第10课 对数与对数函数-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第10课 对数与对数函数 普查与练习10　　　　对数与对数函数 1．对数式的化简与求值 (1)(天津经典真题，5分)若2a＝5b＝10，则＋＝(　　) A．－1 B．lg7 C．1 D．log710 解析：2a＝5b＝10，则a＝log210，b＝log510， 所以＋＝＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1. 故选C. (2)(全国甲经典真题，5分)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(　　)(≈1.259) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 解析：由L＝5＋lgV得，当L＝4.9时，lgV＝－0.1， 则V＝10－0.1＝10－＝≈≈0.8.故选C. (3)(2025汇编，35分)完成下列各题． ①＝________． ②lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2)2＋lg＋lg0.06＝________． ③log625·log5216＝________． ④化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　)(2022天津真题) A．1 B．2 C．4 D．6 ⑤已知lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，则log＝________．　 ⑥已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＋＝b，则a＋b＝________． ⑦＝________． 解析：①原式＝＝ ＝＝＝＝. ②原式＝lg5×(3lg2＋3)＋3×(lg2)2＋lg(×0.06) ＝3lg5×lg2＋3lg5＋3×(lg2)2－2 ＝3lg2＋3lg5－2 ＝1. ③log625·log5216＝log6216·log525＝log663·log552＝3×2＝6. ④(法一)(2log43＋log83)(log32＋log92) ＝ ＝ ＝··· ＝2.故选B. (法二)(2log43＋log83)(log32＋log92) ＝(log32＋) ＝ ＝log23·log32 ＝2.故选B. ⑤∵lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)， ∴解得＝， ∴log＝log＝2. ⑥∵4a＝8，2m＝9n＝6， ∴a＝log48＝log22＝，m＝log26，n＝log96， ∴＝log62，＝log69， ∴b＝＋＝log62＋log69＝log62＋log63＝1， ∴a＋b＝. ⑦原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 2．对数函数的图像及性质 a．对数型函数图像恒过定点问题 (4)(四川成都三模，5分)已知函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，过定点A的直线l：mx＋ny＝1与坐标轴的正半轴相交，则mn的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析：已知l：mx＋ny＝1，即y＝－x＋. ∵直线l与坐标轴的正半轴相交， ∴－<0，>0，∴m>0，n>0. 令x－1＝1，即x＝2，得f(2)＝1， 则A(2，1)，则2m＋n＝1， ∴1＝2m＋n≥2，∴mn≤， 当且仅当2m＝n，即m＝，n＝时，等号成立． 故选C. b．辨析与对数函数有关的函数图像 (5)(内蒙古通辽模拟，5分)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图像是(　　) A B C D 解析：因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，即k－1－1＝0，解得k＝2，经检验，k＝2时，f(x)＝ax－a－x为奇函数． 又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，所以g(x)＝loga|x＋2|在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，其大致图像为B.故选B. c．利用对数函数的图像与性质求值或取值范围　　　　　　　　　　　 (6)(2025改编，5分)函数f(x)＝2x－－2lnx的最小值为________． 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝2x－，y2＝2lnx的图像，如图所示： 设点M(x0，y0)是y2＝2lnx图像上的任意一点， 则在该点处的切线方程为y＝(x－x0)＋y0. 令＝2，得x0＝1，因此，函数y2＝2lnx的图像在点(1，0)处的切线与直线y1＝2x－平行，∴f(x)min＝2x0－－2lnx0＝2×1－－2ln1＝.故函数f(x)的最小值为. (7)(辽宁大连模拟，5分)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x∈[0，2]时的解析式为f(x)＝则函数y＝f(x)在x∈[0，4]时的图像与直线y＝－1围成的封闭图形的面积是(　　) A．2 B．2log23 C．4 D．4log23 解析：∵f(4－x)＝f(x)，∴f(x)的图像关于直线x＝2对称． ∵f(x)＝∴当x∈[0，2]时，f(x)的图像关于点(1，0)对称． 又∵f(0)＝f(4)＝－1，f(2)＝1，∴当x∈[0，4]时，函数f(x)及y＝－1的图像如下，两图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示． 根据图像的对称性，可将顶点分别为A，B，C和A，C，D的曲边三角形分别相补到顶点为F，B，O和H，E，D的曲边三角形处，∴函数y＝f(x)在x∈[0，4]上的图像与直线y＝－1围成的封闭图形的面积即为由x轴、y轴、直线y＝－1和直线x＝4所围成的矩形的面积，为4.