第11课 函数的图像与变换-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第11课 函数的图像与变换 普查与练习11　　　　函数的图像与变换 1．函数图像的变换 (1)(2023汇编，21分)作出下列函数的图像： ①y＝； 答案：见解答过程 解：y＝＝＝＋＝－1＋，(1分) 先作出y＝的图像，再将其图像向左平移1个单位长度，然后向下平移1个单位长度，得到y＝－1＋的图像，如图所示． (3分) ②y＝； 答案：见解答过程 解：先作出y＝的图像，然后将y轴左侧的图像去掉，将y轴右侧的图像沿y轴翻折，并保留y轴右侧的图像，从而得到y＝的图像；再将y＝的图像向左平移1个单位长度，得到y＝的图像，如图所示． (6分) ③y＝； 答案：见解答过程 解：先作出y＝log2x的图像，再将其图像向下平移1个单位长度，得到y＝log2x－1的图像，保留函数y＝log2x－1的图像在x轴及其上方的部分，将x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝|log2x－1|的图像，如图所示． (9分) ④y＝－； 答案：见解答过程 解：先作出函数y＝的图像，再将y轴右侧的图像沿y轴翻折，从而得到函数y＝的图像；再将x轴上方的图像沿x轴翻折，得到函数y＝－的图像，如图所示． (12分) ⑤y＝lg； 答案：见解答过程 解：(法一)先作出函数y＝lgx的图像；再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的10倍，纵坐标不变；最后将得到的图像向左平移3个单位长度，即可得到函数y＝lg的图像，如图所示． 　(15分) (法二)y＝lg＝lg(x＋3)－1，先作出函数y＝lgx的图像，再将其图像向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位长度，即可得到y＝lg的图像，如上图所示．(15分) ⑥y＝＋3； 答案：见解答过程 解：先作出函数y＝的图像；再将其图像上所有点的纵坐标缩小为原来的，横坐标不变；然后将所得的图像向左平移1个单位长度；最后向上平移3个单位长度，即可得到函数y＝＋3的图像，如图所示． (18分) ⑦y＝2log4(1－x)． 答案：见解答过程 解：(法一)先作出函数y＝log4x的图像；再将其图像向左平移1个单位长度；然后将得到的函数图像沿y轴翻折；最后将得到的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到函数y＝2log4(1－x)的图像，如图所示． (21分) (法二)先作出函数y＝log4x的图像；再将函数图像沿y轴翻折；然后将得到的函数图像向右平移1个单位长度；最后将得到的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到函数y＝2log4(1－x)的图像，如上图所示．(21分) (2)(2023汇编，15分)(Ⅰ)已知图1中的图像对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图2中的图像对应的函数是(　C　) 　　　 A．y＝f(|x|)　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|) (Ⅱ)已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图像可能是(　B　) A B C D (Ⅲ)已知函数f(x)＝的部分图像如图所示，将此图像分别作以下变换，那么变换后的图像可以与原图像重合的变换方式是(　D　) ①绕着x轴上一点旋转180°； ②沿x轴正方向平移； ③以x轴为轴作轴对称； ④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称． A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 解析：(Ⅰ)对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图像在y轴右侧的部分与题图1的相同，不符合，故A错误； 对于B，y＝|f(x)|≥0恒成立，显然B错误； 对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图像在y轴左侧的部分应与题图1y轴右侧的部分关于原点对称，不符合，故D错误； 对于C，当x<0时，y＝f(－|x|)＝f(x)，其图像在y轴左侧的部分与题图1相同；当x>0时，y＝f(－|x|)＝f(－x)，其图像在y轴右侧的部分与题图1y轴左侧的图像关于y轴对称，符合题意．