第12课 函数与方程-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第12课 函数与方程 普查与练习12　　　　函数与方程 1．函数零点所在区间的判断 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a．利用零点存在定理判断函数零点所在区间 (1)(多选)(2021湖北荆州四模，5分)在下列区间中，函数f(x)＝ex－4x－3一定存在零点的区间为(　ABD　) A. B．(－e，3) C. D. 解析：由f(x)＝ex－4x－3，得f′(x)＝ex－4. 令f′(x)＝0，即ex－4＝0，解得x＝ln4，∴当x∈(－∞，ln4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 对于A，f(－1)＝＋1>0，f＝－5<0，∴f(x)在内一定存在零点，故A正确； 对于B，f(－e)＝e－e＋4e－3>0，f(3)＝e3－15>0.又∵－e<ln4<3，f(ln4)＝eln4－4ln4－3＝1－4ln4<0，∴f(x)在(－e，3)内一定存在零点，故B正确； 对于C，f(0)＝－2<0，f<0.∵<ln4，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在内一定不存在零点，故C错误； 对于D，f(－1)>0，f＝－－3<0，∴f(x)在内一定存在零点，故D正确． 故选ABD. b．利用数形结合法判断函数零点所在区间 (2)(2021辽宁模拟，5分)函数y＝2x＋x－5的零点所在的区间为(　B　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(4，5) 解析：(法一)令f(x)＝2x＋x－5＝0，可得2x＝－x＋5. 令g(x)＝2x，h(x)＝－x＋5，则函数f(x)的零点即为g(x)，h(x)图像交点的横坐标． 在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)，h(x)的图像，如图所示： 由图可知g(x)，h(x)图像的交点横坐标在(1，2)内，∴函数f(x)的零点所在区间为(1，2)． 故选B. (法二)设f(x)＝2x＋x－5，则f′(x)＝2xln2＋1>0，∴f(x)在R上单调递增，至多有一个零点． 又f(1)＝2＋1－5＝－2<0，f(2)＝22＋2－5＝1>0，∴函数y＝2x＋x－5的零点所在的区间为(1，2)．故选B. 2．函数零点个数的判断 a．利用零点存在定理法判断函数零点个数 (3)(2021江苏苏州月考节选，5分)已知函数g(x)＝x2－1－2sinx，则g(x)在区间(0，π)上有__1__个零点． 解析：g(x)＝x2－1－2sinx，x∈(0，π)，则g′(x)＝2x－2cosx. ①当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 又g＝－3<0，g(π)＝π2－1>0，∴g(x)在区间上有一个零点． ②当x∈时，设h(x)＝g′(x)＝2x－2cosx，则h′(x)＝2＋2sinx>0，∴g′(x)在区间上单调递增． 又g′(0)＝－2<0，g′＝π>0，∴存在x0∈，使g′(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 又g(0)＝－1<0，g<0，∴g(x)在区间上无零点． 综上，函数g(x)在区间(0，π)上只有一个零点． b．利用解方程法判断函数零点个数 (4)(2021北京海淀区期中，5分)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为__2__． 解析：函数f(x)的零点个数即为方程f(x)＝0的实数根的个数．当x<1时，令(x＋1)ex＝0，因为ex>0，所以x＋1＝0，解得x＝－1；当x≥1时，令x2－2x＝0，解得x＝2，所以方程 f(x)＝0有两个实数根，所以函数f(x)的零点个数为2. c．利用数形结合法判断函数零点个数 (5)(2021北京，5分)已知函数f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k<0，使得f(x)有一个零点； ③∃k<0，使得f(x)有三个零点； ④∃k>0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是__①②④__． 解析：令f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，得|lgx|＝kx＋2. 设g(x)＝|lgx|，h(x)＝kx＋2，所以f(x)的零点个数就是函数g(x)＝|lgx|与函数h(x)＝kx＋2图像的交点个数，函数g(x)＝|lgx|的图像如图所示． 易知函数h(x)的图像是经过点P(0，2)的一条直线，如图，过P作g(x)的两条切线，切点分别是A，B，过P作与x轴平行的直线PM. 由图可知， 当直线y＝h(x)在y轴与PA之间(不含边界)，即k<kPA时，g(x)与h(x)的图像没有交点； 当直线y＝h(x)为PA，即k＝kPA时，g(x)与h(x)的图像有一个交点； 当直线y＝h(x)在PA与PM之间(含PM)，即kPA<k≤0时，g(x)与h(x)的图像有两个交点； 当直线y＝h(x)在PM与PB之间(不含边界)，即0<k<kPB时，g(x)与h(x)的图像有三个交点； 当直线y＝h(x)为PB，即k＝kPB时，g(x)与h(x)的图像有两个交点； 当直线y＝h(x)在PB与y轴之间(不含边界)，即k>kPB时，g(x)与h(x)的图像有一个交点， 所以，①当k＝0时，f(x)有两个零点，①正确； ②当k＝kPA<0时，f(x)有一个零点，②正确； ③只有当0<k<kPB时，f(x)才有三个零点，③错误； ④当0<k<kPB时，f(x)有三个零点，④正确． 