故选C. d．利用对数函数的图像与性质比较大小 (8)(2025汇编，25分)按要求完成下列各题． (Ⅰ)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b (Ⅱ)已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，则实数a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b (Ⅲ)已知2a＝6，3b＝12，4c＝20，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a (Ⅳ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)(全国Ⅲ经典真题) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b (Ⅴ)若a＞b＞c>1且ac＜b2，则(　　) A．logab＞logbc＞logca B．logcb＞logba＞logac C．logbc＞logab＞logca D．logba＞logcb＞logac 解析：(Ⅰ)∵a＝log2e>1，b＝ln2<lne＝1， c＝log＝·log23＝log23>log2e＝a， ∴c>a>b.故选D. (Ⅱ)a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72.∵y＝log2x是增函数，∴log27>log25>log23>0.∵log27＝，log25＝，log23＝，∴log32>log52>log72, ∴a>b>c.故选A. (Ⅲ)∵2a＝6，3b＝12， ∴a＝log26＝1＋log23>1＋log22＝1＋＝， b＝log312＝1＋log34<1＋log33＝1＋＝， ∴a>b. ∵4c＝20，∴c＝log420＝1＋log45， ∴b－c＝log34－log45＝－＝. ∵lg3lg5<2＝<＝lg24， ∴b－c>0，∴b>c，∴a>b>c.故选A. (Ⅳ)∵a＝log32＝log3<log3＝＝， b＝log53＝log5>log5＝＝，c＝， ∴a＜c＜b.故选A. (Ⅴ)(法一)∵a＞b＞c>1，∴logab＜logaa＝1＝logcc＜logca，故A，C错误． ∵a＞b＞c>1，∴logba＞logbb＝1＝logaa>logac. 又∵logcb－logba＝－＝ >＝ >＝＝0， ∴logcb＞logba，∴logcb＞logba＞logac，故B正确，D错误．故选B. (法二)∵a＞b＞c>1且ac<b2，∴不妨设a＝16，b＝8，c＝2，则logca＝log216＞1＞log168＝logab，故A，C错误；logcb＝log28＝3>log816＝＝logba，故D错误．故选B. e．利用对数函数的图像与性质解方程或不等式 (9)(河南模拟，5分)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________． 解析：因为f(x)＝log2(x2＋a)，所以f(3)＝log2(9＋a)＝1＝log22，所以9＋a＝2，即a＝－7. (10)(2025汇编，10分)设函数f(x)＝，则 (Ⅰ)不等式f(log2x)＋f()≥－2的解集为________． (Ⅱ)满足不等式f(2x－1)<－1的x的取值范围为________． 解析：(Ⅰ)∵f(－x)＝log(x2＋1)＝f(x)，且f(x)的定义域为R，关于原点对称，∴f(x)为R上的偶函数．设z＝x2＋1，则g(z)＝logz.易知 z＝x2＋1在区间[0，＋∞)上单调递增，g(z)＝logz在区间(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．令t＝log2x，则logx＝－t，∴不等式f(log2x)＋f(logx)≥－2可化为f(t)＋f(－t)≥－2.又∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－t)＝f(t)，∴2f(t)≥－2，∴f(t)≥－1.又∵f(1)＝log2＝－1，∴f(t)≥f(1)．∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(x)在R上为偶函数，∴|t|≤1，即－1≤t≤1，即－1≤log2x≤1，∴≤x≤2， ∴不等式f(log2x)＋f(logx)≥－2的解集为. (Ⅱ)由(Ⅰ)知函数f(x)＝log(1＋x2)在[0，＋∞)上单调递减，且f(x)在R上为偶函数，f(1)＝－1，∴不等式f(2x－1)<－1，即f(|2x－1|)<f(1)，等价于|2x－1|>1，即2x－1>1或2x－1<－1，解得x>1或x＜0，∴x的取值范围为(－∞，0)∪(1，＋∞)． f．反函数及其性质的应用 (11)(山东济南模拟，5分)已知a是方程x＋lgx＝4的根，b是方程x＋10x＝4的根，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋(a＋b－4)x.若对任意x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．[2，＋∞) C．(0，2] D．[－，－1]∪[，] 解析：由x＋lgx＝4，x＋10x＝4可得lgx＝4－x，10x＝4－x， ∴a，b分别为曲线y＝lgx，y＝10x与直线y＝4－x的交点的横坐标． ∵y＝lgx与y＝10x互为反函数，∴它们的图像关于直线y＝x对称． 又∵直线y＝4－x与y＝x垂直，∴曲线y＝lgx，y＝10x与直线y＝4－x的交点关于直线y＝x对称． 令4－x＝x，得x＝2，∴a＋b＝2×2＝4， ∴当x≥0时，f(x)＝x2. 又∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(x)＝在R上单调递增， ∴f(x＋t)≥2f(x)＝f(x)等价于x＋t≥x， ∴t≥(－1)x在[t，t＋2]上恒成立， ∴t≥(－1)(t＋2)，解得t≥，即t的取值范围是[，＋∞)．