故选C. (Ⅱ)将函数y＝f(x－1)的图像向左平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图像．因为函数y＝f(x－1)是定义在R上的奇函数，所以函数y＝f(x－1)的图像关于原点对称，所以函数y＝f(x)的图像关于点(－1，0)对称，排除A，C，D.故选B. (Ⅲ)观察题图，可知函数f(x)具有周期性，且其图像是轴对称图形，不是中心对称图形，图像的对称轴与x轴垂直．故②④正确，①③错误．故选D. 2．函数图像的识别 a．由式识图 (3)(2020浙江，4分)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图像可能是(　A　) 　A　　　　　　　　　　　B 　C　　　　　　　　　　　D 解析：因为y＝f(x)＝xcosx＋sinx，x∈[－π，π]，所以f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，函数的图像关于原点对称，故排除C，D.当x＝π时，y＝f(π)＝πcosπ＋sinπ＝－π＜0，故排除B.故选A. (4)(2020山东日照模拟，5分)函数f(x)＝e|x|sin2x的部分图像大致是(　C　) 　　　 A　　　　　　　　　　　B 　　　 C　　　　　　　　　　D 解析：∵f(x)＝e|x|sin2x，x∈R, f(－x)＝e|－x|·sin(－2x)＝－e|x|sin2x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，故排除D.当x＝时，f(x)＝0，故排除B.当x∈时，y＝sin2x∈(0，1)，y＝ex∈(1，)，∴f(x)＝e|x|sin2x＜1，故排除A.故选C. (5)(2020山东模拟，5分)函数y＝的图像大致是(　A　) 　　 　A　　　　　　　　　　B 　　C　　　　　　　　　　　D 解析：函数y＝＝－的定义域为(0，＋∞)． 令t＝，t∈(1，＋∞)，则y＝－. 下面分析函数y＝－在t趋近于＋∞时(即函数y＝－在x趋近于0时)的变化趋势：当自变量t在(1，＋∞)内从小到大变化时，函数y＝lnt和y＝t2的函数值始终为正数，且y＝lnt的增长速度比y＝t2的增长速度慢(在(0，＋∞)上，对数函数的增长速度比幂函数的增长速度慢)，所以函数y＝－的函数值始终为负数且逐渐趋近于0 ，所以函数y＝在(0，1)内的函数值始终为负数且当x逐渐趋近于0时y逐渐趋近于0，故排除B，C.当x＝e时， y＝e3－e＞1，故排除D.故选A. b．由图辨式 (6)(2021浙江，4分)已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sinx，则图像为下图的函数可能是(　D　) A．y＝f(x)＋g(x)－ B．y＝f(x)－g(x)－ C．y＝f(x)g(x) D．y＝ 解析：根据图像可得，该函数为奇函数，由题可知函数f(x)＝x2＋为偶函数，函数g(x)＝sinx为奇函数． 对于A，y＝f(x)＋g(x)－＝x2＋sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图像不符，排除A. 对于B，y＝f(x)－g(x)－＝x2－sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图像不符，排除B. 对于C，y＝f(x)g(x)＝sinx，根据“偶函数×奇函数＝奇函数”，可得该函数为奇函数．对该函数求导可得y′＝2xsinx＋cosx，由于当x∈时，2xsinx>0， cosx>0，即y′＝2xsinx＋cosx>0，故函数在区间内单调递增，与给出的图像不符，排除C.故选D. (7)(2020北京通州区期末，4分)已知函数f(x)图像如图所示，那么该函数可能为(　B　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：对于选项A，函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，是非奇非偶函数，由题图可知函数f(x)为奇函数，故排除选项A；对于选项C，当x＞0时，f(x)＝，f ′(x)＝，所以函数f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，与图像不符，故排除选项C；对于选项D，当x∈(0，1)时，y＝lnx＜0，x2＞0，所以f(x)＞0，由题图可知当x∈(0，1)时， f(x)＜0，故排除选项D.故选B. c．与动点有关的函数图像问题 (8)(2023汇编，10分)如图，点P在以AB为直径的半圆弧上，且AB＝2，点P沿半圆弧按逆时针方向从点B运动到点A(不包含A，B两点)． ①将由，线段AP和线段AB围成的平面图形PAB的面积记为S.