故答案为①②④. (6)(2020天津第一中学月考，5分)已知函数f(x)＝|log2x|，g(x)＝则方程|f(x)－g(x)|＝1的实根个数为(　C　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由方程＝1可得f(x)＝g(x)±1，因为y＝g(x)＋1＝y＝g(x)－1＝所以方程|f(x)－g(x)|＝1的实根个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)＋1的图像的交点个数与函数y＝f(x)和y＝g(x)－1的图像的交点个数之和． ①分别画出函数y＝f(x)和y＝g(x)＋1的图像，如图所示． 由图像可得，当0＜x≤1时，两图像有一个交点；当1＜x≤2时，两图像有一个交点；当x＞2时，两图像有一个交点．故函数y＝f(x)和y＝g(x)＋1的图像有三个交点． ②分别画出函数y＝f(x)和y＝g(x)－1的图像，如图所示． 由图像可得，当x>时，两图像有一个交点．故函数y＝f(x)与y＝g(x)－1的图像有一个交点． 综上可知，方程|f(x)－g(x)|＝1的实根个数为4.故选C. 3．有关函数零点的代数式的求值或范围问题 (7)(2021辽宁沈阳月考节选，5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)＝f(2－x)，g(x)＝|cos(πx)|，且当x∈[0，1]时，f(x)＝(x－1)2，则函数q(x)＝f(x)－g在[－1，3]上的零点之和为__7__． 解析：函数q(x)＝f(x)－g在[－1，3]上的零点是方程q(x)＝f(x)－g＝0的根，也就是方程f(x)＝g的根，即函数y＝f(x)和y＝g图像交点的横坐标． 因为f(－x)＝f(2－x)，所以f(2＋x)＝f(x)，所以2是函数f(x)的一个周期． 因为当x∈[0，1]时，且f(x)＝(x－1)2，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的最小正周期为2. 因为g(x＋1)＝|cos[π(x＋1)]|＝|cos(πx)|＝g(x)，所以g(x)的最小正周期是1. 因为y＝g的图像可由y＝g(x)的图像向左平移个单位长度得到，所以可画出函数f(x)，g在[－1，3]上的图像，如图所示： 由图可知，两图像交点共7个，不妨从左往右依次设交点为X1，X2，…，X7.观察得知，X1和X4，X2和X3关于y轴对称，X5和X6关于直线x＝2对称，X7的横坐标为3，故函数q(x)在[－1，3]上的零点之和为2×2＋3＝7. (8)(2020重庆北碚区模拟，5分)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝m，m∈R有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为(　B　) A．(0，＋∞) B. C. D．(1，＋∞) 解析：作出函数f(x)的图像，如图所示．不妨设x1＜x2＜x3＜x4，结合图像可知，x1＋x2＝－2，－log2x3＝log2x4，所以x3x4＝1.根据题意，可知m∈(0，1)，所以log2x4∈(0，1)，所以x4∈(1，2)，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋x4＋.根据对勾函数y＝x＋在(1，2)上单调递增，可知x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋x4＋在(1，2)上单调递增，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋x4＋∈.故选B. (9)(经典题，5分)已知函数f(x)＝|lnx|－ax(x＞0，0＜a＜1)的两个零点是x1，x2，则(　A　) A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1C．1＜x1x2＜e D．x1x2＞e 解析：令f(x)＝|lnx|－ax＝0，得|lnx|＝ax.作出函数y＝|lnx|，y＝ax(0<a<1)的图像如图所示，由题意知两函数图像的交点横坐标即为x1，x2.不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，从而lnx1＜0，lnx2＞0，，且|lnx1|＝＝－lnx1，|lnx2|＝＝lnx2.故lnx1x2＝lnx1＋lnx2＝＜0，所以0＜x1x2＜1.故选A. 4．根据函数零点的情况求参数的值或范围 (10)(2020山东烟台模拟，5分)已知函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　C　) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 解析：函数f(x)＝2x－－a的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为y＝2x在R上是增函数，y＝－在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝2x－－a在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数． 又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)·f(2)＝(0－a)·(3－a)＜0，解得0＜a＜3，即实数a的取值范围是(0，3)．故选C. (11)(经典题，5分)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　C　) A．－ B. C. D．1 解析：由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)， 得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1] ＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1) ＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)， ∴f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图像的对称轴． ∵f(x)有唯一零点，∴f(x)的零点只能为1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0， 解得a＝.