故选A. g．对数型复合函数的有关问题 (12)(2025改编，12分)已知函数f(x)＝loga·，a>0，a≠1. (Ⅰ)当a＝2时，求函数f(x)的最小值； (Ⅱ)若∀x∈[2，4]，f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围． 解：(Ⅰ)由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f(x)＝(logax－2)·()＝(logax－2)·(logax＋1)＝(logax)2－logax－2. 当a＝2时，因为f(x)＝(log2x)2－log2x－2＝2－，所以当log2x＝，即x＝时，函数f(x)取得最小值，最小值为－.(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)＝(logax)2－logax－2. 因为∀x∈[2，4]，f(x)≥4恒成立， 所以∀x∈[2，4]，(logax)2－logax－2≥4恒成立， 即(logax)2－logax－6≥0， 解得logax≥3或logax≤－2.(8分) 当0＜a＜1时，a3≥x或≤x. 又x∈[2，4]，所以a3≥xmax＝4或≤xmin＝2， 解得a≥或a≥，所以≤a<1.(10分) 当a>1时，a3≤x或≥x. 又x∈[2，4]，所以a3≤xmin＝2或≥xmax＝4， 解得a≤或a≤，所以1<a≤. 综上所述，实数a的取值范围为∪(1，]．(12分) (13)(2025汇编，33分)已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)． (Ⅰ)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (Ⅱ)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围； (Ⅲ)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值； (Ⅳ)若函数f(x)在[－1，＋∞)上有意义，求实数a的取值范围； (Ⅴ)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值； (Ⅵ)若a＝1，求函数f(x)的单调区间； (Ⅶ)若函数f(x)在区间(－∞，1]上单调递增，求实数a的取值范围； (Ⅷ)若f(x)>0在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围； (Ⅸ)若函数f(x)为偶函数，求a的值； (Ⅹ)当a＝时，解不等式f≤x. 解：设u(x)＝x2－2ax＋3. (Ⅰ)由f(x)的定义域为R，知x2－2ax＋3>0的解集为R，则Δ＝4a2－12<0，解得－<a<，所以实数a的取值范围为(－，)．(3分) (Ⅱ)函数f(x)的值域为R等价于u(x)＝x2－2ax＋3取遍(0，＋∞)上的值，所以只要u(x)min＝u(a)＝3－a2≤0即可，解得a≤－或a≥， 所以实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．(6分) (Ⅲ)因为f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)． 又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，所以u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.(9分) (Ⅳ) 由f(x)在[－1，＋∞)上有意义，知u(x)＝x2－2ax＋3>0对x∈[－1，＋∞)恒成立．因为y＝u(x)图像的对称轴为直线x＝a，所以当a<－1时，u(x)min＝u(－1)>0，即 解得－2<a<－1； 当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2>0，即－<a<，所以－1≤a<. 综上所述，实数a的取值范围为(－2，)．(12分) (Ⅴ)因为函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以u(x)＝x2－2ax＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以方程x2－2ax＋3＝0有两个实根x1＝1，x2＝3.由x1＋x2＝2a得a＝2.(15分) (Ⅵ)当a＝1时， f(x)＝log(x2－2x＋3)．又x2－2x＋3>0恒成立，所以函数f(x)的定义域为R. 因为y＝logx为减函数，y＝x2－2x＋3在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(18分) (Ⅶ)因为y＝logx为减函数，且函数f(x)在区间(－∞，1]上单调递增，所以u(x)＝x2－2ax＋3在区间(－∞，1]上单调递减，所以a≥1且u(1)＝4－2a＞0，解得1≤a＜2，所以实数a的取值范围为[1，2)．(21分) (Ⅷ)因为f(x)>0在区间[1，2]上恒成立， 所以0＜x2－2ax＋3<1在区间[1，2]上恒成立． 因为抛物线y＝u(x)的对称轴为直线x＝a， 所以(ⅰ)当a≤1时，u(x)在区间[1，2]上单调递增，所以u(x)在区间[1，2]上的最小值为4－2a，最大值为7－4a.要使0＜x2－2ax＋3<1在区间[1，2]上恒成立，则不等式组无解． (ⅱ)当a≥2时，u(x)在区间[1，2]上单调递减，所以u(x)在区间[1，2]上的最大值为4－2a，最小值为7－4a.要使0＜x2－2ax＋3<1在区间[1，2]上恒成立，则不等式组无解． (ⅲ)当≤a＜2时，u(x)在区间[1，2]上的最大值为4－2a，最小值为3－a2，则 解得<a<. (ⅳ)当1＜a＜时，u(x)在区间[1，2]上的最大值为7－4a，最小值为3－a2，则不等式组无解． 综上，a的取值范围为.(27分) (Ⅸ)因为函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即log(x2－2ax＋3)＝log(x2＋2ax＋3)，解得a＝0. 