设的长为x，S＝f(x)，则f(x)的图像为(　A　) A　　　　　　　　　　　B 　　 　C　　　　　　　　　　　D ②记∠BAP＝α.将点P到A，B两点的距离之和表示为α的函数f(α)，则y＝f(α)的图像大致为(　D　) 　 A　　　 　 B　　　　　 C　　　 D 解析：①如图，设半圆的圆心为O，连接OP.根据题意可得OA＝1，的长为x，所以∠BOP＝x，x∈(0，π)，所以∠AOP＝π－x，所以S＝f(x)＝S△AOP＋S扇形BOP＝OA2·sin(π－x)＋x·OA＝(sinx＋x)．因为当x∈(0，π)时，S′＝(cosx＋1)≥0，S′＝(cosx＋1)单调递减，所以函数S＝f(x)的图像上各点处的切线的斜率始终大于等于0，且随着自变量x的增大而逐渐减小．故选A. ②因为AB是直径，所以∠APB＝90°，所以在Rt△ABP中，PA＝2cosα，PB＝2sinα，所以y＝f(α)＝PA＋PB＝2cosα＋2sinα＝2sin，选项D中图像符合题意，故选D. 3．函数图像的应用 a．利用函数的图像解不等式 (9)(2021浙江期中，4分)如图所示，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　C　) A．{x|－1<x≤0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2} 解析：由题意已知f(x)的图像，在此坐标系内作出y＝log2(x＋1)的图像：首先画出y＝log2x的图像，然后向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图像． ∵函数y＝log2x的图像经过点(1，0)，(2，1)，渐近线为x＝0，∴y＝log2(x＋1)的图像经过点(0，0)，(1，1)，渐近线为x＝－1.又∵线段BC经过点(1，1)，∴点(1，1)即为两函数图像的交点，∴不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1<x≤1}．故选C. (10)(2021四川成都期中，5分)已知奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　D　) A．(－2，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：因为f(x)在定义域上为奇函数， 所以>0，即＝>0，所以或 由题可知f(x)的大致图像，如图所示： 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D. b．利用函数的图像比较大小 (11)(2020天津和平区三模，5分)设正实数a，b，c分别满足a·2a＝1，blog2b＝1，clog3c＝1，则a，b，c的大小关系为(　C　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b 解析：由a·2a＝1得2a＝，由blog2b＝1得log2b＝，由clog3c＝1得log3c＝，所以函数y＝2x与y＝的图像的交点的横坐标为a，函数y＝log2x与y＝的图像的交点的横坐标为b，函数y＝log3x与y＝的图像的交点的横坐标为c.在同一平面直角坐标系中，作出函数 y＝2x，y＝，y＝log2x，y＝log3x的图像，如图所示，所以c＞b＞a.故选C. (12)(多选)(2020山东日照模拟，5分)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是(　ACD　) A．x＝y　 　B．1＜x＜y　 　C．0＜x＜y＜1　 　D．y＜x＜0 解析：因为实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，所以4x＋5x＝5y＋4y. 设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，易得函数f(x)，g(x)都是增函数，f(0)＝g(0)＝1，f(1)＝g(1)＝9. 令h(x)＝g(x)－f(x)＝5x－4x－x，则h′(x)＝5xln5－4xln4－1＝4x. 令φ(x)＝xln5－ln4－，显然φ(x)单调递增，且φ(0)＝ln5－ln4－1＝ln<0， φ(1)＝×ln5－ln4－＝>0，所以φ(x)存在唯一的零点x0，且x0∈(0，1)，所以当x<x0时，φ(x)<φ(x0)＝0，此时h′(x)＝4xφ(x)<0，故h(x)单调递减；当x>x0时，φ(x)>φ(x0)＝0，此时h′(x)＝4xφ(x)>0，故h(x)单调递增． 又因为h(0)＝h(1)＝0，所以当且仅当x∈(0，1)时，h(x)<0，即g(x)<f(x)，所以g(x)和f(x)的大致图像如图所示． 