，b∈R，且b＜0)． 奇偶性的定义 ①求a，b的值； 答案：a＝1，b＝－1 解析：解：因为f(x)＝xln(＋bx)为定义在R上的偶函数， 所以f(x)－f(－x)＝xln(＋bx)＋xln(－bx)＝xln[(1－b2)x2＋a]＝0对任意x∈R恒成立，(10分) 所以(1－b2)x2＋a＝1对任意x∈R恒成立，所以解得 又因为b＜0，所以a＝1，b＝－1.(13分) 定义法判断函数的单调性 ②判断f(x)的单调性； 答案：f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减 解：由①知f(x)＝xln(－x)＝－xln(＋x)．　 设对任意x1>x2>0，都有x>x>0，从而x＋1>x＋1>1，从而>>1， 从而＋x1>＋x2>1， 从而ln(＋x1)>ln(＋x2)>0. 又因为x1>x2>0，(16分) 所以x1ln(＋x1)>x2ln(＋x2)， 所以－x1ln(＋x1)<－x2ln(＋x2)， 即f(x1)<f(x2)，(18分) 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增． 综上可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(20分) 利用偶函数的性质和单调性解不等式 ③求关于t的不等式f(3t－1)－f(t2＋1)＞0的解集． 答案：(－∞，－3)∪(0，1)∪(2，＋∞) 解：由f(3t－1)－f(t2＋1)＞0，可得f(3t－1)＞f(t2＋1)． 因为f(x)为偶函数，且f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以|3t－1|<|t2＋1|，即－(t2＋1)<3t－1<t2＋1.(22分) 由－(t2＋1)<3t－1解得t＞0或t＜－3；由3t－1<t2＋1解得t<1或t＞2， 所以不等式－(t2＋1)<3t－1<t2＋1的解集为t<－3或0<t<1或t＞2， 即原不等式的解集为(－∞，－3)∪(0，1)∪(2，＋∞)．(25分) (4)对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有＞0成立，且f(2x－1)＜f，求x的取值范围． 答案： 解：由题意可得f(x)在[0，＋∞)上单调递增． 又f(x)为偶函数， 所以f(2x－1)<f⇔<，即－<2x－1<，解得<x<， 所以x的取值范围为.(30分) (5)若f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(－3)＝0，求不等式xf(x－1)＞0的解集． 答案：(－∞，－2)∪(0，4) 解：因为f(x)为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以f(3)＝f(－3)＝0，且f(x)在(－∞，0]上单调递增．(32分) 易知xf(x－1)>0⇔或　 当x>0时，由f(x－1)＞0可得－3＜x－1＜3，解得0＜x＜4； 当x<0时，由f(x－1)＜0可得x－1＜－3或x－1＞3，解得x＜－2， 所以xf(x－1)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，4)．(35分) 根据奇偶性求函数值 (6)若f(x＋2)＝，且当1≤x≤2时，f(x)＝x2－3x＋1，求f(6.5)的值． 答案：－1.25 解：因为f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数．(37分) 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)．　 又当1≤x≤2时，f(x)＝x2－3x＋1，所以f(6.5)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝－1.25.(40分) (7)若f(x－1)是定义在R上的奇函数，求f(2019)＋f(2021)的值． 答案：0 解：因为f(x－1)是定义在R上的奇函数， 所以f(－x－1)＝－f(x－1)． 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，(42分) 所以f(x＋1)＝f [－(x＋1)]＝－f(x－1)， 所以f(x＋1)＋f(x－1)＝0. 令x＝2020，可得f(2019)＋f(2021)＝0.(45分) 课后提分练13　函数模型及其应用 A组(巩固提升) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2020广东广州期末，5分)如图，将水注入下面四种容器中，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么容器的形状是(　A　) A　　　　B　　　　C　　　　 D 解析：根据题意，可考虑当向高为H的容器中注水，水深达到高H的一半时，注水量V与水深h的函数关系．如图所示，当注水水深达到容器高H的一半时，注水量V与容器容积的关系是V＜容器容积的一半，结合选项可知，A选项符合题意．故选A. 2．(2020广东茂名二模，5分)某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下： (1)若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠； (2)若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠； (3)若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠． 某贫困户购买一批饲料，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元； 方案二：一次性付款购买． 若选用方案二购买此批饲料，则比方案一节省(　C　) A．540元 B．620元 C．640元 D．800元 解析：根据题意，按方案一购买时，第一次付款2880元，∵2880＞2000，∴购买饲料享受了9折优惠，则购买饲料的原价为＝3200(元)；第二次付款4850元，∵5000×0.9＝4500，且4850＞4500，∴购买饲料的原价为5000＋＝5500(元)．故分两次购买饲料的原价为3200＋5500＝8700(元)． 