经验证，当a＝0时， f(x)是定义域为R的偶函数，符合题意，所以a的值为0.(30分) (Ⅹ)当a＝时，f(x)＝log(x2－3x＋3)， ∴f≤x，即log(2－2x－3·2－x＋3)≤x， 即2－2x－3·2－x＋3≥2－x， 整理得(2－x－3)(2－x－1)≥0，即2－x≤1或2－x≥3， 解得x≥0或x≤－log23. 故不等式的解集为(－∞，－log23]∪[0，＋∞)．(33分) 3．指数函数、对数函数、幂函数的综合 (14)(2025汇编，20分)①若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)(全国Ⅰ经典真题) A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2 ②设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　)(天津经典真题) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b ③已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)(2022全国甲真题) A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a ④已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)(全国Ⅲ经典真题) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：①设f(x)＝2x＋log2x，易知f(x)为增函数．因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－[22b＋log2(2b)]＝22b＋log2b－[22b＋log2(2b)]＝log2＝－1<0，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b，故A错误，B正确． f(a)－f(b2)＝2a＋log2a－(＋log2b2)＝22b＋log2b－(＋log2b2)＝22b－－log2b，当b＝1时，f(a)－f(b2)＝2＞0，此时f(a)>f(b2)，a＞b2；当b＝2时，f(a)－f(b2)＝－1＜0，此时f(a)＜f(b2)，a＜b2，所以C，D错误．故选B. ②因为函数y＝log2x在定义域上单调递增， 所以a＝log20.3<log21＝0. 因为函数y＝logx在定义域上单调递减， 所以b＝log0.4>log＝1. 因为函数y＝0.4x在定义域上单调递减， 所以0<c＝0.40.3<0.40＝1. 综上，a<0<c<1<b，即a<c<b.故选D. ③由9m＝10可得m＝log910＝>1. 因为lg9lg11<2＝2＝2<1＝(lg10)2，所以>，即m>lg11， 所以a＝10m－11>10lg11－11＝0. 因为lg8lg10<2＝2<(lg9)2， 所以>，即log89>m，所以b＝8m－9<8log89－9＝0. 综上，a>0>b.故选A. ④根据题意可知a，b，c∈(0，1)． 因为＝＝·<·2＝2＝2<1，所以a＜b. 由b＝log85得8b＝5，即85b ＝55.由55＜84得85b＜84，所以5b＜4，所以b<. 由c＝log138得13c＝8，即135c＝85.由134＜85得134＜135c，所以5c＞4，所以c>.故a＜b＜c.故选A. (15)(经典题，12分)已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2. (Ⅰ)判断f(x)的奇偶性； (Ⅱ)求函数f(x)的值域． 解：(Ⅰ)若函数f(x)有意义，则解得－1＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．(3分) 因为f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋x4－2x2＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数．(5分) (Ⅱ)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝lg(1－x2)＋x4－2x2. 令t＝1－x2，t∈(0，1]，则x2＝1－t，所以y＝lg(1－x2)＋x4－2x2＝lgt＋t2－1，t∈(0，1]．(8分) 因为y＝lgt在(0，1]上单调递增，y＝t2－1在(0，1]上单调递增，所以y＝lgt＋t2－1在(0，1]上单调递增． 又当t＝1时，y＝0；当t→0时，y→－∞，所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．(12分) (16)(广东清远期中，12分)设f(x)＝log为奇函数，a为常数． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增； (Ⅲ)若对于∀x∈[3，4]，不等式f(x)>x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(Ⅰ)∵f(x)是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0， 可得log＋log＝log＝log1，即＝1，整理得1－a2x2＝－(x2－1)，∴a2x2＝x2，∴a＝±1.(2分) 当a＝1时，f(x)＝log＝log(－1)，不成立，舍去； 当a＝－1时，f(x)＝log，函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，符合题意． 综上，a＝－1.(3分) (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知f(x)＝log，其定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 令g(x)＝＝1＋(x>1)． 