作一条直线y＝m，与f(x)，g(x)的图像分别交于点(x0，f(x0))，(y0，g(y0))． ①当m＜1时，y0<x0<0，即y＜x＜0，所以D选项正确； ②当m＝1或9时，y0＝x0＝0或y0＝x0＝1，所以A选项正确； ③当1＜m＜9时，0＜x0＜y0＜1，所以C选项正确； ④当m＞9时，1＜y0＜x0，所以综合①②③④可知B选项不正确．故选ACD. c．利用函数的图像研究函数的性质 (13)(2021甘肃二模，5分)关于函数f(x)＝ln|x＋1|＋ln|x－1|有下列结论，正确的是(　D　) A．函数f(x)的图像关于原点对称 B．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称 C．函数f(x)的最小值为0 D．函数f(x)的增区间为(－1，0)，(1，＋∞) 解析：f(x)＝ln|x＋1|＋ln|x－1|＝ln|x2－1|. 由解得x≠±1，所以函数的定义域为{x|x≠±1}． 因为f(－x)＝ln|x2－1|＝f(x)，所以函数为偶函数，而A选项等价于f(x)是奇函数，故A错误． 因为f(0)＝ln|－1|＝0，f(2)＝ln3，所以f(0)≠f(2)，则f(x)的图像不关于直线x＝1对称，故B错误． 因为 |x2－1|∈(0，＋∞)，所以f(x)∈R，无最小值，故C错误． 令t＝|x2－1|，画出其图像如图所示： 所以函数t＝|x2－1|在(－∞，－1)，(0，1)上单调递减，在(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增． 又y＝lnt在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．故D正确．故选D. d．利用函数的图像研究不等式恒成立问题 (14)(2019全国Ⅱ，5分)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　B　) A. B. C. D. 解析：由题可知，当x∈(－1，0]时，x＋1∈(0，1]，f(x)＝f(x＋1)＝x(x＋1)∈.易知当x≤－1时，f(x)>－. 当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)∈； 当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1], f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)·(x－2)∈；　 当x∈(2，3]时，x－2∈(0，1], f(x)＝2f(x－1)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)∈[－1，0]． 如图，画出函数f(x)在(－1，3]上的图像． 由图可知，当x∈时，f(x)是减函数，令4(x－2)(x－3)＝－，解得x＝或x＝(舍)． 因为对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，所以m≤.故选B. (15)(2021全国Ⅰ，10分)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|. (Ⅰ)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图像； 答案：图像见解答过程 解：由题可得f(x)＝|x－2|＝ g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|＝ 画出函数图像如下： (5分) (Ⅱ)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围． 答案： 解：f(x＋a)＝|x＋a－2|.y＝f(x＋a)的图像是y＝f(x)的图像向左或向右平移|a|个单位长度得到的，要使f(x＋a)≥g(x)对任意x恒成立，需将y＝f(x)向左平移，即a>0.当|a|最小时，画出函数y＝f(x＋a)图像的示意图如图所示， 此时折线y＝f(x＋a)过A，则＝4，解得a＝或－(舍去)， 故需将y＝f(x)的图像向左至少平移个单位长度， 故a的取值范围为.(10分) 随堂普查练11 1．(2020天津二模，5分)已知函数f(x)＝e|lnx|，则函数y＝f(x＋1)的大致图像是(　D　) 　 A　　　　　　　　　　　B 　 C　　　　　　　　　　　D 解析：函数f(x)＝e|lnx|的定义域为{x|x>0}．当x≥1时，f(x)＝elnx＝x，函数的图像为以点(1，1)为起点，斜率为1的射线； 当0<x<1时，f(x)＝e－lnx＝＝，f(x)单调递减，f(x)>＝1. 函数y＝f(x＋1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度得到的，结合选项可知D正确．