第8课 幂函数-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第8课 幂函数 普查与练习8　　　　幂函数 1．幂函数概念的应用 (1)(2025汇编，10分)已知函数f(x)为幂函数． ①若f(x)＝(m2－m－1)，且其图像与两坐标轴都没有交点，则实数m＝(　　) A．－1　 B．2 C．3 D．2或－1 ②若2f(4)＝f(16)，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝，x≥0 B．f(x)＝，x>0 C．f(x)＝ D．f(x)＝，x≥0 解析：①因为函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时， f(x)＝x5，其图像过原点，即与两坐标轴有交点，不符合题意； 当m＝－1时，f(x)＝，其图像与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m＝－1.故选A. ②因为f(x)为幂函数，所以设f(x)＝xα. 因为 2f(4)＝f(16), 所以2×4α＝16α，即＝2，解得α＝，所以f(x)的解析式是f(x)＝＝，x≥0.故选A. 2．幂函数的图像 a．由解析式确定图像 (2)(广东期末，5分)已知函数y＝ax－3－(a>0且a≠1)的图像恒过定点P.若点P在幂函数f(x)的图像上，则幂函数f(x)的图像大致是(　　)　 A B C D 解析：易得函数y＝ax－3－(a>0且a≠1)的图像恒过定点P.设幂函数f(x)＝xα，则3α＝，解得α＝－1，所以f(x)＝，所以幂函数f(x)的图像大致是选项A中的图像．故选A. b．利用图像解不等式 (3)(河北唐山二模，5分)不等式x≤的解集是(　　) A. B. C. D. 解析： (法一)在同一坐标系中作出函数y＝x，y＝的图像，如图所示： 当x＝时，解得x＝. 由图像知，x≤的解集是.故选B. (法二)当x＝0时，＝＝1，＝＝0， 显然不等式不成立，排除A，C； 当x＝时，＝＝，＝＝，不等式成立，排除D.故选B. 3．幂函数的单调性及其应用 a.幂函数单调性的判断 (4)(全国甲经典真题，5分)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：由一次函数的性质可知f(x)＝－x是减函数，不符合题意；由指数函数的性质可知f(x)＝x是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f(x)＝x2在R上不单调，不符合题意；由幂函数的性质可知f(x)＝是增函数，符合题意．故选D. b．利用幂函数的单调性求参数 (5)(河南南阳模拟，5分)已知当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3单调递减，则实数m的值为(　　) A．m＝2 B．m＝－1 C．m＝－1或m＝2 D．m≠ 解析：因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以解得m＝2.故选A. c．利用幂函数的单调性比较大小 (6)(四川成都开学测试，5分)设x，y，z为正数，若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则(　　) A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y 解析：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k， ∴2x＝2k＋1，3y＝3k＋1，5z＝5k＋1. ∵k＜－1，∴k＋1＜0，∴5k＋1＜3k＋1＜2k＋1， 即5z＜3y＜2x.故选B. (7)(经典题，5分)已知点(m，9)在幂函数f(x)＝(m－2)xn的图像上，设a＝，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c 解析：因为函数f(x)＝(m－2)xn是幂函数，所以 m－2＝1，解得m＝3.又点(3，9)在f(x)的图像上，所以3n＝9，解得n＝2，所以f(x)＝x2，所以f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增． 因为，ln＝－ln3，＝，且，所以0<<1<ln3， 所以<f(ln3)＝f(－ln3)，所以a，b，c的大小关系为a<c<b.故选A. d．利用幂函数的单调性解不等式 (8)(2025汇编，10分)已知幂函数f(x)的图像经过点， ①不等式f(x＋1)<f(10－2x)的解集为______； ②设g(x)＝x3，x∈(0，＋∞)，则不等式g(x)<f(x)的解集为________． 解析：设幂函数f(x)的解析式为f(x)＝xα(α∈R)， 因为函数f(x)的图像经过点，所以＝4，解得α＝－，所以f(x)＝＝ (x>0)． ①易知当x∈(0，＋∞)时， f(x)为减函数，所以不