设1<x1<x2，则g(x2)－g(x1)＝1＋－＝. ∵x1－x2<0，(x2－1)(x1－1)>0，∴g(x2)<g(x1)， ∴函数g(x)在(1，＋∞)上单调递减． 又y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(7分) (Ⅲ)f(x)>x＋m，即f(x)－x>m. 令F(x)＝f(x)－，要使F(x)>m对于∀x∈[3，4]恒成立，只需F(x)min>m. ∵y＝－x为增函数，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x)＝f(x)－x在[3，4]上单调递增， ∴F(x)min＝F(3)＝log2－3＝－， ∴m<－，即m的取值范围是.(12分) 随堂普查练10 1．(2025汇编，15分)计算下列各题． ①已知函数f(x)＝4x＋log2x，则f＝________；(2023北京真题) ②lg－lg＋lg＝________； ③＝________． 解析：①因为函数f(x)＝4x＋log2x， 所以f＝4＋log2＝2－1＝1.故答案为1. ②lg－lg＋lg ＝×(lg32－lg49)－lg2＋lg245 ＝×(lg25－lg72)－×lg2＋lg(5×72) ＝×(5lg2－2lg7)－2lg2＋×(lg5＋2lg7) ＝lg2－lg7－2lg2＋lg5＋lg7 ＝lg2＋lg5 ＝lg(2×5)＝. ③ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 2．(辽宁三模，5分)定义矩阵运算＝，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：＝＝＝.故选B. 3．(经典题，5分)已知函数f(x)＝loga(x＋3)＋1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P，若角β的终边经过点P，则cos的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：因为函数f(x)＝loga(x＋3)＋1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P，令x＋3＝1，得x＝－2，所以f(－2)＝1，所以P(－2，1)．因为角β的终边经过点P，所以角β是第二象限角，所以cos＝－sinβ ＝＝－.故选C. 4．(浙江经典真题，4分)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图像可能是(　　) A B C D 解析：对于函数y＝，y＝loga， 当a>1时，可得y＝是减函数，图像恒过点(0，1)，函数y＝loga是增函数，图像恒过点； 当0＜a＜1时，可得y＝是增函数，图像恒过点(0，1)，函数y＝loga是减函数，图像恒过点(，0)，∴D选项中的图像满足要求．故选D. 5．(四川宜宾三模，5分)若函数f(x)＝的值域为[－3，＋∞)，则a的取值范围是(　　) A．[－e3，0) B. C. D. 解析：当0≤x≤3时，f(x)＝－x2＋2x∈[－3，1]． 当a≤x<0时，f(x)＝－ln(－x)≥－ln(－a)． 因为函数f(x)的值域为[－3，＋∞)， 所以－3≤－ln(－a)≤1， 所以－1≤ln(－a)≤3，解得－e3≤a≤－.故选C. 6．(湖南模拟，5分)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　) A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0 C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b 解析：因为a＝log0.20.3＝＝， b＝log20.3＝＝， 所以ab＝×＝， a＋b＝＋＝. 因为lg2>0，lg2－1＝lg0.2<0，lg3－1＝lg0.3<0， lg4－1＝lg0.4<0，所以ab<0，a＋b<0. ab－(a＋b)＝－ ＝<0， 所以ab<a＋b<0.故选B. 7．(经典题，5分)若loga(a2－3)>loga2a>0，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可知a>0，且a≠1.又由a2－3>0，得a>，∴loga(a2－3)>loga2a>0，即loga(a2－3)>loga2a>loga1，∴a2－3>2a>1.由a2－3>2a，即(a－3)(a＋1)>0，得a>3或a<－1(舍)；由2a>1，得a>.又a>，∴a>3，∴a的取值范围为(3，＋∞)． 8．(2025改编，12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(3－x)，a>0且a≠1. (1)设F(x)＝f(x)＋g(x)． ①当a＝3时，求F(x)的单调区间； ②当0<a<1时，函数F(x)的最小值为－2，求a的值． (2)设G(x)＝f(x)－g(x)，求使G(x)＞0成立的x的取值范围． 解：(1)①当a＝3时，函数F(x)＝log3(x＋1)(3－x)＝log3(－x2＋2x＋3)． 由x＋1>0，3－x>0可得F(x)的定义域为(－1，3)．(1分) 令u(x)＝－x2＋2x＋3(－1<x<3)，则u(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．又y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以F(x)的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(1，3)．(4分) ②由①知F(x)＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]． 因为－1<x<3，所以0<－(x－1)2＋4≤4，所以当0＜a＜1时，F(x)min＝loga4＝－2，即a－2＝4，解得a＝.(8分) (2)由G(x)＝loga(x＋1)－loga(3－x)＝loga>0＝loga1，－1<x<3，可得： 当a>1时，>1，解得1<x<3； 当0<a<1时，0<<1，解得－1<x<1. 