故选D. 2．(2020天津，5分)函数y＝的图像大致为(　A　) 　　 　A　　　　　　　　　　B 　　　 C　　　　　　　　　　D 解析：因为函数y＝f(x)＝的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故排除C，D；当x＞0时，y＝f(x)＝>0，故排除B.故选A. 3．(2021河南月考，5分)已知函数f(x)＝sin2x，g(x)＝ex，则下图对应的函数可能为(　D　) A．y＝f＋g(lnx2) B．y＝f＋g(ln|x|) C．y＝f＋g(lnx3) D．y＝f＋g(ln|x|) 解析：A选项：y＝f＋g(lnx2)＝sin(2x－)＋x2＝－cos2x＋x2，其图像关于y轴对称，当x逼近0时，y逼近－1，不符合题意； B选项：y＝f＋g(ln|x|)＝sin(2x－π)＋|x|＝－sin2x＋|x|，其图像不关于y轴对称，不符合题意； C选项：y＝f＋g(lnx3)＝sin＋x3＝cos2x＋x3，其图像不关于y轴对称，不符合题意．故选D. 4．(2020浙江温州期中，4分)如图，在△OAB中，A(4，0)，B(2，4)，过点P(a，0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q.记四边形OPQB的面积为S(a)，则函数y＝S(a)的大致图像是(　D　) 　 A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 解析：(法一)由题意易得直线l的斜率为2，所以设直线l的方程为y＝2(x－a)．根据两点式可得直线AB的方程为＝，即y＝－2x＋8.联立直线l和AB的方程得解得即点Q，0＜a＜4.由题意可知四边形OPQB为梯形，面积S(a)＝×4×4－×(4－a)2＝－×(4－a)2＋8，0＜a＜4，结合各选项可知D正确．故选D. (法二)记△OAB的面积为t，则t是定值，且为正． 因为l∥OB，所以＝＝，所以S△APQ＝， 所以S(a)＝t－S△APQ＝t－＝－(a－4)2＋t，　 所以S(a)的图像是一个开口向下的抛物线的一部分．故选D. 5．(2021北京西城区期中，4分)如图为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像，则不等式f(x)·g(x)<0的解集为(　D　) 　 A．(－∞，－1)∪(－1，0) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：f(x)·g(x)<0⇔或 由图可知，不等式的解集为(0，1)∪(1，＋∞)．故选D. 6．(经典题，5分)如图，点O为坐标原点，点A坐标为(1，1)．若函数y＝ax(a＞0，且a≠1)及y＝logbx(b＞0，且b≠1)的图像与线段OA分别交于点M，N，且M点在N点左侧，则a，b满足(　A　) A．a<b<1 B．b<a<1 C．b>a>1 D．a>b>1 解析：由图像知函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logbx(b＞0，且b≠1)均单调递减，故0<a<1，0<b<1.作y＝ax的图像关于直线OA对称的图像，即y＝logax的图像．对于y＝logax，当y＝1时，x＝a；对于函数y＝logbx，当y＝1时，x＝b，如图所示．由图可知a＜b＜1，故选A. 7．(2021贵州遵义月考，5分)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2＋x)＝f(x)，当x∈[1，2]时，f(x)＝2－x.给出下列四个结论：①f(x)的图像关于直线x＝1对称；②f(x)在(1，3)上单调递减；③f(x)的值域为[－1，1]；④y＝f(x)－log3|x|有4个零点．其中正确结论的序号是(　A　) A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③ 解析：因为f(x)为偶函数，且当x∈[1，2]时，f(x)＝2－x，所以当x∈[－2，－1]时，f(x)＝2＋x.又因为f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)周期为2，所以当x∈[0，1]时，f(x)＝x；当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x.故可画出f(x)的图像，如图所示： 由图可知，f(x)的图像关于直线x＝1对称，f(x)在(1，3)上先减后增，f(x)的值域为[0，1]，故①正确，②③错误．在同一直角坐标系下画出y＝log3|x|的图像，由图可知，y＝f(x)与y＝log3|x|的图像有4个交点，即y＝f(x)－log3|x|有4个零点，故④正确．