故选C. (12)(2020东北三省三校模拟，5分)已知函数f(x)满足：当x≤0时，f(x－2)＝f(x)，且当x∈ (－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1；当x>0时，f(x)＝logax(a>0且a≠1)．若函数f(x)的图像上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是(　C　) A．(5，＋∞) B．(2，4) C．(3，5) D．(3，4) 解析：因为函数f(x)的图像上关于原点对称的点恰好有3对，所以函数f(x)在(－∞，0]上的图像关于原点对称的图像与函数f(x)在(0，＋∞)上的图像的交点个数为3. 因为函数f(x)满足当x≤0时，f(x－2)＝f(x)，且当x∈(－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1，作出函数f(x)在(－∞，0]上的图像，并画出其关于原点对称的图像，则该图像与函数f(x)＝logax的图像有3个交点，如图所示，所以解得3<a<5，即a的取值范围是(3，5)．故选C. (13)(2021天津，5分)设a∈R，函数f(x)＝若f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a的取值范围是(　A　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析：(法一)当x≥a时，f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5， 所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2＋5)＝8a－16. 若8a－16<0，即a<2，则f(x)在[a，＋∞)上没有零点， 则f(x)在(0，a)上有6个零点，a>0. 当x<a时，由cos(2πx－2πa)＝0得2πx－2πa＝＋kπ，k∈Z，即x＝a＋＋，k∈Z，所以0<a＋＋<a(k∈Z)有6个解，即－2a－<k<－有6个整数解． 因为a<2，所以只有k＝－1，－2，－3，－4可能满足条件，此时函数f(x)最多有4个零点，不合题意，排除BD. 若a>2，则f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5有两个零点． 因为y＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5图像的对称轴为直线x＝a＋1>a，所以f(x)在[a＋1，＋∞)上有一个零点． 若f(a)＝5－2a<0，即a>，则f(x)在[a，＋∞)上只有一个零点，所以要满足题意，则它在(0，a)上有5个零点，即0<a＋＋<a(k∈Z)有5个解，即－2a－<k<－有5个整数解，所以－6≤－2a－<－5，即<a≤.又因为a>，所以<a≤，排除C.故选A. (法二)因为x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2个根， 所以cos(2πx－2πa)＝0在(0，a)上至少有4个根，a>0. 令2πx－2πa＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋＋a，k∈Z. 令0<＋＋a<a，得－2a－<k<－. 当x<a时， 若－5≤－2a－<－4，则f(x)有4个零点，此时<a≤； 若－6≤－2a－<－5，则f(x)有5个零点，此时<a≤； 若－7≤－2a－<－6，则f(x)有6个零点，此时<a≤. 当x≥a时，f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5，Δ＝4(a＋1)2－4(a2＋5)＝8(a－2)， 若a<2，则Δ<0，f(x)无零点，此时f(x)在整体上最多有4个零点； 若a＝2，则Δ＝0，f(x)有1个零点，此时f(x)在整体上有5个零点； 若a>2，则Δ>0，f(x)有2个零点． 因为y＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5图像的对称轴为直线x＝a＋1>a，所以当x>a＋1时，函数f(x)有1个零点． 又f(a)＝a2－2(a＋1)a＋a2＋5＝－2a＋5，所以当－2a＋5≥0，即a≤时，函数f(x)在[a，＋∞)上有2个零点，结合x<a时的情况，可得当2<a≤时，函数f(x)在整体上有6个零点；当a>时，可知函数f(x)在[a，＋∞)上有1个零点，结合x<a时的情况，可得当<a≤时，函数f(x)在整体上有6个零点． 综上可得，若函数f(x)在区间(0，＋∞)上恰有6个零点，则a的取值范围是∪.　故选A. 随堂普查练12 1．(2021北京西城区月考，4分)函数f(x)＝－2x的零点所在区间是(　C　) A. B. C．(1，2) D．(2，3) 解析：(法一)易知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(1)＝2>0，f(2)＝－2<0，∴由函数零点存在性定理可知，函数f(x)在(1，2)上有零点．故选C. (法二)f(x)＝－2x＝0，即为＝2x.函数f(x)的零点等价于方程f(x)＝0的根，也即函数y＝和函数y＝2x图像交点的横坐标，作图如下： 由图可知，函数y＝和函数y＝2x图像交点的横坐标所在区间为(1，2)．故选C. 2．(经典题，5分)函数f(x)＝4x＋x2－2在区间(0，1)内的零点个数是(　B　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：∵y＝4x和y＝x2－2在(0，1)上都是增函数且连续，∴函数f(x)＝4x＋x2－2在区间(0，1)上单调递增且连续．∵f(0)＝－1＜0, f(1)＝3>0，∴f(0)·f(1)＜0，∴函数f(x)＝4x＋x2－2在区间(0，1)内有唯一的零点，故选B. 3．(经典题，5分)函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为(　C　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：令f(x)＝0，可得x＝0或cosx2＝0，∴x＝0或x2＝kπ＋，k∈Z. ∵x∈[0，4]，∴x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6.故选C. 4．(2021浙江学业考试，4分)已知函数f(x)＝则函数y＝f [f(x)＋1]的零点个数是(　D　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：令t＝f(x)＋1＝ ①当t>0时，f(t)＝lnt－，由函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－>0，所以存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0； ②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1，t＝t1，t＝－2，t＝0的图像如下图所示： 由图可知，直线t＝t1，t＝0与函数t＝f(x)＋1的图像均有两个交点，直线t＝－2与t＝f(x)＋1的图像有且仅有一个交点，所以函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.故选D. 5．(多选)(2020山东模拟，5分)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则下列说法正确的是(　BCD　) A．x1x2＝1 B.＋＝1 C．x3＋x4＝12 D．x3x4∈(27，29) 解析：作出函数f(x)的图像，如图所示．由图可知x1，x2，x3，x4是y＝f(x)和y＝m(0<m<1)的图像交点的横坐标，且|log2(x1－1)|＝|log2(x2－1)|且1＜x1＜2＜x2＜3，所以log2(x1－1)＋log2(x2－1)＝0，即(x1－1)(x2－1)＝1，所以x1x2－x1－x2＋1＝1，所以＋＝1，故A错误，B正确；因为x3，x4是方程x2－6x＋＝m(0＜m＜1)，即方程x2－12x＋29－2m＝0的两根，所以x3＋x4＝12，x3x4＝29－2m∈(27，29)，故C，D正确．故选BCD. 6．(经典题，5分)已知函数f(x)＝－m在区间(－1，＋∞)上有两个不同的零点θ1与θ2(θ1＜θ2)，则下列结论正确的是(　C　) A．tan＝ B．tan＝ C．tan＝ D．tan＝ 解析：令f(x)＝0，可得|sinx|＝m(x＋1)，x∈(－1，＋∞)，则函数f(x)的零点即为函数y＝|sinx|和y＝m(x＋1)图像交点的横坐标．分别作出y＝|sinx|，y＝m(x＋1)在(－1，＋∞)上的图像．由图像可知，若f(x)在(－1，＋∞)上有两个不同的零点，则m>0，且直线y＝m(x＋1)与y＝|sinx|的图像在内相切，切点为(θ2，sinθ2).当x∈时，y＝|sinx|＝sinx，则y′＝cosx，所以cosθ2＝m＝，所以tanθ2＝＝θ2＋1，所以tan＝＝.故选C. 7．(2020天津，5分)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是(　D　) A.∪(2，＋∞) B.∪(0，2) C．(－∞，0)∪(0，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则方程f(x)＝|kx2－2x|恰有四个根，所以函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图像恰有四个交点． 当k＝0时，作出函数y＝f(x)与y＝|－2x|＝2|x|的图像，如图所示，由图可知两个函数图像只有两个交点，不符合题意； 当k<0时，函数y＝|kx2－2x|的图像与x轴交点横坐标为x1＝0，x2＝(x2<x1)，且y＝kx2－2x的图像在x＝0处的切线斜率为y′|x＝0＝－2<－1，所以两函数图像如图所示，两个函数图像有4个交点，符合题意； 当k>0时，函数y＝|kx2－2x|的图像与x轴交点横坐标为x1＝0，x2＝(x2>x1)，如图所示，两个函数图像在内有两个交点，所以若两函数图像有四个交点，只需函数y＝x3与y＝kx2－2x的图像在内还有两个交点即可，即方程x3＝kx2－2x在内有两个根，即方程k＝x＋在内有两个根．因为y＝x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，所以0<<且k>2，解得k>2. 综上所述，k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．故选D. 8．(2018浙江，6分)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是__(1，4)__．若函数f(x)恰有两个零点，则λ的取值范围是__(1，3]∪(4，＋∞)__． 解析：当λ＝2时，由f(x)<0得或解得1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集是(1，4)．当λ≤1时，函数f(x)的图像如图1所示，此时函数f(x)有1个零点4，不符合题意； 图1 当1<λ≤3时，函数f(x)的图像如图2所示，此时函数f(x)有两个零点1和4，符合题意； 图2 当3<λ≤4时，函数f(x)的图像如图3所示，此时函数f(x)有3个零点1，3和4，不符合题意； 图3 当λ>4时，函数f(x)的图像如图4所示，此时函数f(x)有2个零点1和3，符合题意． 图4 综上，λ的取值范围是(1，3]∪(4，＋∞)． 