综上可知，当a＞1时，x的取值范围为(1，3)； 当0＜a＜1时，x的取值范围为(－1，1)．(12分) 9．(贵州盘州联考，12分)已知函数f(x)＝(log2x)2＋alog2x＋3(a∈R)． (1)若a＝1，求f(x)在区间上的值域； (2)若关于x的方程f(x)＋a＝0在[1，8]上有解，求实数a的取值范围． 解：令t＝log2x，则原函数即为g(t)＝t2＋at＋3.(1分) (1)若a＝1，则g(t)＝t2＋t＋3，其图像开口向上，对称轴为直线t＝－.(2分) 当x∈时，t∈[－1，2]， ∴g(t)min＝2－＋3＝，g(t)max＝22＋2＋3＝9，(5分) ∴函数f(x)在区间上的值域为.(6分) (2)当x∈[1，8]时，t∈[0，3]， ∴方程f(x)＋a＝0在[1，8]上有解，等价于方程t2＋at＋3＋a＝0在[0，3]上有解，等价于a＝－＝－＋2在[0，3]上有解．(8分) 令s＝t＋1，s∈[1，4]，h(s)＝－＋2. 由对勾函数的性质可知，当s∈[1，4]时，h(s)min＝h(1)＝h(4)＝－3，h(s)max＝h(2)＝－2，(11分) ∴a∈[－3，－2]，即实数a的取值范围是[－3，－2]．(12分) 10．(全国Ⅱ经典真题，5分)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0 C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0 解析：由2x－2y＜3－x－3－y得2x－3－x＜2y－3－y.令f(t)＝2t－3－t，因为y＝2t为R上的增函数，y＝－3－t为R上的增函数，所以f(t)＝2t－3－t为R上的增函数，所以x＜y.因为y－x＞0，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞0，故A正确，B错误；因为|x－y|与1的大小关系无法确定，所以ln|x－y|的大小无法确定，故C，D错误．故选A. 11．(江西南昌质检，10分)已知函数f(x)＝log2(1＋2x＋1＋4xa)＋bx(a，b∈R)． (1)若a＝1，且f(x)是偶函数，求b的值； (2)若f(x)在(－∞，－1)上有意义，求实数a的取值范围； (3)若a＝4，且A＝{x|f(x)＝(b＋1)(x＋1)}＝∅，求实数b的取值范围． 解：(1) 当a＝1时， f(x)＝log2(1＋2x＋1＋4x)＋bx＝2log2(1＋2x)＋bx.因为f(x)是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝0，即2log2＋2bx＝0，即2x＋2bx＝0，所以b＝－1.(3分) (2)f(x)在(－∞，－1)上有意义， 则对任意x∈(－∞，－1)，1＋2x＋1＋4xa>0恒成立， 即a>－x－x－1恒成立．(4分) 设g(x)＝－x－x－1. 易知函数y＝x，y＝x－1均为减函数， 所以g(x)在(－∞，－1)上单调递增， 所以g(x)<g(－1)＝－8. 要使a>g(x)恒成立，只需a≥g(－1)＝－8， 故实数a的取值范围是[－8，＋∞)．(6分) (3)当a＝4时， 方程f(x)＝(b＋1)(x＋1)即log2(1＋2x＋1＋4x＋1)＋bx＝(b＋1)(x＋1)，即log2(＋2x＋2＋2)＝b＋1.因为A＝∅，所以方程log2(＋2x＋2＋2)＝b＋1无实根．(8分) 因为＋2x＋2＋2≥2＋2＝6，当且仅当x＝－1时等号成立，所以log2≥log26，所以当b＋1<log26，即b<log23时， A＝∅， 故实数b的取值范围是(－∞，log23)．(10分) 课后提分练10　对数与对数函数 A组(巩固提升) 1．(2025汇编，20分)按要求完成下列各题． ①若alog43＝，则3a＋9a＝________． ②若a＝3，则a－＝(　　) A．－1 B．1 C. D．3 ③log535＋2log－log5－log514＝______． ④已知a＝log26，3b＝36，则＋＝______，＝______． 解析：①由条件得a＝log34＝log32， ∴3a＋9a＝3log32＋9log32＝3log32＋3log34＝2＋4＝6. ②由a＝3得a＝log3＝－log53， ∴a－＝－log53－2log5＝－log53＋log515＝log55＝1.故选B. ③log535＋2log－log5－log514 ＝log535＋log2＋log550－log514 ＝log535－1＋log550－log514 ＝log5－1＝3－1＝2. ④由3b＝36，可得b＝log336＝2log36， 则＋＝log62＋log63＝log66＝1. ＝＝＝＝log23＝log2， ∴＝2log2 ＝. 2．(广东清远期中，5分)已知函数f(x)＝(t－2)xt是幂函数，则函数g(x)＝loga(x＋t)＋t(a>0且a≠1)的图像恒过定点________． 解析：由f(x)是幂函数得t－2＝1，故t＝3， 因此，g(x)＝loga(x＋3)＋3. 令x＋3＝1，得x＝－2，则g(－2)＝loga(－2＋3)＋3＝3， 因此，g(x)的图像过定点(－2，3)． 3．(广东惠州一模，5分)中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了(　　)(附：lg2≈0.3010) A．20% B．23% C．28% D．50% 解析：将信噪比从1000提升至5000时， C大约增加了 ＝≈ ＝≈0.23＝23%.故选B. 4．(四川模拟，5分)已知函数f(x)＝－loga(x－b)及g(x)＝bx＋a，则y＝f(x)及y＝g(x)的图像可能为(　　) A B C D 解析：由题意得f(x)＝loga. 设关于x的函数t＝(x>b)． 当0<a<1时，因为t＝单调递减，f(t)＝logat单调递减，所以f(x)＝loga在(b，＋∞)上单调递增，此时直线y＝bx＋a在y轴上的截距a∈(0，1)，排除C. 当a>1时，因为t＝单调递减，f(t)＝logat单调递增，所以f(x)＝loga在(b，＋∞)上单调递减，此时直线y＝bx＋a在y轴上的截距a∈(1，＋∞)，排除D. 在A，B选项中，当g(x)单调递减时，b<0. 