按方案二购买时，应一次性付款5000×0.9＋(8700－5000)×0.7＝7090(元)． 方案二比方案一节省(2880＋4850)－7090＝640(元)．故选C. 3．(2020广西玉林期末改编，5分)某汽车租赁公司有200辆小汽车．若每辆车一天的租金为300元，可全部租出；若将出租收费标准每天提高10x元(1≤x≤50，x∈N*)，则租出的车辆会相应减少4x辆．若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为__390元或400元或410元__． 解析：由题意得，出租收费标准每天提高10x元后，每辆车一天的租金为(300＋10x)元，租出的车辆为(200－4x)辆，故该汽车租赁公司每天的收入为y＝(300＋10x)·(200－4x)＝ －40x2＋800x＋60000(1≤x≤50，x∈N*)．因为要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，所以－40x2＋800x＋60000＞63840，化简整理得x2－20x＋96＜0，解得8＜x＜12.因为x∈N*，所以x＝9或x＝10或x＝11，则300＋10x＝390或400或410.故每辆汽车的出租价格可定为390元或400元或410元． 4．(2020辽宁模拟，5分)人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，30～40 dB是较理想的安静环境，超过50 dB就会影响睡眠和休息，70 dB以上会干扰谈话，长期生活在90 dB以上的噪声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150 dB的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90 dB.一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB，则有f(x)＝10×lg，那么90 dB的声音与50 dB的声音强度的比值为(　D　) A．10 B．100 C．1000 D．10000 解析：由题意可知，当声音强度的等级为90 dB时，有10×lg＝90，即lg＝9，则＝109，此时对应的强度x＝109×10－12＝10－3. 当声音强度的等级为50 dB时，有10×lg＝50，即lg＝5，则＝105，此时对应的强度x＝105×10－12＝10－7. 所以90 dB的声音与50 dB的声音强度的比值为＝10－3－(－7)＝104＝10000.故选D. 5．(2021广西玉林期末，12分)新冠肺炎疫情发生以来，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情作贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本p(x)万元，当产量不足60万箱时，p(x)＝x2＋50x；当产量不小于60万箱时，p(x)＝101x＋－1860.通过市场分析，若每箱口罩售价100元，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． (1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式； 答案：y＝ 解：当0<x<60时，y＝100x－－400＝－x2＋50x－400； 当x≥60时，y＝100x－－400＝1460－， ∴y＝(6分) (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大？ 答案：当产量为80万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大 解：当0<x<60时，y＝－x2＋50x－400＝－(x－50)2＋850， ∴当x＝50时，y取得最大值，最大值为850万元．(8分) 当x≥60时，y＝1460－≤1460－2＝1300， 当且仅当x＝，即x＝80时，等号成立， ∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为1300万元．(11分) 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大．(12分) 6．(2020山东德州月考，12分)某厂生产一产品x件的总成本为C(x)＝1200＋x3(万元)，已知产品单价p(万元)与产品件数x满足关系式p2＝(k为常数)．已知生产100件该产品时，产品单价为50万元． (1)设产量为x件时，总利润为L(x)(万元)，求L(x)的解析式； 答案：L(x)＝－＋500－1200(x＞0) 解：由题意得502＝，解得k＝25×104， 则p＝＝， 故总利润L(x)＝x·－1200－＝－＋500－1200(x＞0)．(5分) (2)产量x定为多少件时，总利润L(x)(万元)最大？并求其最大值(精确到1万元)． 答案：25件，883万元 解：由(1)得L′(x)＝－x2＋， 令L′(x)＝0，得＝x2. 令t＝，得＝t4，所以t5＝125×25＝55， 解得t＝5，所以x＝t2＝25. 所以当0＜x≤25时，L(x)单调递增；当x＞25时，L(x)单调递减． 故当产量定为25件时，总利润最大，最大值为L(25)≈－416.7＋2500－1200≈883(万元)．(12分)　 B组(冲刺满分) 7．(经典题，5分)铅酸电池是一种蓄电池，电极主要由铅及其氧化物制成，电解液是硫酸溶液，这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点，在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛的应用，但是由于在实际生活中使用方法不当，电池能量未被完全使用，会导致能量的浪费，因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中亟待解决的问题．研究发现，当电池以某恒定电流放电时，电压U关于放电时间t的变化率y满足y＝aebt＋(其中a，b为常数)．实验数据显示，当时间t的值为0和5时，电压U关于放电时间t的变化率y分别为－2和－752，则a＝__－__，b＝______． 解析：因为电压U关于放电时间t的变化率y满足y＝aebt＋，且当t的值为0和5时，电压U关于放电时间t的变化率y分别为－2和－752， 所以解得 8．