故选A. 8．(2020河南安阳月考，5分)已知函数f(x)＝若f(x)≥ax－对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　C　) A. B. C. D. 解析：在平面直角坐标系中作出y＝f(x)的图像，直线y＝ax－恒过定点，如图所示． 由图可知，当x>0时，ax－≤ln(x＋1)恒成立的条件是a≤0； 当x≤0时，ax－≤－x3的临界状态是直线y＝ax－与曲线y＝－x3相切． 设切点为(x0，－x)，可得f′(x0)＝－3x，则＝－3x，解得x0＝－， 此时a＝－3×2＝－，所以若ax－≤－x3在x∈(－∞，0]上恒成立，则a∈. 综上所述，若f(x)≥ax－对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为.故选C. 课后提分练11　函数的图像与变换 A组(巩固提升) 1．(2019全国Ⅲ，5分)函数y＝在[－6，6]上的图像大致为(　B　) A B C D 解析：设y＝f(x)＝，则f(1)＞0,f(－1)<0，所以排除选项C，D. 又f(4) ＝＝≈8，排除A.故选B. 2．(2021江苏南通模拟，5分)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图像大致是(　B　) A B C D 解析：当x＞0时，f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1， 令f′(x)＝0，解得x＝，所以当0＜x＜时， f′(x)<0，f(x)单调递减；x＞时，f′(x)>0，f(x)单调递增．当x≤0时，f(x)＝，f′(x)＝，所以当x≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．作出函数f(x)的大致图像，如图： 因为f(1－x)的图像是将f(x)的图像先关于y轴作对称，再向右平移一个单位长度得到的，故根据f(x)的图像，可知选项B正确．故选B. 3．(经典题，5分)将函数f(x)的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图像，则f(x)可能是下列函数中的(　B　) A．y＝ B．y＝ C．y＝x＋ D．y＝log2(x＋1)＋1 解析：A.将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数y＝的图像，易知 y＝的定义域不关于原点对称，不是奇函数，不满足条件，故A错误； B．将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数y＝的图像，y＝为奇函数，满足条件，故B正确； C．将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数y＝x＋1＋的图像，当x＝0时，y＝3，所以函数y＝x＋1＋不是奇函数，不满足条件，故C错误； D．将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数y＝log2(x＋2)＋1的图像，定义域不关于原点对称，不是奇函数，故D错误．故选B. 4．(2020天津河北区一模，5分)已知函数f(x)的图像如图所示，则该曲线所对应的函数可能是(　C　) A．f(x)＝ B．f(x)＝2|x|－2 C．f(x)＝2|x|－x2 D．f(x)＝e|x|－|x| 解析：由函数图像可知，f(x)为偶函数，而选项A中的函数为奇函数，故可排除选项A；由函数图像可知，f(0)＞0，而选项B中f(0)＝－1＜0，故可排除选项B；当x＞0时，函数图像与x轴有两个交点，而选项D中，当x≥0时，f(x)＝e|x|－|x|＝ex－x＝0等价于ex＝x，因为e0>0，且函数y＝ex的增速大于y＝x的增速，所以ex>x，故方程ex＝x无解，故可排除选项D.故选C. 5．(2020河北石家庄一模，5分)某函数的部分图像如图，则下列选项中可以作为该函数的解析式的是(　C　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：由图像可知，对任意的x∈R，y≥0，故排除A，B选项； 函数的一个零点在(0，1)上，而D选项，当x>0，函数值为0时，最小的x＝>1，与图像矛盾．故排除D选项．故选C. 6．(2021河南商丘联考，5分)如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A的方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动．点M与点N同时出发，记运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N共线时其面积为零)，则点M第一次到达点A时，y＝f(t)的图像为(　A　) A B C D 解析：根据题意， 当0≤t≤1时，△AMN的面积为f(t)＝·2t·t＝t2； 当1<t≤2时，△AMN的面积为f(t)＝×2·[t－(2t－2)]＝2－t； 当2<t≤3时，△AMN的面积为f(t)＝×2·[(2t－4)－(t－2)]＝t－2； 当3<t≤4时，△AMN的面积为f(t)＝·[2－(2t－6)][2－(t－2)]＝(4－t)2. 所以f(t)＝故选A. 7．(2023改编，5分)已知正数a，b，c满足log3a＝a，＝b，＝c＋1，则(　C　) A．b<a<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b 解析：分别作出函数y＝log3x，y＝x，y＝，y＝x＋1的图像，则a，b，c的位置分别是对应两个函数图像的交点，由图像知c<b<a，故选C. 8．(2021湖南荆州期中，5分)函数f(x)＝的图像如图，则f(x)≤m－2n的解集为(　D　) A. B. C. D．(－1，1) 解析：由图可知，函数的定义域为{x|x≠±1}，而由f(x)的解析式可知|x|－m≠0，即|x|≠m，所以m＝1.又因为图像经过点(0，－1)，所以f(0)＝＝＝－1，所以n＝1，故不等式f(x)≤ m－2n，即为f(x)≤1－2＝－1，由图可知，该不等式的解集为(－1，1)．故选D. 9．(经典题，5分)已知函数f(x)＝若对任意x1，x2∈R，0<|x1|<|x2|，则下列不等式成立的是(　D　) A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0 C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0 解析：如图，画出分段函数f(x)的图像．由图可知函数f(x)的图像关于y轴对称，即f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增．又0<|x1|<|x2|，所以f(|x2|)>f(|x1|)．因为f(x)是偶函数，所以f(|x|)＝f(x)，所以f(|x2|)>f(|x1|)等价于f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.故选D. 10．(多选)(2023改编，5分)已知函数f(x)＝，则(　ABD　) A．y＝f(x)在(1，2)上单调递减 B．y＝f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4 C．y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图像关于点(1，2)对称 解析：因为函数f(x)＝＝＝x－1＋＋2，所以函数y＝f(x)的图像可以由对勾函数y＝x＋的图像先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示．由图可知函数y＝f(x)在(1，2)上单调递减，故A正确； y＝f(x)在(1，＋∞)的最小值为4，故B正确； y＝f(x)的图像没有对称轴，故C错误；y＝f(x)的图像关于点(1，2)对称，故D正确． 故选ABD. 11．(2021浙江月考，4分)若关于x的不等式4x－logax≤在x∈时恒成立，则实数a的取值范围是(　A　) A. B. C. D. 解析：由题意可知，关于x的不等式4x－≤logax在x∈时恒成立，所以当x∈时，函数y＝4x－的图像不在y＝logax图像的上方． 作出符合题意的图像，如图所示： 由图可知解得≤a<1.故选A. 12．(2021吉林白山三模，5分)如图，函数f(x)的图像由一条射线和抛物线的一部分构成，f(x)的零点为－.若不等式f(x＋a2)≥f(x)(a≠0)对x∈R恒成立，则a的取值范围是(　A　) A.∪ B．(－∞，－]∪[，＋∞) C.∪ D.∪ 解析：当x<1时，设f(x)＝kx＋b，因为其图像过点(1，2)和， 所以解得k＝，b＝，即f(x)＝x＋； 当x≥1时，设f(x)＝t(x－2)2＋1(t>0)，代入点(1，2)得，t＝1， 即f(x)＝(x－2)2＋1，所以f(x)＝ y＝f(x＋a2)的图像是由y＝f(x)的图像向左平移a2个单位长度得到的． 因为f(x＋a2)≥f(x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x＋a2)的图像恒在y＝f(x)图像的上方． 易知当直线y＝x＋与y＝f(x＋a2)(x＋a2>1)的图像相切时，a2取得最小值，如图所示： 令g(x)＝f(x＋a2)(x＋a2≥1)，则g(x)＝(x＋a2－2)2＋1＝x2＋2(a2－2)x＋(a2－2)2＋1， g′(x)＝2x＋2(a2－2)， 因为g(x)的图像与直线y＝x＋相切，所以2x＋2(a2－2)＝，解得x＝－a2， 所以y＝＋＝－a2. 