第3课 等式性质与不等式性质-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第3课 ·等式性质与不等式性质 1．日常生活中的不等关系 (1)(北京西城区一模，5分)调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg垃圾便积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x分(x为正整数)．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换． (Ⅰ)当x＝10时，若某家庭某月分类投放120 kg垃圾，则该家庭该月积分卡能兑换________元； (Ⅱ)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为________． 解析：(Ⅰ)根据题意可知该家庭共获得积分120＋10＝130(分)，此时该月积分卡能兑换130×0.1＝13(元)． (Ⅱ)如果一个家庭获得额外奖励x分，那么该家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，在此基础上设该家庭一个月内垃圾分类投放总量为a kg，则由题意可得，(a＋x)×0.1≤a×0.34×40%恒成立，即有x≤0.36a恒成立． 因为a≥100，所以x≤(0.36a)min＝36. 故x的最大值为36. 2．不等式的性质及其应用 a．利用不等式的性质判断不等关系 (2)(2025改编，5分)已知实数a，b，c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的有________．(填序号) ①a2c>b2c；②a＋c<b＋c；③a3b>ab3；④>； ⑤a＋>b＋；⑥>；⑦ <； ⑧<；⑨>；⑩<. 解析：①不成立，∵a>b>0，∴a2>b2.又∵c<0，∴a2c<b2c.②不成立，由不等式的性质，不等号的两边都加上同一个实数，所得到的不等式与原不等式同向，∴a＋c>b＋c.③成立，∵a>b>0，∴a2>b2，ab>0，∴a2·ab>b2·ab，即a3b>ab3.④不成立，∵a>b>0，∴>.又∵c<0，∴<.⑤成立，∵a>b>0，∴>，∴a＋>b＋.⑥不成立，＝＝，＝＝.又∵a>b>0，∴ab＋a>ab＋b>0，a(a＋1)>0，∴<，即<.(或者直接应用真分数的性质：∵a>b>0，∴0<<1，∴由真分数的性质得<)⑦成立，∵a>b>0，∴0<2a＋b<3a，a＋2b>3b>0，∴0<<，∴<＝.⑧不成立，∵c<0，∴<0.又∵a>b>0，∴>.⑨不成立，∵c<0，∴－c>0.又∵a>b>0，∴a－c>b－c>0, ∴0<<，∴<.⑩不成立，∵a>b>0，∴<.又∵c<0，∴>，∴>.　 b．作差法比较大小 (3)(2025汇编，15分)试比较下列各组式子的大小： (Ⅰ)a2＋b2＋c2＋＋与2a＋2b，其中a，b，c(c≠0)是互不相等的实数； (Ⅱ)x＋y＋与＋＋xy，其中x≥1，y≥1； (Ⅲ)＋与＋，其中a>0，b>0. 解：(Ⅰ)－(2a＋2b)＝(a2－2a)＋(b2－2b)＋＝(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)＋＝(a－1)2＋(b－1)2＋2.(3分) 因为a≠b，所以a－1和b－1不全为0， 所以(a－1)2＋(b－1)2>0. 又因为≥0， 所以－(2a＋2b)>0， 即a2＋b2＋c2＋>2a＋2b.(5分) (Ⅱ)因为x≥1，y≥1，所以xy≥1.要比较x＋y＋，＋＋xy的大小，只需比较xy(x＋y)＋1，y＋x＋(xy)2的大小即可．(6分) 作差比较xy(x＋y)＋1，y＋x＋(xy)2的大小． y＋x＋(xy)2－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy－1)(xy＋1)－(xy－1)(x＋y) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)．(8分) 因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 所以xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2， 即x＋y＋≤＋＋xy.(10分) (Ⅲ)－(＋)＝＋＝＋＝＝.(13分) 因为a>0，b>0，所以(－)2≥0，＋>0，>0， 所以≥0，当且仅当a＝b时取等号， 所以＋≥＋.(15分) (4)(经典题，5分)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，z＝(ab)0.25，则x，y，z的大小关系是(　　) A．x>y>z B．z>y>x C．y>x>z D．x>z>y 解析：由x＝，y＝，z＝(ab)0.25， 可得x2＝，y2＝a＋b，z2＝. 又a，b是不相等的正数， 所以x2－z2＝－＝>0， y2－x2＝＝>0，所以y2>x2>z2. 易知x，y，z>0，所以y>x>z.故选C. c．作商法比较大小 (5)(经典题，5分)设a>0，b>0，且a≠b，则aabb与abba的大小关系为 ． 解析：＝aa－b·bb－a＝a－b. 当a>b>0时，>1，a－