(2021浙江模拟，15分)某企业常年生产一种出口产品，近年来该产品的产量平稳增长．记2016年为第1年，前4年中第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一： ①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝＋a. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2016年和2018年的数据求出相应的解析式； 答案：选择模型①，理由见解答过程， f(x)＝x＋，x∈N* 解：最适合的函数模型为f(x)＝ax＋b，理由如下： 若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝2＋a＝4，可得a＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知数据相差很大，不符合； 若模型为f(x)＝＋a，则f(x)是减函数，与已知数据不符合， 故符合的模型为f(x)＝ax＋b.(2分) 由题意可得解得 所以f(x)＝x＋，x∈N*.(5分) (2)因受新冠疫情影响，2020年的年产量比预计减少了30%，试根据所建立的函数模型，求出2020年的年产量； 答案：7万件 解：2020年的预计年产量为f(5)＝×5＋＝10(万件)，　 所以2020年的实际年产量为10×(1－30%)＝7(万件)．(8分) (3)若自2021年起每年的年产量仍然按照所选函数模型平稳增长，试求出2021～2029年这九年的总产量． 答案：157.5万件 解：设2021～2029年每年的年产量构成数列{an}，则an＝f(n＋5)＝n＋10.(10分) 因为an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列，且a1＝＋10＝. 设数列{an}的前n项和为Sn， 则S9＝9×＋×＝157.5，(14分) 所以2021～2029年这9年的总产量为157.5万件．(15分) 9．(2021河南模拟，12分)“6·18”期间，某电商店铺A的活动为：全场商品每满60元即可用一张5元的优惠券，可叠加使用(比如，买130元的东西，可用两张优惠券，只需付130－5×＝130－5×2＝120(元)，其中[x]是不大于x的最大整数)；另一电商店铺B的活动为：全场所有商品9折销售，如果单品件数超过10，超出的每一件单品均享受a(0.7＋)元/件的会员价，其中a为商品原价，x为超出的单品件数，k为常数．已知在店铺B若购买某种商品11件，则第11件商品享受8.5折优惠，此外，在店铺优惠后，扣除店铺优惠后余下的金额，电商平台还提供全场每满400元减40元的优惠，可叠加使用(比如，店铺A原价1210元的一单，最终价格是1210－5×20－40×2＝1030(元))． (1)小明打算在店铺A买一款250元的耳机和一款650元的音箱，是下两单(即耳机、音箱分两次购买)划算还是下一单(即耳机、音箱一起购买)划算？ 答案：下一单划算 解：若下两单，耳机优惠后实际付款为250－5×4＝230(元)； 音箱优惠后实际付款为650－5×10－40＝560(元)， 所以耳机和音箱优惠后一共实际付款230＋560＝790(元)．(2分) 若下一单，耳机和音箱优惠后一共实际付款(250＋650)－5×15－40×2＝745(元)． 综上，下一单划算．(4分) (2)小明打算趁“6·18”期间囤积某生活日用品至少15件，且预算不超过700元，该生活日用品两个店铺销售价均为30元/件，小明打算全部在A店铺购买或全部在B店铺购买，试分别计算在两家店铺购买多少件该生活日用品平均价格最低，最低平均价格分别是多少？(结果保留到小数点后两位) 答案：在A店铺购买，购买15件或16件时平均价格最低，最低平均价格为25元/件；在B店铺购买，购买31件时平均价格最低，最低平均价格约为21.92元/件 解：①全部在A店铺买．假设购买n件，由于不能超过700元预算，最多能买26件，所以15≤n≤26. 当n＝15时，店铺优惠后价钱为450－5×7＝415>400；当n＝26时，店铺优惠后价钱为780－5×13＝715，400<715<800，所以当15≤n≤26时能享受一次满400元减40元的优惠，此时购买n件该生活日用品的平均价格为 ＝＝30－·－＝其中t∈N*. 当n＝2t时，8≤t≤13，＝－，在[8，13]上单调递增， 所以当t＝8，即n＝16时，()min＝25； 当n＝2t＋1时，7≤t≤12， ＝30－＝－，在[7，12]上单调递增，所以当t＝7，即n＝15时，()min＝25. 综上，如果全部在A店铺购买，购买15件或16件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．(8分) ②全部在B店铺购买．假设购买m件(m∈N*，m≥15)． 因为若购买11件，则第11件可享受8.5折优惠，所以0.7＋＝0.85，解得k＝0.3. 当m＝15时，购买15件该生活日用品店铺优惠后的总价格为y＝27×10＋30××(15－10)＝382.5<400，不能享受满400元减40元的优惠，平均价格不能最低； 当m≥16且总价不超过700元时，可享受一次满400元减40元的优惠．假设购买的生活日用品全部按9折计算，700元最多可买27件，由于超出10件的部分价格低于27元/件，所以700元最多可购买的件数大于27，而当购买的件数m＝27时，超出的17件按会员价计算，实际所花钱数为595.5，大约还结余104.5元，按照27元计算还可以购买3件，所以估计最多可购买件数在30以上． 当m＝31时，实际所花钱数为 27×10＋30××(31－10)－40≈679.59<700，当m＝32时，实际所花钱数为27×10＋30××(32－10)－40≈700.61>700，所以最多可购买31件． 所以当16≤m≤31时，购买m件该生活日用品的平均价格为 ＝[27×10＋30×(m－10)－40] ＝10× ＝10×＝21＋. 令f(x)＝， 则f′(x)＝. 因为函数y＝－29x2＋540x－270×9的图像的对称轴为直线x＝＝<16， 所以当16≤x≤31时，f′(x)max＝f′(16)≈－0.097<0， 所以f′(x)<0，f(x)在[16，31]上单调递减， 所以当m＝31时，取得最小值，()min≈21.92. 综上，如果全部在B店铺购买，购买31件时平均价格最低，最低平均价格大约为21.92元/件．(12分)　 学科网（北京）股份有限公司 $$