将切点代入g(x)＝(x＋a2－2)2＋1，得－a2＝2＋1，得a2＝，所以a2≥，解得a≥或a≤－.故选A. 13．(2020全国模拟，5分)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥mx恒成立，则实数m的取值范围为(　A　) A．[2－2，2] B．[2－2，1] C．[2－2，e] D．[2－2，e] 解析：作出函数|f(x)|的图像，如图所示． 若曲线y＝|f(x)|和直线y＝mx相切，则： 当x≤0时，令x2＋2x＋2＝mx，即x2＋(2－m)x＋2＝0，由Δ＝(2－m)2－8＝0，解得 m＝2±2，结合图像可知m＝2－2； 当x>0时，设f(x)＝e2x－1的图像与直线y＝mx的切点为(x0，)， 求导得f′(x)＝2e2x，则解得 观察图像可知，实数m的取值范围为[2－2，2]．故选A. B组(冲刺满分) 14．(2020江西鹰潭二模，5分)已知f(x)＝若f((m－1)f(x))－2≤0在定义域上恒成立，则m的取值范围是(　C　) A．(0，＋∞) B．[1，2) C．[1，＋∞) D．(0，1) 解析：∵f(x)＝ ∴当－1＜x≤0时，|log3(x＋1)|∈[0，＋∞)，当0＜x＜8时，|log3(x＋1)|∈(0，2)； 当x∈(－1，0)时，f(x)＝|log3(x＋1)|单调递减，当x∈(0，8)时，f(x)单调递增，且当x＝－时，f(x)＝2； 当x≥8时，f(x)＝单调递减，且f(x)∈(0，2]． 画出函数f(x)的大致图像，如图所示． 若f((m－1)f(x))－2≤0在定义域上恒成立，则f((m－1)f(x))≤2，∴(m－1)f(x)≥－恒成立． 当f(x)＝0时，m∈R； 当f(x)>0时，m－1≥，而<0，∴m－1≥0，解得m≥1. 综上所述，m的取值范围是[1，＋∞)．故选C. 15．(多选)(2020山东济南二模，5分)已知实数x，y，z满足lnx＝ey＝，则下列关系式中可能成立的是(　ABC　) A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．z＞x＞y D．z＞y＞x 解析：实数x，y，z满足lnx＝ey＝，画出函数y＝lnx，y＝ex和y＝的图像，分别作出与x轴平行且与三个函数图像都相交的直线，如图所示．因为实数x，y，z满足lnx＝ey＝，所以由最下面的直线与三个函数图像的交点可得z＞x＞y；由中间的直线与三个函数图像的交点可得x＞z＞y；由最上面的直线与三个函数图像的交点可得x＞y＞z.故选ABC. 16．(经典题，5分)已知f(x)＝cos(2x＋α)，当α∈[0，π]时，f(x)的图像不可能是(　A　) A B C D 解析：由选项中图像可知，函数图像关于y轴或坐标原点对称，所以f(x)为偶函数或奇函数． 若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)， 即cos(－2x＋α)＝cos(2x＋α)， 即cos(2x－α)＝cos(2x＋α)， 即(3x－1)[cos(2x－α)＋cos(2x＋α)]＝0. 上式对任意x∈R恒成立，所以cos(2x－α)＋cos(2x＋α)＝0，即cos2xcosα＝0，所以 cosα＝0. 因为α∈[0，π]，所以α＝. 同理可证，当f(x)为奇函数时，sinα＝0，此时α＝0或π. 故α的值可能为0，或π. ①若α＝0，则函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称． 令f(x)＝cos2x＝0，解得x＝0或x＝＋，k∈Z，所以0，与是f(x)相邻的三个零点．当0<x<时，<0，cos2x>0，所以f(x)<0，故D选项符合． ②若α＝，则函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称． 令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝，k∈Z，所以0，与π是f(x)相邻的三个零点．当0<x<时，>0，sin2x>0，所以f(x)>0，故B选项符合． ③若α＝π，则函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称． 令f(x)＝cos2x＝0，解得x＝0或x＝＋，k∈Z，所以0，与是f(x)相邻的三个零点．当0<x<时，>0，cos2x>0， 所以f(x)>0，故C选项符合． 综上所述，不可能的是A选项．故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$