第2课 常用逻辑用语-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第2课 常用逻辑用语 普查与练习2　　　　常用逻辑用语 1．命题真假的判断 (1)(江苏南京师大附属扬子中学四模，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________． 解析：答案不唯一，如f(x)＝sinx，f(x)＝－x(x－3)等． (2)(北京模拟，5分)已知函数f(x)＝g(x)＝asin－2a＋2(a>0)，给出下列结论： ①函数f(x)的值域为； ②函数g(x)在[0，1]上单调递增； ③任意a>0，方程f(x)＝g(x)在[0，1]内恒有解； ④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是____________． 解析：对于①，当x∈时， f(x)＝＝＝1－. 易知函数f(x)在上单调递增， 所以1－<f(x)≤f(1)， 即<f(x)≤.　 当x∈时，f(x)＝－x＋. 易知函数f(x)在上单调递减， 所以f≤f(x)≤f(0)， 即0≤f(x)≤. 综上可知，函数f(x)的值域为.故①正确． 对于②，利用诱导公式可得g(x)＝－acosx－2a＋2(a>0)． 因为x∈[0，1]，所以x∈， 所以y＝cosx在[0，1]上单调递减． 因为a＞0，所以根据函数的图像变换可知，函数g(x)在[0，1]上单调递增．故②正确． 对于③，任意a>0，方程f(x)＝g(x)在[0，1]内恒有解，即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像在[0，1]内恒有交点． 当a＝1时，g(x)＝－cosx.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，如图所示： 由图像可知，此时函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像在[0，1]内无交点．故③错误． 对于④，由①可知f(x)∈，由②可知g(0)≤g(x)≤g(1)，即g(x)∈[－3a＋2，－a＋2]． 若存在x1，x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则∩[－3a＋2，－a＋2]≠∅， 则解得≤a≤，即实数a的取值范围是.故④正确．故答案为①②④. 2．充分条件与必要条件 a．充分条件与必要条件的判断 (3)(2025汇编，20分)下列各题是关于充分条件与必要条件的判断，请从所给的四个选项中选出正确的答案． ①若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)(2023北京真题，4分) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ②已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　)(北京经典真题，4分)　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ③设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的(　　)(2022北京真题，4分) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ④已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)(浙江经典真题，4分) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ⑤设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的(　　)(2022浙江真题，4分) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：①充分性证明：因为x＋y＝0， 所以(x＋y)2＝0，即x2＋y2＝－2xy. 又xy≠0， 所以＝－2，即＋＝－2， 故“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充分条件． 必要性证明：因为＋＝－2，xy≠0， 所以xy＝－2xy，即x2＋y2＝－2xy，即(x＋y)2＝0， 所以x＋y＝0， 故“x＋y＝0”是“＋＝－2”的必要条件． 综上，“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件． 故选C. ②若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)； 取f(x)＝2，满足f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，但f(x)＝2在上为减函数，在上为增函数，故“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”推不出“f(x)在[0，1]上单调递增”， 故“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分而不必要条件.故选A. ③设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，记[x]为不超过x的最大整数. 若{an}为单调递增数列，则d>0. 若a1≥0，则当n≥2时，an>a1≥0； 若a1<0，则由an＝a1＋(n－1)d>0可得n>1－， 取N0＝，