因为f(x)的定义域是(b，＋∞)，所以A选项定义域错误，排除A.故选B. 5．(天津经典真题，5分)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：因为a＝log52<log5＝，b＝log0.50.2＝log＝log25>1，c＝0.50.2＝>，且c＝0.50.2<0.50＝1，所以b>c>a.故选A. 6．(安徽黄山二模，5分)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(m，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A．[2，3] B．(2，3) C．(2，3] D．[2，3) 解析：由二次函数的性质可知，函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减；由对数函数的性质可知，函数f(x)在(4，＋∞)上单调递增，故若函数y＝f(x)在区间(m，m＋1]上单调递减，则需满足2≤m且m＋1≤4，即2≤m≤3.故选A. 7．(经典题，5分)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝______，b＝______． 解析：设t＝logba，由a>b>1，知t>1，代入logab＋logba＝，得t＋＝，即2t2－5t＋2＝0，解得t＝2或t＝(舍去)，所以logba＝2，即a＝b2.因为ab＝ba，所以b2b＝ba，则a＝2b＝b2，解得a＝4，b＝2. 8．(多选)(湖南长沙模拟，5分)已知正数x，y，z满足3x＝4y＝12z，则(　　) A.＋＝ B．6z<3x<4y C．xy<4z2 D．x＋y>4z 解析：设3x＝4y＝12z＝t，t>1，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t. ∵＝＝logt3，＝＝logt4，＝＝logt12，　 ∴＋＝logt3＋logt4＝logt12＝，故A正确． ∵＝＝＝＝<1，∴6z<3x. ∵＝＝＝＝<1，∴3x<4y， ∴6z<3x<4y，故B正确． ∵xy－4z2＝log3t·log4t－4(log12t)2 ＝·－＝(lgt)2· ＝(lgt)2·>0， ∴xy>4z2，故C错误． ∵x＋y－4z＝log3t＋log4t－4log12t＝＋－ ＝lgt· ＝lgt·>0， ∴x＋y>4z，故D正确．故选ABD. 9．(山东滨州模拟，5分)已知实数a，b满足a＝log23＋log86，5a＋12a＝13b，则下列判断正确的是(　　) A．a>2>b B．b>2>a C．b>a>2 D．a>b>2 解析：∵a＝log23＋log86， ∴a＝log23＋log2(2×3)＝log23＋>log22＋＝×＋＝>2，故排除B. 由13b＝5a＋12a>25＋144＝169＝132，得b>2，故排除A. 设f(x)＝5x＋12x－13x，x>2. 令t＝x－2，则f(x)＝5x＋12x－13x，x>2等价于g(t)＝25×5t＋144×12t－169×13t，t>0. ∵g(t)＝25×5t＋144×12t－169×13t<169×12t－169×13t<0，∴当x>2时，5x＋12x－13x<0， ∴13b＝5a＋12a<13a，∴a>b>2.故选D. 10．(江苏常州联考节选，6分)若函数f(x)＝log2在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 解：因为函数y＝log2x是增函数，y＝＋a为减函数，所以函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2(＋a)．(2分) 因为函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，所以log2(1＋a)－log2＝log2≥2＝log24，所以解得－<a≤－，所以实数a的取值范围为.(6分) 11．(湖北恩施州期中，12分)已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)．当点M(x，y)在函数y＝g(x)的图像上运动时，对应的点M′(3x，2y)在函数y＝f(x)的图像上运动，则称函数y＝g(x)是函数y＝f(x)的相关函数． (1)解关于x的不等式f(x)<1； (2)对任意的x∈(0，1)，f(x)的图像总在其相关函数图像的下方，求a的取值范围； (3)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(0，1)．当a＝1时，求|F(x)|的最大值． 解：(1)依题意得 所以 解得－a<x<2－a， 所以不等式的解集为(－a，2－a)．(3分) (2)根据题意得2y＝log2(3x＋a)，所以函数f(x)的相关函数为g(x)＝log2(3x＋a)． 因为对任意的x∈(0，1)，f(x)的图像总在其相关函数图像的下方， 所以当x∈(0，1)时，f(x)－g(x)＝log2(x＋a)－log2(3x＋a)<0恒成立， 即当x∈(0，1)时，log2(x＋a)2<log2(3x＋a)恒成立． 又因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 所以(x＋a)2<3x＋a，即x2＋(2a－3)x＋a2－a<0在(0，1)上恒成立．(5分) 令h(x)＝x2＋(2a－3)x＋a2－a， 则解得0≤a≤1. 又因为a>0，所以0<a≤1， 故实数a的取值范围为(0，1]．(7分) (3)当a＝1时，由(2)知在区间(0，1)上， f(x)<g(x)， 所以|F(x)|＝|f(x)－g(x)|＝g(x)－f(x)＝log2.　 令t＝，x∈(0，1)，则＝. 若|F(x)|取最大值，则t取最大值，取最小值． 令μ＝3x＋1(1<μ<4)，则x＝，(9分) 所以＝＝≥＝，当且仅当μ＝2，即x＝时取等号， 所以|F(x)|的最大值为log2＝log23－.(12分) 12．