课后提分练12　函数与方程 A组(巩固提升) 1．(2020吉林长春二模，5分)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：(法一)作出函数f(x)＝的图像，如图所示．由图可知，函数 y＝f(x)的图像与直线y＝3有两个交点，所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B. (法二)当x>0时，令|lnx|－3＝0，得lnx＝3或lnx＝－3，所以x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，令－2x(x＋2)－3＝0，即2x2＋4x＋3＝2(x＋1)2＋1＝0，方程无实数解．故函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B. 2．(经典题，5分)已知函数f(x)＝[x]([x]表示不超过实数x的最大整数)，若函数g(x)＝ex－e－x－2(e为自然对数的底数)的零点为x0，则g[f(x0)]＝(　B　) A.－e－2 B．－2 C．e－－2 D．e2－－2 解析：由g(x)＝ex－e－x－2易得函数g(x)为连续且递增的函数，又g(0)＝－2＜0，g(1)＝e－－2＞0，所以由函数零点存在性定理得x0∈(0，1)．又f(x0)＝[x0]＝0，所以g[f(x0)]＝g(0)＝－2.故选B. 3．(2023改编，5分)已知函数f(x)＝lnx－x2＋1，则函数y＝f(x)(　D　) A．有1个零点，在区间(1，2)内 B．有1个零点，在区间(2，3)内 C．有2个零点，在区间(0，1)和(2，3)内 D．有2个零点，在区间(0，1)和(1，2)内 解析：设g(x)＝lnx，h(x)＝x2－1，x>0，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如图所示，所以函数f(x)＝g(x)－h(x)有两个零点，且其中一个在(0，1)内．因为f(1)＝>0，f(2)＝ln2－1＜0，且f(x)在(1，2)上连续，所以函数y＝f(x)的另一个零点在(1，2)内．故选D. 4．(2020黑龙江齐齐哈尔期末，5分)已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间 [－2，5]上的零点的个数为(　C　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2，5]上的零点的个数即为函数f(x)和g(x)在区间 [－2，5]上的图像的交点个数．由函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，可知函数f(x)的周期为2.作出函数f(x)和g(x)的图像，如图所示，则函数f(x)和g(x)在区间[－2，5]上的图像的交点个数为6.故选C. 5．(2018全国Ⅰ，5分)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　C　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：因为函数g(x)＝f(x)＋x＋a＝0有两个零点，所以函数y＝f(x)与函数y＝－x－a的图像有两个交点．如图，画出函数y＝f(x)以及y＝－x－a的图像，可知当直线在y轴上的截距小于等于1时满足题意，即－a≤1，所以a≥－1.故选C. 6．(2021湖南邵阳月考，5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝4－f(2＋x)，函数g(x)＝.若函数f(x)与g(x)的图像共有214个交点，记作Pi(xi，yi)(i＝1，2，…，214)，则(xi＋yi)的值为(　A　) A．642 B．1284 C．214 D．321 解析：因为f(－x)＝4－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(－x)＝4，即f(1＋x)＋f(1－x)＝4，所以函数f(x)的图像关于点(1，2)对称． 因为函数g(x)＝＝2＋，所以g(x)的图像也关于点(1，2)对称，所以函数f(x)与g(x)的图像的交点也关于点(1，2)对称，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x214)＋(y1＋y2＋…＋y214)＝×2＋×4＝642.故选A. 7．(2020天津校级月考，5分)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为(　A　) A．(0，2) B．(0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：因为函数g(x)＝f(x)－ax恰有两个零点，当x＝0时，g(0)＝f(0)－0＝0，所以x＝0是函数g(x)的一个零点，所以当x≠0时，方程a＝只有一个根． 令h(x)＝＝则函数h(x)的图像与直线y＝a只有一个交点．当x>0时，h(x)＝ex－e－x单调递增；当x<0时，h(x)＝－x－－2≥2－2＝2，当且仅当x＝－2时取等号． 作出函数h(x)的图像，如图所示．由图可知，要使函数h(x)的图像与直线y＝a只有一个交点，只需0＜a＜2即可．故实数a的取值范围是(0，2)．故选A. 8．(2020山东模拟，5分)已知函数f(x)＝2x＋log2x，且实数a＞b＞c＞0，满足f(a)f(b)f(c)＜0.若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成立的是(　D　) A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜b D．x0＜c 解析：因为函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上是增函数，实数a＞b＞c＞0，所以f(c)＜f(b)＜f(a)．又因为f(a)·f(b)f(c)＜0，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一项为负数，两项为正数或者三项都为负数，即f(c)＜0，0＜f(b)＜f(a)或f(c)＜f(b)＜f(a)＜0.因为实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，所以当f(c)＜0，0＜f(b)＜f(a)时，有c＜x0＜b＜a，此时选项A，C成立；当f(c)＜f(b)＜f(a)＜0时，有x0＞a，此时选项B成立．故选D. 9．(2020湖北武汉武昌区校级模拟，5分)已知函数f(x)＝若关于x的方程|f(x)|＝a恰好有4个实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是(　D　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(0，2) D．[0，2) 解析：作出函数y＝|f(x)|的图像，如图所示．因为关于x的方程|f(x)|＝a恰好有4个实根，所以函数y＝|f(x)|的图像与直线y＝a有4个交点，所以1<a≤3. 不妨设实根x1<x2<x3<x4，由图可知直线x＝x1和x＝x2关于直线x＝－2对称，所以x1＋x2＝－4，当a＝3时，可得x1＝－4，x2＝0；y＝x2＋4x＋3和y＝1图像的交点横坐标为－－2，－2，所以－4≤x1<－－2，－2<x2≤0. 由图可知－lnx3＝lnx4，所以x3·x4＝1，所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－x－4x1. 令h(x)＝－x2－4x(－4≤x<－2－)，因为函数h(x)在(－4，－2－)上单调递增，所以h(－4)≤h(x)<h(－2－)，即0≤h(x)<2，所以x1x2x3x4的取值范围是[0，2)．故选D. 10．(2019浙江，4分)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则(　C　) A．a＜－1，b＜0 B．a＜－1，b＞0 C．a＞－1，b＜0 D．a＞－1，b＞0 解析：设g(x)＝f(x)－ax－b. (ⅰ)当x<0时，g(x)＝x－ax－b＝(1－a)x－b，则g(x)在(－∞，0)上最多有一个零点，零点为x0＝<0(a≠1)． (ⅱ)当x≥0时，g(x)＝x3－(a＋1)x2＋ax－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)]． 当a＋1≤0，即a≤－1时，g′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，此时g(x)最多有一个零点，不符合题意； 当a＋1>0，即a>－1时，易得g(x)在[0，a＋1)上单调递减，在[a＋1，＋∞)上单调递增，此时g(x)最多有两个零点． 由(ⅰ)(ⅱ)可知，函数g(x)＝f(x)－ax－b恰有3个零点，相当于g(x)在(－∞，0)上有一个零点，在[0，＋∞)上有2个零点，如图： 所以解得 所以－(a＋1)3<b<0，－1<a<1.故选C. 11．(2019天津，5分)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　D　) A. B. C.∪{1} D.∪{1} 解析：如图，作出函数f(x)＝的图像，以及直线y＝－x. 关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，即函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图像有两个交点． 平移直线y＝－x，根据图像可知，当直线位于l1与l2之间(包括l1，l2)以及l3的位置时，函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图像有两个交点(l1，l2，l3均与直线y＝－x平行)． ①当直线位于l1与l2之间(包括l1，l2)时，易知l1经过点(1，2)，此时a＝；l2经过点 (1，1)，此时a＝，所以直线y＝－x＋a位于l1与l2之间(包括l1，l2)时，a∈. ②当直线位于l3的位置时，此时，直线y＝－x＋a与y＝相切．由y＝，可得y′＝－.令－＝－，解得x＝2或－2(舍去)，所以切点坐标为，代入直线方程可得a＝1. 综上可得a的取值范围是∪{1}．故选D. 12．(2021江西宜春模拟，5分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则函数g(x)＝|sin2πx|－f(x)在区间上的所有零点之和为(　A　) A．10 B．9 C．8 D．6 解析：因为f(x)是偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，所以可以得出函数f(x)在上的图像. 由f(x)满足f(x)＝f(2－x)，可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，所以得出函数f(x)在上的图像． 令h(x)＝sin2πx，则h(x)的最小正周期T＝＝1，画出其图像，进而可得函数y＝|sin2πx|的图像，如图所示． 由图可得，函数g(x)＝|sin2πx|－f(x)在区间上共有10个零点，所有零点之和为5×2×1＝10.故选A. 13．(2019江苏，5分)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0，2]时，，g(x)＝其中k＞0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是______． 解析：当x∈(0，2]时，y＝，即(x－1)2＋y2＝1，y≥0，所以函数f(x)在(0，2]上的图像是以(1，0)为圆心，1为半径的圆的x轴上方的部分．又因为f(x)为奇函数，周期为4，g(x)＝且g(x)的周期为2，所以画出函数f(x)与g(x)的图像如图所示． 要使f(x)＝g(x)在(0，9]上有8个实根，只需使f(x)与g(x)的图像在(0，9]上有8个交点即可． (ⅰ)当g(x)＝－(1＋2t<x≤2t＋2，t＝0，1，2，3)时，函数f(x)与g(x)的图像有2个交点． (ⅱ)当g(x)＝k(x＋2－2t)(2t<x≤1＋2t，t＝0，1，2，3，4)时，g(x)的图像与f(x)的图像有6个交点，由g(x)与f(x)的周期性，不妨仅考虑(0，1]内的情况，此时g(x)＝k(x＋2)． 当函数f(x)与g(x)的图像在(0，1]内相切时，圆心(1，0)到直线kx－y＋2k＝0的距离为1，即＝1，解得k＝；当g(x)＝k(x＋2)(0<x≤1)的图像过点(1，1)时，k＝，所以当≤k<时，f(x)与g(x)的图像在(0，1]上有两个交点，则g(x)＝k(x＋2－2t)(2t<x≤1＋2t，t＝0，1，2，3，4)与f(x)的图像有6个交点． 综上，满足f(x)＝g(x)在(0，9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为. 14．(2020安徽定远县模拟节选，6分)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝mx2.若函数f(x)与g(x)的图像上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围． 答案： 解：因为函数f(x)与g(x)的图像上存在关于原点对称的点， 所以函数－g(－x)＝－m(－x)2的图像与函数f(x)＝xlnx的图像有交点， 即方程－m(－x)2＝xlnx在(0，＋∞)上有解， 即方程m＝－在(0，＋∞)上有解．(4分) 设φ(x)＝－(x>0)，则φ′(x)＝， 所以当x∈(0，e)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减； 当x∈(e，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增， 所以φ(x)min＝φ(e)＝－，所以m≥－，解得m≥－， 即实数m的取值范围是.(6分) 15．(2020天津南开区二模改编，12分)已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－1)＝－1. (1)若f(x－1)＋1≥0，求x的取值范围； 答案：[0，2] 解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0]上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝f(－1)＝－1. 由f(x－1)＋1≥0可得f(x－1)≥－1＝f(1)，∴f(|x－1|)≥f(1)，∴－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，∴x的取值范围是[0，2] .(5分) (2)设函数g(x)＝若方程f(g(x))＋1＝0有且只有两个不同的实数解，求实数a的取值范围． 答案：(－∞，－1]∪(3，＋∞) 解：由f(g(x))＋1＝0可得g(x)＝1或g(x)＝－1. 易知g(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上均为增函数，∴当x∈(－∞，0]时，g(x)≤2－a；当x∈(0，＋∞)时，g(x)＞－a.(7分) ①当1＞2－a≥－1>－a时，方程g(x)＝1有1解，方程g(x)＝－1有2解，不符合题意； ②当2－a≥1＞－a≥－1时，方程g(x)＝1有2解，方程g(x)＝－1有1解，不符合题意； ③当－a≥1时，方程g(x)＝1有1解，方程g(x)＝－1有1解，符合题意． ④当2－a＜－1时，方程g(x)＝1有1解，方程g(x)＝－1有1解，符合题意． 综上所述，－a≥1或2－a＜－1，解得a≤－1或a＞3，即实数a的取值范围是 (－∞，－1]∪(3，＋∞)．(12分) B组(冲刺满分) 16．(2021北京房山区模拟，5分)设函数f(x)＝给出下列四个结论： ①当a＝0时，∃t∈R，使得f(x)＝t无解； ②当a＝2时，∃t∈(0，2)，使得f(x)＝t有两解； ③当a<0时，∀t∈R，使得f(x)＝t有解； ④当a>2时，∃t∈R，使得f(x)＝t有三解． 其中，所有正确结论的序号是__①④__． 解析：①当a＝0时，f(x)＝函数f(x)的图像如图所示． 当t＝－1时，y＝f(x)与y＝t的图像无交点，f(x)＝t无解，故①正确． ②当a＝2时，f(x)＝函数f(x)的图像如图所示． 当t∈(0，2)时，y＝f(x)与y＝t的图像只有一个交点，即方程f(x)＝t只有一个解，故②错误． ③当a<0时，取t＝2a，则当x<0时，f(x)＝t可化为a(x＋1)＝2a，解得x＝1(舍去)；当x>0时，f(x)＝t可化为2x－a＋2a－x＝2a.∵2x－a＋2a－x>0，2a<0，∴方程无解，故③错误． ④当a>2时，取t＝t0(2<t0<min{a，2a＋2－a})．当x<0时，f(x)＝t可化为a(x＋1)＝t0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝t可化为2x－a＋2a－x＝t0.∵当0<x<a时，y′＝2x－aln2－2a－xln2＝ln2(2x－a－2a－x)<0，函数y＝2x－a＋2a－x单调递减，且x＝a时，y＝2；x＝0时，y＝2a＋2－a>t0，∴y＝2x－a＋2a－x与y＝t0的图像在(0，a)上有一个交点． 又∵函数y＝2x－a＋2a－x的图像关于直线x＝a对称，∴y＝2x－a＋2a－x与y＝t0的图像有两个交点，即2x－a＋2a－x＝t0有两个解，故f(x)＝t有三解，④正确． 综上，正确的结论是①④. 17．(经典题，5分)已知函数f(x)＝若当方程f(x)＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)时，不等式kx3x4＋x＋x≥k＋11恒成立，则实数k的最小值为(　B　) A. B．2－ C. D.－ 解析：函数f(x)＝的图像如图． 由图像知－lnx1＝lnx2，ln(4－x3)＝－ln(4－x4)，即x1x2＝1，(4－x3)(4－x4)＝1，∴x1＋x2≥2＝2，x3x4－1＝4(x3＋x4)－16.又1<x2<2，∴x1＋x2＝＋x2∈.∵函数图像关于直线x＝2对称，∴x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8，∴x3＋x4＝8－(x1＋x2)．∵kx3x4＋x＋x≥k＋11恒成立，∴k≥恒成立，∴k≥max. ∵＝ ＝＝ ＝× ＝ ＝ ≤×(8－2)＝2－， 当且仅当(x1＋x2)－4＝，即x1＋x2＝4－时等号成立，∴k≥2－.故选B. 18．(多选)(2020山东模拟，5分)已知f(x)＝－1，g(x)＝(m＋2)(x2＋1)2.若φ(x)＝ex·f(x)－有唯一的零点，则m的值可能为(　ACD　) A．2 B．3 C．－3 D．－4 解析：∵f(x)＝－1，g(x)＝(m＋2)(x2＋1)2，φ(x)＝ex·f(x)－只有一个零点，∴方程2m(x2＋1)－ex－＝0只有一个实数根，即方程(m＋2)－2m·＋1＝0只有一个实数根． 令t＝，则t＞0，t′＝＝≤0，∴函数t＝在R上单调递减，∴m的值只需满足关于t的方程(m＋2)t2－2mt＋1＝0(*)有且只有一个正实根即可． 对于A，当m＝2时，方程(*)为4t2－4t＋1＝0，解得t＝，符合题意； 对于B，当m＝3时，方程(*)为5t2－6t＋1＝0，解得t＝或t＝1，不符合题意； 对于C，当m＝－3时，方程(*)为t2－6t－1＝0，解得t＝3±，只有3＋＞0，符合题意； 对于D，当m＝－4时，方程(*)为2t2－8t－1＝0，解得t＝，只有＞0，符合题意． 故选ACD. 19．(2020山东滨州二模，5分)设f(x)是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数y＝f(x－1)的图像关于点(1，0)对称，函数y＝f(x)在区间[－n，n](n∈N*)上的零点的个数的最小值为an，则an＝__2k＋1(3k≤n＜3(k＋1)，k∈N，n∈N*)__．　 解析：因为函数y＝f(x－1)的图像关于点(1，0)对称，将y＝f(x－1)的图像向左平移1个单位，得到y＝f(x)的图像，所以y＝f(x)的图像关于原点对称，即y＝f(x)为奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)为周期为6的周期函数，所以f(x＋6)＝f(x)．令x＝－3，则f(－3＋6)＝f(－3)，即f(3)＝f(－3)＝－f(3)，所以f(－3)＝f(3)＝0. 当n＝1，2时，在区间[－n，n]上，至少有f(0)＝0； 当n＝3，4，5时，在区间[－n，n]上，至少有f(0)＝0，f(3)＝f(－3)＝0； 当n＝6，7，8时，在区间[－n，n]上，至少有f(0)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，f(6)＝f(－6)＝0； 当n＝9，10，11时，在区间[－n，n]上，至少有f(0)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，f(6)＝f(－6)＝0，f(9)＝f(－9)＝0， …， 所以a1＝a2＝1，a3＝a4＝a5＝3，a6＝a7＝a8＝5，…，a3k＝a3k＋1＝a3k＋2＝2k＋1，k∈N，即an＝2k＋1(3k≤n<3(k＋1)，k∈N，n∈N*)． 故答案为2k＋1(3k≤n<3(k＋1)，k∈N，n∈N*)．　 20．(2021江苏南通期末节选，12分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位长度，向下平移2个单位长度得到曲线C，再把C上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图像．若函数F(x)＝g＋mg(x)在区间(0，nπ)(n∈N*)上恰有2021个零点，求m，n的值． 答案：m＝－1，n＝1347 解：f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x ＝＋2cos2x＋sin2x ＝＋×(1＋cos2x)＋sin2x ＝2＋2 ＝2sin＋2.(1分) 将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位长度，向下平移2个单位长度得到曲线C，再把C上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图像，则g(x)＝2sinx，所以F(x)＝2sin＋2msinx＝2cos2x＋2msinx＝2(1－2sin2x)＋2msinx＝－4sin2x＋2msinx＋2. 令t＝sinx∈[－1，1]，则F(x)＝0等价于－4t2＋2mt＋2＝0，即2t2－mt－1＝0(*)．　 显然当t＝0时，方程不成立，所以t≠0.(3分) ①若(*)式中，其中一根为1，则m＝1，另一根为－，所以F(x)在(0，π)上有1个零点，在(π，2π)上有2个零点，所以F(x)在(0，1346π)上共有×3＝2019个零点，在(1346π，1347π)上有1个零点，在(1347π，1348π)上有2个零点，所以不存在n(n∈N*)使得F(x)在(0，nπ)上有2021个零点．(6分) ②若(*)式中，其中一根为－1，则m＝－1，另一根为，所以F(x)在(0，π)上有2个零点，在(π，2π)上有1个零点，所以F(x)在(0，1346π)上共有2019个零点，在(1346π，1347π)上有2个零点，满足题意，所以n＝1347.(9分) ③若(*)式在(－1，1)上只有一根，则F(x)在(kπ，(k＋1)π)上要么有2个零点，要么无零点，所以F(x)在(0，nπ)上的零点个数只能是偶数．因为2021是奇数，所以不符合题意． ④若(*)式在(－1，1)上存在两根，则F(x)在(kπ，(k＋1)π)上存在2个零点，同样不符合题意． 综上所述，m＝－1，n＝1347.(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$