(广东深圳月考，12分)已知函数p(x)＝mx－4＋1(m>0且m≠1)的图像经过定点A，函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像经过点A. (1)求函数y＝f(2a－2x)的定义域与值域； (2)若函数g(x)＝f(2xλ)·f(x2)－4在上有两个零点，求λ的取值范围． 解：(1)令x－4＝0，求得x＝4，则p(4)＝m0＋1＝2， 故点A(4，2)． 将点A的坐标代入函数f(x)＝logax，得loga4＝2，则a＝2，从而y＝f(2a－2x)＝f(4－2x)＝log2(4－2x)．(2分) 由4－2x>0，得x<2， 所以函数y＝f(2a－2x)的定义域为(－∞，2)．(3分) 因为0<4－2x<4，且函数f(x)＝log2x是增函数， 所以函数y＝f(2a－2x)的值域为(－∞，2)．(4分) (2)g(x)＝f(2xλ)·f(x2)－4＝log2(2xλ)·log2x2－4＝2λ(log2x)2＋2log2x－4.(5分) 令t＝log2x，则t∈[－2，2]． 令h(t)＝2λt2＋2t－4， 则g(x)在上有两个零点等价于函数h(t)＝2λt2＋2t－4在[－2，2]上有两个零点．(7分) ①当λ＝0时，由h(t)＝2t－4＝0，得t＝2，h(t)有一个零点，故λ＝0不符合题意； ②当λ>0时，解得λ≥1； ③当λ<0时，不等式组无解． 综上所述，λ的取值范围是[1，＋∞)．(12分) B组(冲刺满分) 13．(江西南昌模拟，5分)已知非零实数a，x，y满足<0，则下列关系式恒成立的是(　　) A.< B．x＋y>＋ C.x<y D．yx>xy 解析：因为非零实数a，x，y满足<0，而a2＋1>1，所以0<x<y<1. 不妨设x＝，y＝，则对于A选项，＝＝，＝＝＝，而>，故A选项错误； 对于B选项，x＋y＝，＋＝2＋＝，而<，故B选项错误； 对于C选项，因为0<<1，所以根据指数函数的性质可知，故C选项错误； 对于D选项，依题意得0<x<y<1，要证明yx>xy，只需证明lnyx>lnxy，即证xlny>ylnx，即证>.构造函数f(x)＝(0<t<1)，则f′(t)＝.因为0<t<1，所以lnt<0，所以f′(t)＝>0在区间(0，1)上恒成立，所以f(t)在区间(0，1)上单调递增，所以>，所以yx>xy，故D选项正确．故选D. 14．(多选)(山东济南三模，5分)已知函数f(x)＝ln(＋2x)＋x3，g(x)＝f(x＋1)．若实数a，b(a，b均大于1)满足g(3b－2a)＋g(－2－a)>0，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)在R上单调递增 B．函数g(x)的图像关于点(1，0)中心对称 C．ea－b> D．loga(a＋1)>logb(b＋1) 解析：对于A，∵>＝|2x|， ∴＋2x>0在R上恒成立，∴f(x)的定义域为R，即f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＋f(－x)＝ln[(＋2x)(－2x)]＝ln1＝0，∴f(x)为奇函数且f(0)＝0． ∵y＝x3，y＝＋2x，y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又∵当x>0时，>1，∴＋2x>1， 即f(x)＝ln(＋2x)＋x3>0，∴当x<0时，f(x)<0，∴函数f(x)在R上单调递增，故A正确． 对于B，∵g(x)＝f(x＋1)的图像是将f(x)的图像向左平移1个单位得到的，∴函数g(x)的图像关于点(－1，0)中心对称，故B错误． 对于C，∵函数g(x)的图像关于点(－1，0)中心对称， ∴g(a)＋g(－2－a)＝0，∴－g(－2－a)＝g(a)． 又∵g(3b－2a)＋g(－2－a)>0， ∴g(3b－2a)>－g(－2－a)＝g(a)． ∵g(x)的图像是由f(x)的图像向左平移得到的， ∴g(x)和f(x)具有相同的单调性， ∴函数g(x)在R上单调递增， ∴3b－2a>a，∴b>a>1，∴ea－b<e0＝1<，故C错误． 对于D，令h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝(x>1)． 令s(x)＝xlnx(x>1)，则s′(x)＝lnx＋1>0， ∴s(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴xlnx<(x＋1)ln(x＋1)，∴h′(x)<0， ∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∵b>a>1，∴h(a)>h(b)，即loga(a＋1)>logb(b＋1)，故D正确．故选AD. 15．(多选)(山东模拟，5分)已知直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．>2e C．x1lnx2＋x2lnx1<0 D．x1x2> 解析：因为函数y＝ex与y＝lnx互为反函数，所以y＝ex与y＝lnx的图像关于直线y＝x对称．将y＝－x＋2与y＝x联立，解得x＝1，y＝1.因为直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，作出函数图像，如图所示，则A(x1，y1)，B(x2，y2)连线的中点坐标为(1，1)． 对于A，由＝1，得x1＋x2＝2，故A正确. 对于B，≥＝＝2＝2e，当且仅当x1＝x2时等号成立．又因为x1≠x2，所以等号不成立，所以>2e，故B正确. 对于C，将y＝－x＋2与y＝ex联立，消去y可得－x＋2＝ex，即ex＋x－2＝0. 设f(x)＝ex＋x－2，易知函数f(x)为增函数．因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f＝＋－2＝－>0，所以函数f(x)的零点在上，即0<x1<，所以>2.又因为x1＋x2＝2，所以<x2<2，所以>x2，所以x1lnx2＋x2lnx1＝x1lnx2－x2ln<x1lnx2－x2lnx2＝(x1－x2)lnx2<0，故C正确. 对于D，由x1＋x2≥2，得x1x2≤1. 又因为x1≠x2，所以x1x2<1，故D错误． 故选ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $$