一轮复习前摸底卷-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

普通高等学校招生全国统一考试数学总复习 一轮复习前摸底卷 A　基础知识普查卷 集合与常用逻辑用语 (普查题01)(20分)①设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝(　B　) A．{7，9} B．{5，7，9} C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9} ②已知集合P＝{x∈R}，Q＝{x∈R}, 则P∪(∁RQ)＝(　B　) A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) ③已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为(　C　) A．1　 B．5　 C．6　 D．无数个 ④已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为 1 ． 解析：①∵N＝{x|2x>7}＝，∴M∩N＝{5，7，9}．故选B. ②∵∁RQ＝{x|x2<4}＝(－2，2)，∴P∪(∁RQ)＝(－2，2)∪[1，3]＝(－2，3]．故选B. ③由x＋y≤2，x，y∈N，可知当x＝0时，y的值可以为0，1，2，∴(0，0)，(0，1)，(0，2)为A中的元素；当x＝1时，y的值可以为0，1，∴(1，0)，(1，1)为A中的元素；当x＝2时，y＝0，∴(2，0)为A中的元素．综上，集合A中有6个元素．故选C. ④∵A∩B＝{1}，∴1∈B.显然a2＋3≥3，∴a＝1，此时a2＋3＝4，满足题意．故答案为1. (普查题02)(15分)①已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ②已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则“Sn<nan对n≥2恒成立”是“数列{an}为递增数列”的(　C　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ③使不等式|x|≤2成立的一个必要不充分条件是(　A　) A．|x＋1|≤3 B．|x＋1|≤2 C．log2(x＋1)≤1 D.≥ 解析：①若m∥n，由m⊄α，n⊂α，可知m∥α， 即“m∥n”是“m∥α”的充分条件． 若m∥α，当n⊂α时，m与n可能平行，也可能异面， 即“m∥n”是“m∥α”的不必要条件． 因此，“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A. ②∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴Sn＝na1＋d，an＝a1＋(n－1)d，∴Sn<nan对n≥2恒成立⇔na1＋d<n[a1＋(n－1)d]对n≥2恒成立⇔n(n－1)d>0对n≥2恒成立⇔d＞0，∴“Sn<nan对n≥2恒成立”是“数列{an}为递增数列”的充分必要条件．故选C. ③不等式|x|≤2即－2≤x≤2，所以不等式的解集为[－2，2]． 对于A，|x＋1|≤3⇔－4≤x≤2，即不等式的解集为[－4，2]，[－2，2][－4，2]，所以A是不等式|x|≤2成立的必要不充分条件； 对于B，|x＋1|≤2⇔－3≤x≤1，即不等式的解集为[－3，1]，易知B不是使不等式|x|≤2成立的必要不充分条件； 对于C，log2(x＋1)≤1，解得－1＜x≤1，即不等式的解集为(－1，1]，易知C是使不等式|x|≤2成立的充分不必要条件； 对于D，≥，变形可得解得－2≤x＜0或0＜x≤2，即不等式的解集为[－2，0)∪(0，2]，易知D是使不等式|x|≤2成立的充分不必要条件．故选A. 函数与导数 (普查题03)(30分)①若函数f(x)＝是R上的偶函数，则f(a－1)＝(　D　)　 A．1 B．－1 C．－ D. ②已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝1－x，则函数f(x)的解析式为(　A　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ ③关于函数f(x)＝lg(x ≠ 0，x∈R)有下列命题： a．函数y＝f(x)的图像关于y轴对称； b．在区间(－∞，0)上，函数f(x)是减函数； c．函数f(x)的最小值为lg2； d．在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数． 其中正确命题的序号为 acd ． ④已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　B　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a ⑤已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(－x)，且函数f(x＋1)是偶函数，当x∈[－1，0]时，f(x)＝1－x2，则＝． ⑥设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　A　) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ 解析：①(法一)因为函数f(x)＝ 是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)，即＝， 整理得(a＋1)(2x－2－x)＝0. 因为上述方程对任意x∈R均成立， 所以a＋1＝0，解得a＝－1，所以f(x)＝， 所以f(a－1)＝f(－2)＝＝.故选D. (法二)因为函数f(x)＝是偶函数， 所以f(1)＝f(－1)，即＝，解得a＝－1. 经验证，a＝－1满足已知条件． 以下同法一． ②设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝1－(－x)＝1＋x. 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝1＋x， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝故选A. ③由于函数y＝f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝lg＝lg＝f(x)，故函数y＝f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，故a正确. 当x＞0时，令t＝＝＝x＋，即y＝lgt.因为t＝x＋在区间(0，1)上为减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，且y＝lgt在(0，＋∞)上为增函数，故函数y＝f(x)在区间(0，1)上为减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数．根据偶函数在对称区间上单调性相反，可得y＝f(x)在区间(－∞，－1)上是减函数，在(－1，0)上是增函数，故b错误，d正确. 由函数的单调性可得，当x＝±1时，函数f(x)取到最小值lg2，故c正确． 故正确命题的序号为acd. ④因为a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，所以a＜c＜b.故选B. ⑤因为函数f(x＋1)是偶函数， 所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x＋2)＝f(－x)． 又f(x)＝2－f(－x)， 所以f(x＋2)＋f(x)＝2(ⅰ)， f(x＋4)＋f(x＋2)＝2(ⅱ). (ⅱ)－(ⅰ)得f(x＋4)＝f(x)， 所以函数f(x)的一个周期为4， 所以 ＝f＝f＝f ＝2－f＝2－＝. ⑥函数f(x)＝ln(1＋|x|)－的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝ln(1＋|x|)－＝f(x)，所以函数为偶函数． 因为y＝ln(1＋|x|)为(0，＋∞)上的增函数，y＝为(0，＋∞)上的减函数， 所以f(x)＝ln(1＋|x|)－在(0，＋∞)上为增函数． 又因为f(x)为偶函数，所以f(x)>f(2x－1)等价于|x|>|2x－1|，即x2>(2x－1)2，即3x2－4x＋1<0，解得<x<1.故选A. (普查题04)(10分)①函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为(　C　) A．4 B．5 C．6 D．7 ②已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是 (1，4) ．若函数f(x)恰有两个零点，则λ的取值范围是 (1，3]∪(4，＋∞) ． 解析：①令f(x)＝0，可得x＝0或cosx2＝0，∴x＝0或x2＝kπ＋，k∈Z.∵x∈[0，4]，∴x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6.故选C. ②当λ＝2时，由f(x)<0得或解得1<x<4，∴不等式f(x)<0的解集是(1，4)． 当λ≤1时，函数f(x)的图像如图1所示，此时函数f(x)有1个零点4，不符合题意； 当1<λ≤3时，函数f(x)的图像如图2所示，此时函数f(x)有两个零点1和4，符合题意； 图2 当3<λ≤4时，函数f(x)的图像如图3所示，此时函数f(x)有3个零点1，3和4，不符合题意； 图3 当λ>4时，函数f(x)的图像如图4所示，此时函数f(x)有2个零点1和3，符合题意． 图4 综上，λ的取值范围是(1，3]∪(4，＋∞)． (普查题05)(10分)①某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：ⅰ.先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；ⅱ.用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80＋b(a，b为常数)，通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为(　C　) A．35 min B．30 min C．25 min D．20 min ②《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102567种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为(　B　) A．2566 B．2567 C．2568 D．2569 解析：①由题意，当0≤t≤5时，函数图像是一条线段，对应将水加热． 当t≥5时，函数的解析式为y＝80＋b， 且点(5，100)和点(15，60)在函数图像上， 所以解得故热饮冷却阶段对应的函数解析式为y＝80＋20，t≥5. 令y＝40，解得t＝25，故最少需要的时间为25 min. 故选C. ②根据题意可知lgN＝lg(4.02×102567)＝2567＋lg4.02.因为1<4.02<10，所以0<lg4.02<1，所以2567<2567＋lg4.02<2568，所以lgN的整数部分为2567.故选B. (普查题06)(15分)①曲线y＝x2＋在点(1，2)处的切线方程为 x－y＋1＝0 ． ②已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝(　C　) A. B. C. D. ③在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x＋1上，且在第二象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为 (－1，1) ． 解析：①由题意，y′＝2x－，则y′|x＝1＝2－1＝1， ∴所求切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0. ②对y＝lnx求导，得y′＝.设切点为(x0，lnx0)， ∴切线方程是y－lnx0＝(x－x0)，即y＝＋lnx0－1.∵直线y＝ax是曲线y＝lnx在(x0，lnx0)处的切线，∴解得故选C. ③ ∵y′＝3x2－1，曲线C在点M处的切线的斜率为2，∴3x2－1＝2，x＝±1.又∵点M在第二象限内，∴x＝－1，∴y＝(－1)3－(－1)＋1＝1，∴点M的坐标为(－1，1)． (普查题07)(5分)已知对任意的x∈[－1，1]，不等式ax3－3x＋1≥0恒成立，则a＝ 4 ． 解析：当x＝0时，ax3－3x＋1＝1≥0显然成立，此时a∈R.当0<x≤1时，由ax3－3x＋1≥0，得a≥.令g(x)＝，∴g′(x)＝＝. 令g′(x)>0，得0<x<；令g′(x)<0，得<x≤1，即g(x)在上单调递增，在上单调递减，∴g(x)max＝g＝4. 由题意，需a≥max＝g＝4，故a≥4. 当－1≤x＜0时，由ax3－3x＋1≥0，得a≤. 令φ(x)＝，同上得φ′(x)＝，当－1≤x<0时，φ′(x)>0, 即φ(x)在[－1，0)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(－1)＝4.由题意，需a≤min＝4. 综上，a＝4. 三角函数 (普查题08)(25分)①若sin＝，则cos＝(　D　) A.　 B.　 C．－　 D．－ ②已知sin2α＝，则cos2＝(　A　) A. B. C. D. ③若钝角α满足＝tan2α，则tanα＝(　D　) A．2－2　 B．2－ C．2－2 D．2－ ④若tanα＝，则cos2α＋sinαcosα＝(　D　)　 A. B. C. D. ⑤设0＜β<α<，tan(α－β)＋tanβ＝，则(　B　) A．2α＋β＝ B．2α－β＝ C．α＋2β＝ D．α－2β＝ 解析：①∵sin＝sin ＝cos＝， ∴cos＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－. 故选D. ②(法一)cos2＝＝ ＝＝＝. 故选A. (法二)cos2＝2＝(sin2α＋cos2α－2sinαcosα)＝(1－sin2α)＝. 故选A. ③∵＝tan2α，∴＝＝.又α为钝角，∴tanα<0，∴1－tanα≠0，∴tanα－3＝，则tan2α－4tanα－3＝0，解得tanα＝2－(正根舍去)．故选D. ④∵tanα＝，∴cos2α＋sinαcosα＝＝＝，故选D. ⑤∵tan(α－β)＋tanβ＝，∴＋＝，等式两边同乘cos(α－β)cosβ，得sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝cos(α－β)，将等式左边逆用两角和的正弦公式，整理可得sinα＝cos(α－β)，即cos＝cos(α－β)． ∵0＜β＜α＜，∴0＜－α＜，0＜α－β＜， ∴－α＝α－β，∴2α－β＝.故选B. (普查题09)(5分)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0, ω>0)的部分图像如图所示，则(　A　) A． B． C． D． 解析：(法一)由图像知A＝2，最小正周期T＝2[－]＝π，∴ω＝＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)． 又函数图像过点，∴2＝2sin， ∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，结合选项，取φ＝－，∴函数的解析式为y＝2sin.故选A. (法二)由图像可知， f(0)<0，排除C，D选项．又函数图像过点，则A中，当x＝时，y＝2sin＝2，满足条件；B中，当x＝时，y＝2sin＝，不满足条件．故选A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (普查题10)(15分) ①(多选)将函数f(x)＝的图像向右平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到g(x)的图像，则下列选项中正确的是(　BD　) A．函数g(x)的最小正周期为 B．函数g(x)的图像关于直线x＝－对称 C．函数g(x)在上的最大值为1 D．函数g(x)的一个单调递减区间为 ②已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，且与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，则函数f(x)的导函数f′(x)的一个单调减区间为(　A　) A. B. C. D. ③把函数f(x)＝(A≠0)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，若函数g(x－m)(m＞0)是偶函数，则实数m的最小值是(　A　) A. B. C. D. 解析：①f(x)＝sin的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin[3(x－)＋]＝sin的图像，再将所有点的横坐标变为原来的，得到g(x)＝sin的图像．函数g(x)的最小正周期为T＝＝，故A错误． 令6x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－，∴函数g(x)的图像关于直线x＝－对称，故B正确． 当x∈时，6x－∈， ∴g(x)在上单调递增，最大值为g＝，故C错误． 令＋2kπ≤6x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋≤x≤＋(k∈Z)，∴g(x)的一个单调递减区间为，故D正确．故选BD. ②∵y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，∴函数的周期T＝2×＝π， ∴T＝＝π，∴ω＝2. ∵y＝f(x)的图像关于直线x＝对称， ∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝－＋(k－1)π，k∈Z. 又|φ|＜，∴φ＝－， ∴f(x)＝sin，f′(x)＝2cos. 令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 故f′(x)的单调减区间为，k∈Z. k＝0时，可得f′(x)的一个单调减区间为. 故选A. ③根据题意可得，g(x)＝Asin[2－]＝－Acos. 若函数g(x－m)(m＞0)是偶函数，则g(0－m)＝－Acos＝±A，即cos＝±1， ∴2m＋＝kπ，k∈Z，解得m＝－＋，k∈Z. 又∵m＞0，∴当k＝1时，m取得最小值.故选A. (普查题11)(12分)已知向量a＝(cosx，1)，b＝(2sinx，2)，x∈. (1)若a∥b，求x的值； (2)若c＝(cosx＋sinx，1)，d＝(cosx－sinx，1)，f(x)＝a·b－c·d，求f(x)的最小值和最大值，以及对应的x的值． 解：(1)因为a∥b，所以2cosx＝2sinx， 所以sinx＝cosx.(2分) 当x＝时，sinx＝cosx不成立；(4分) 当x∈∪时，cosx≠0， 所以tanx＝，解得x＝.(6分) (2)因为a＝(cosx，1)，b＝(2sinx，2)，c＝(cosx＋sinx，1)，d＝(cosx－sinx，1)， 所以f(x)＝a·b－c·d＝cosx·2sinx＋1×2－(cos2x－sin2x＋1×1)＝sin2x－cos2x＋1＝2sin＋1.(8分)　 因为x∈，所以2x－∈[π，π]，所以－≤sin≤1， 所以0≤f(x)＝2sin＋1≤3.(10分) 当f(x)＝0时，x＝π；当f(x)＝3时，x＝， 所以当x＝π时，f(x)取得最小值0；当x＝时，f(x)取得最大值3.(12分) 平面向量与解三角形 (普查题12)(10分) ①设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　A　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ ②已知在△ABC中，AB＝AC＝2，·＝－2，点P满足＝＋，则·＝(　A　) A．－ B. C．－ D. 解析：①(法一)∵＝3，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋. 故选A. (法二)∵＝3，＝－，＝－，∴－＝3(－)，∴＝－＋.故选A. ②∵·＝－2，AB＝AC＝2，∴2×2×cos(π－A)＝－2，∴cosA＝.∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC为等边三角形．以AC的中点O为坐标原点，以OA，OB所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(0，)，C(－1，0)，∴＝(1，)，＝(2，0)． ∵＝＋，∴＝(1，)＋(2，0)＝.∵C(－1，0)，∴点P的坐标为(，)，∴·＝·(－，)＝－－＝－.故选A. (普查题13)(25分)①已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋b与a－3b平行，则k的值为． ②已知向量a＝(3，1)，b＝(x，－2)，c＝(0，2)，若a⊥(b－c)，则实数x 的值为(　A　) A. B. C．－ D．－ ③已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　B　) A．4 B．－4 C. D．－ ④若向量a，b的夹角为，且＝2，＝1，则a与a＋2b的夹角为(　A　) A. B. C. D. ⑤已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，＝5，则＝ 5 ． 解析：①∵a＝(1，2)，b＝(－3，2)，∴ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．由ka＋b与a－3b平行，得－4·(k－3)－10·(2k＋2)＝0，解得k＝－. ②∵b＝(x，－2)，c＝(0，2)，∴b－c＝(x，－4)．又∵a＝(3，1)，a⊥(b－c)，∴a·(b－c)＝(3，1)·(x，－4)＝3x－4＝0，解得x＝.故选A. ③由4＝3，可设＝3k，＝4k(k>0)． ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝tcos〈m，n〉＋2＝t·3k·4k·＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，解得t＝－4.故选B. ④∵向量a，b的夹角为，且＝2，＝1， ∴a·b＝cos＝2×1×＝1， ∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝22＋2×1＝6，＝＝＝＝2.设a与a＋2b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.∵0≤θ≤π，∴θ＝，即a与a＋2b的夹角为.故选A. ⑤∵ a＝(2，1)，∴＝＝.∵＝5，a·b＝10，∴＝a2＋2a·b＋b2＝5＋20＋＝50，解得＝5. (普查题14)(20分)①在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝(　A　) A．1 B．2 C．3 D．4 ②在△ABC中，B＝120°，AB＝，角A的平分线AD＝，则AC＝． ③在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，b2－a2＝c2，则tanC＝(　A　) A．2 B．－2 C. D．－ ④如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m. 解析：①由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC，即13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A. ②如图所示，在△ABD中， 由正弦定理得＝，即＝， 所以sin∠ADB＝，且0°<∠ADB<60°， 从而∠ADB＝45°， 则∠BAD＝∠DAC＝15°，所以∠BAC＝30°，∠ACB＝30°，所以△BAC是等腰三角形，BC＝AB＝. 由正弦定理得AC＝＝. ③在△ABC中，∵A＝，∴由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos，∴b2－a2＝bc－c2. 又b2－ a2＝c2，∴bc－ c2＝c2， ∴b＝c, ∴b＝， ∴a2＝b2－c2＝c2，即a＝， ∴cosC＝＝＝. 又∵C∈(0，π)， ∴sinC＝＝，∴tan C＝＝2.故选A. ④依题意有AB＝600 m，∠CAB＝30°， ∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB， ∴∠ACB＝180°－105°－30°＝45°. 在△ABC中，由正弦定理＝， 得＝，∴CB＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝100(m)， 即此山的高度CD＝100 m. (普查题15)(12分)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. (1)求sin C的值； (2)若a＝7，求△ABC的面积． 解：(1)根据正弦定理＝，得sinC＝＝×sin60°＝×＝.(6分) (2)∵c<a，∴C<A， ∴cosC＝＝＝， ∴sinB＝sin[180°－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋cosAsinC ＝×＋×＝.(10分) 当a＝7时，c＝a＝3， ∴S△ABC＝acsinB＝×7×3×＝6.(12分) (普查题16) (12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝. (1)求A； (2)若，证明：△ABC是直角三角形． 解：(1)∵cos2＋cosA＝sin2A＋cosA＝1－cos2A＋cosA＝，∴cos2A－cosA＋＝0，解得cosA＝. 又A∈(0，π)，∴A＝.(6分) (2)证明：∵b－c＝a，A＝， ∴由正弦定理可得sinB－sinC＝sinA＝， ∴sinB－sin＝sinB－cosB－sinB＝sinB－cosB＝sin＝. ∵B∈，∴B－∈， ∴B－＝，解得B＝， ∴△ABC是直角三角形．(12分) (普查题17)(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为. (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长． 解：(1)∵△ABC的面积S＝，且S＝bcsinA， ∴＝bcsinA，∴a2＝bcsin2A，(3分) ∴由正弦定理得sin2A＝sinBsinCsin2A. 又∵sinA≠0，∴sinBsinC＝.(5分) (2)由(1)得sinBsinC＝， ∵A＋B＋C＝π， cosBcosC＝，∴cosA＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)＝sinBsinC－cosBcosC＝.(7分) 又∵A∈(0，π)，∴sinA＝. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9；① 由正弦定理得b＝·sinB，c＝·sinC, ∴bc＝·sinBsinC＝×＝8，②(10分) 由①②得b＋c＝，∴a＋b＋c＝3＋， 即△ABC的周长为3＋.(12分) 不等式与数列 (普查题18)(15分)①若a>b，则(　C　) A．ln(a－b)>0 B．3a<3b C．a3－b3>0 D．|a|>|b| ②设a>0，b>0，若2a＋b＝ab，则3a＋b的最小值为． ③若4x＋4y＝1，则x＋y的取值范围是 (－∞，－1] ． 解析：①(法一)A选项，只有当a－b>1时，才有ln(a－b)>0，故A错误； B选项，因为函数y＝3x是增函数，且a>b，所以3a>3b，故B错误； C选项，因为函数y＝x3是增函数，且a>b，所以a3>b3，故C正确； D选项，当b<a≤0时，有|a|<|b|，故D错误． 故选C. (法二)因为a>b，不妨取a＝0，b＝－1. A选项，ln(a－b)＝ln1＝0，故A错误； B选项，3a＝30＝1，3b＝3－1＝，3a>3b，故B错误； C选项，a3＝03＝0，b3＝(－1)3＝－1，a3－b3＝0－(－1)＝1>0，故C可能正确； D选项，|a|＝|0|＝0，|b|＝|－1|＝1，|a|<|b|，故D错误．故选C. ②由2a＋b＝ab得＋＝1. 又a>0，b>0，∴3a＋b＝(3a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝，即a＝1＋，b＝2＋时，等号成立． ③∵4x＋4y＝1，∴由基本不等式可得1＝4x＋4y≥2＝2，即4x＋y≤＝4-1，当且仅当x＝y＝－时取等号．根据指数函数y＝4x是增函数可得x＋y≤－1.故x＋y的取值范围是 (－∞，－1]． (普查题19)(20分)①记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝ -63 ． ②记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝ S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　B　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 ③在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为 12 ． ④朱世杰是中国历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千六百二十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人．其大意为“官府陆续派遣1624人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人”，则在该问题中的1624人全部派遣到位需要的天数为(　B　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：①(法一)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得Sn＝2an＋1＝2(Sn－Sn－1)＋1(n≥2)，整理，得Sn＝2Sn－1－1，即Sn－1＝2(Sn－1－1)．又由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，a1＝－1，S1－1＝－2，所以数列{Sn－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S6－1＝(S1－1)·25＝－64，所以S6＝－63. (法二)由Sn＝2an＋1，得Sn＋1＝2an＋1＋1， 两式相减，得an＋1＝2an. 又由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，a1＝－1， 所以数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列， 所以S6＝＝＝－63. ②设等差数列{an}的公差为d. (法一)因为3S3＝S2＋S4， 所以3(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝(a1＋a1＋d)＋(a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d)，即3(3a1＋3d)＝6a1＋7d， 将a1＝2代入，可得3(3×2＋3d)＝6×2＋7d， 解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. (法二)将3S3＝S2＋S4变形为S3＋(S3－S2)＝S4－S3，即S3＋a3＝a4.因为S3＝3a2，所以3a2＋a3＝a4. 又因为a2＋a3＝a1＋a4， 所以3a2＋a3＝2a2＋(a2＋a3)＝2a2＋a1＋a4＝a4， 所以2a2＋a1＝3a1＋2d＝0. 根据a1＝2，可知d＝－3， 所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. ③由已知条件a5＝，a6＋a7＝3，得 q＋q2＝3，整理得q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3.因为{an}是正项等比数列，所以q>0，即q＝2，所以an＝a5qn－5＝×2n－5＝2n－6，所以数列{an}是首项为2－5＝，公比为2的等比数列， 所以a1＋a2＋…＋an＝＝(2n－1)， a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝＝. 由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可得2n>＋1， 则2n>，即<n， 解得<n<. 由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，是12. ④设官府第n天派出的人数为an，则根据题意可知{an}为等差数列，且首项a1＝64，公差d＝8. 设1624人全部派遣到位需要的天数为n， 则64n＋×8＝1624，解得n＝14或n＝－29(舍)． 故选B. (普查题20)(10分)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.求证： 是等差数列． 证明：(法一)由a1＝，an＋2SnSn－1＝0， 得Sn≠0，SnSn－1＝－an，(3分) ∴－＝＝＝2(n≥2)，(9分) 故是等差数列．(10分) (法二)当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.(5分) ∵a1＝，an＋2SnSn－1＝0， ∴Sn≠0，∴两边同除以－SnSn－1， 得－＝2，故是等差数列．(10分) (普查题21)(12分)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意得 即解得或(4分) 故或(6分) (2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，(7分) 于是，Tn＝1＋＋＋＋＋…＋①，　　　　 Tn＝＋＋＋＋＋…＋②， ①－②，得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，(10分) 故Tn＝6－.(12分) (普查题22)(18分)在①a3＋a5＝5，S4＝7；②4Sn＝n2＋3n；③5S4＝14S2，a5是a3与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若______， (1)求an； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn； (3)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Rn. 解：(1)选①. 设等差数列{an}的公差为d， 则解得(4分) ∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋＝.(6分) 选②. ∵4Sn＝n2＋3n，∴当n≥2时， 4an＝4Sn－4Sn－1＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2， 即an＝(n≥2)．(4分) 当n＝1时，a1＝S1＝＝1，符合上式， ∴an＝.(6分) 选③. 设等差数列{an}的公差为d， 则 解得或(舍)，(4分) ∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋＝.(6分) (2)由(1)可知bn＝＝＝2，(8分) ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝2(－＋－＋…＋－) ＝2＝.(12分) (3)∵cn＝＝＝－，(13分) ∴Rn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋ ＝－＝－＝.(18分) 立体几何 (普查题23)(5分)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为(　C　) 单檐八角亭正立面图 A. B. C. D. 解析：设O为底面正八边形的外接圆的圆心， 连接OA，OB，OS，则SO⊥底面AOB. 过点S作SC⊥AB于点C，连接OC，则OC⊥AB. 因为∠SAB＝α，所以AC＝SA·cosα，所以SA＝. 在底面正八边形中，∠AOB＝＝， 所以∠OAB＝＝， 所以OA＝， 所以＝＝.故选C. (普查题24)(5分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是(　B　) A．m∥D1Q B．m∥平面B1D1Q C．m⊥B1Q D．m⊥平面ABB1A1 解析：∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD∥B1D1. 又B1D1⊄平面BDP，BD⊂平面BDP， ∴B1D1∥平面BDP. ∵平面BDP∩平面B1D1P＝m，∴m∥B1D1. 又∵B1D1与D1Q相交，∴m与D1Q不平行，A错误． ∵m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q， ∴m∥平面B1D1Q，B正确． 易知D1Q＝B1Q，∴∠D1B1Q<90°， 又∵m∥B1D1，∴m与B1Q不垂直，C错误． 易知B1D1是平面ABB1A1的斜线， ∴m不垂直于平面ABB1A1，D错误．故选B. (普查题25)(10分)①已知△PAD所在的平面与矩形ABCD所在的平面相互垂直，且PA＝PD＝AB＝2，∠APD＝60°.若点P，A，B，C，D都在同一个球面上，则此球的表面积为(　B　) A.　 B. 　C.π 　 D.π ②已知三棱锥O－ABC中， A，B，C三点均在球心为O的球面上，且AB＝BC＝1, ∠ABC＝120°，若球O的体积为，则三棱锥O－ABC的体积是 ． 解析：①∵PA＝PD＝2，∠APD＝60°， ∴△PAD为等边三角形，∴AD＝2. 在矩形ABCD中，AB＝AD＝2， ∴BD＝＝2. 设AC∩BD＝E，则BE＝. 设该球的球心为O，半径为R，△PAD的中心为H，连接OE，OB，OH，如图所示． ∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上， ∴OB＝R，OE⊥平面ABCD，OH⊥平面PAD. 连接PH，并延长交AD于点M，连接EM. 易证四边形OEMH为矩形， ∴OE＝HM＝PM＝， ∴R2＝OB2＝OE2＋BE2＝＋()2＝， ∴此球的表面积S＝4πR2＝4π×＝.故选B. ②设球O的半径为R，则球的体积V＝πR3＝，解得R＝4. ∵AB＝BC＝1，∠ABC＝120°， ∴AC＝，S△ABC＝×1×1×sin120°＝. 设△ABC的外接圆的圆心为G，则外接圆的半径GA＝＝1. ∵A，B，C三点均在球O的球面上， ∴OG⊥平面ABC， ∴OG为三棱锥O－ABC中底面ABC上的高． 又OG＝＝＝， ∴三棱锥O－ABC的体积为V＝S△ABC·OG＝××＝. (普查题26)(12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F，G分别是棱CC1，AA1的中点，E，M分别为棱AB，A1B1上一点，B1M＝3MA1，GM∥平面B1EF，平面GMF∩平面B1EF＝m. (1)证明：m∥平面B1EC； (2)若四棱锥F－B1MGE的体积为，求正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积． 解：(1)证明：∵GM∥平面B1EF，GM⊂平面GMF，平面GMF∩平面B1EF＝m， ∴GM∥m.(2分) ∵GM∥平面B1EF，GM⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面B1EF＝B1E， ∴GM∥B1E，∴m∥B1E. 又∵B1E⊂平面B1EC，m⊄平面B1EC， ∴m∥平面B1EC.(5分) (2)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4a. 由GM∥B1E可得E为AB中点， ∴＝×2a×a＝a2， S△AGE＝×2a×2a＝2a2， ＝×2a×4a＝4a2， ∴＝(4a)2－a2－2a2－4a2＝9a2.(8分) ∵四棱锥F－B1MGE的体积为， ∴×9a2×4a＝，解得a＝， ∴正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， ∴正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为6×22＝24.(12分) (普查题27)(12分)如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． 解：(1)证明：(法一)如图，连接OB. 在△ABC中，因为AB＝BC＝2，AC＝4， 所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC. 又因为O为AC的中点， 所以OB＝OA＝OC＝2.(2分) 在△PAC中，因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点， 所以PO⊥AC，PO＝2.(4分) 又因为PB＝4，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB. 又因为AC，OB⊂平面ABC，AC∩OB＝O， 所以PO⊥平面ABC.(6分) (法二)如图，取BC中点N，连接PN，ON. 在△ABC中，因为AB＝BC＝2，AC＝4， 所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC. 因为O为AC的中点，N为BC的中点， 所以ON∥AB，所以ON⊥BC.(2分) 因为在△PBC中，PB＝PC，N为BC的中点， 所以PN⊥BC. 又因为ON，PN⊂平面PON，ON∩PN＝N， 所以BC⊥平面PON. 因为PO⊂平面PON，所以BC⊥PO.(4分) 因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点， 所以PO⊥AC. 又因为AC，BC⊂平面ABC，AC∩BC＝C， 所以PO⊥平面ABC.(6分) (2)如图，过点C作CG⊥OM，垂足为G. 由(1)得PO⊥平面ABC. 又PO⊂平面POM， 所以平面POM⊥平面ABC. 又因为CG⊥OM，CG⊂平面ABC，平面POM∩平面ABC＝OM， 所以CG⊥平面POM，即点C到平面POM的距离为CG的长．(8分) 易得在△OCM中，OC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°， 所以OM＝＝.(10分) 因为OC·CM·sin∠OCM＝OM·CG， 所以CG＝＝.(12分) 解析几何 (普查题28)(20分)①在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是 4 ． ②设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　B　) A．6　 B．4　 C．3　 D．2 ③已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　C　) A．2 B．4 C．6 D．2 ④已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①(法一)由题意可设点P的坐标为(x0，x0＋)(x0>0)，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥×2＝4，当且仅当x0＝时等号成立，所以点P到直线x＋y＝0的距离的最小值为4. (法二)由y＝x＋(x>0)，得y′＝1－(x>0)， 设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋(x>0)相切于点P， 所以1－＝－1(x0>0)，所以x0＝，即P(，3)． 易知点P为曲线y＝x＋(x>0)上到直线x＋y＝0的距离最小的点，距离的最小值为＝4. ②由题意知圆心坐标为(3，－1)，圆的半径为2.易得直线x＝－3与圆相离，∴|PQ|的最小值为圆心到直线x＝－3的距离减去圆的半径，∴|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故选B. ③(法一)将圆C的一般方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0化为标准方程，得(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心C(2，1)，半径r＝2.由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2，1)，∴2＋a－1＝0，解得a＝－1，∴点A(－4，－1)． 在Rt△ABC中，∵|AC|＝＝2，|CB|＝r＝2， ∴|AB|＝＝＝6.故选C. (法二)由法一得点A(－4，－1)，切线长|AB|＝＝6.故选C. ④将圆的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝9，可知圆心坐标为C(3，0)，半径r＝3.设点D(1，2)，可知|CD|＝＝2<r.易知当过点D的直线与CD垂直时，被圆截得的弦长取得最小值，可得弦长最小值为2＝2×＝2.故选B. (普查题29)(多选)(5分)已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且＝8，弦AB过F1，则下列结论正确的是(　AC　) A．椭圆C的方程为＋＝1 B．椭圆C的离心率为 C．△ABF2的周长为4 D．双曲线－＝1与椭圆C共焦点 解析：∵a＞5，∴椭圆的焦点在x轴上． ∵|F1F2|＝8，∴c＝4，∴a2－25＝42，∴a＝， ∴椭圆C的方程为＋＝1，选项A正确． 离心率e＝＝＝，选项B错误． 由椭圆的定义，可得△ABF2的周长为|AB|＋|F2A|＋|F2B|＝|BF1|＋|BF2|＋|F2A|＋|F1A|＝4a＝4，选项C正确． 易知双曲线－＝1的两个焦点分别为(－2，0)，(2，0)，椭圆C的两个焦点分别为 (－4，0)，(4，0)，选项D错误．故选AC. (普查题30)(5分)已知F1，F2是椭圆C: ＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△F1PF2的面积为3，则b＝ 3 ． 解析：(法一)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∵△F1PF2的面积为3，∠F1PF2＝60°，∴＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝r1r2＝3，∴r1r2＝12.根据余弦定理，可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，即4c2＝4a2－3r1r2，∴4b2＝3r1r2＝36，解得b＝3. (法二)∵＝b2tan＝b2tan30°＝b2＝3，∴b＝3. (普查题31)(20分)①已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　A　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 ②已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为 2 ． ③已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的渐近线方程为． ④双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　A　) A. B. C．2 D．3 解析：①∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l上，l与x轴交于(－5，0)，∴ 又a2＋b2＝c2，∴a＝2，b＝，∴双曲线的方程为－＝1.故选A. ②由题可知点A的坐标为(a，0)． 设双曲线C的半焦距为c，离心率为e. ∵B为C上的点，且BF垂直于x轴， ∴B. 又AB的斜率为3，∴B在x轴上方， ∴B，∴＝3. 将b2＝c2－a2代入上式，化简可得c2＝3ac－2a2， 两边同时除以a2，得＝－2，即e2－3e＋2＝0， 又e>1，∴解得e＝2. ③如图，|OA|＝a，|AN|＝|AM|＝b. ∵∠MAN＝60°，∴|AP|＝b， ∴|OP|＝＝， ∴tanθ＝＝. 又∵tanθ＝，∴＝，解得a2＝3b2， ∴C的渐近线方程为y＝±x. ④由双曲线方程得a2＝4，b2＝2.又a，b，c>0，∴a＝2，b＝，c＝＝＝|OF|. ∵|PO|＝|PF|，∴xP＝.易得双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点P在渐近线y＝x上，则yP＝xP＝×＝，∴S△PFO＝|OF|·yP＝××＝.故选A. (普查题32)(20分)①已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝ 6 ． ②已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝. ③过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若＝3，则△AOB的面积为(　C　) A. B. C. D．2 ④设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为 (x＋1)2＋(y－)2＝1 ． 解析：①由抛物线C：y2＝8x得p＝4，∴抛物线的焦点F的坐标为(2，0)．∵M是FN的中点，点N在y轴上，∴根据中点坐标公式，得xM＝＝1.又∵M在抛物线上，∴|FM|＝xM＋＝3，|FN|＝2|FM|＝6. ②易得双曲线的渐近线方程为y＝±x. ∵双曲线的离心率为2，∴＝2，∴＝. 由解得或 ∴A(不妨设A为x轴上方的点)． 由抛物线的对称性，得△AOB的面积为2×××＝，即p2＝，解得p＝或p＝－(舍去)． ③由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，则＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2.设AB的方程为x＝ty＋1，联立直线AB与抛物线的方程，得消去x得y2－4ty－4＝0，∴y1y2＝－4，∴y2＝－，∴△AOB的面积S△AOB＝·|OF|·＝.故选C. ④易知抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1，0)，故可设圆心坐标为C(－1，m)，则A(0，m)， ∴＝(－1，0)，＝(1，－m)， ∴cos∠CAF＝＝＝－， 解得m＝±. ∵圆C与y轴的正半轴相切，∴m＝，∴所求圆的圆心为(－1，)，半径为1，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 计数原理 (普查题33)(15分)①某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有(　B　) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 ②2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是(　C　) A．36 B．24 C．72 D．144 ③从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 6 种．(用数字填写答案) 解析：①要将4人分配到3个班级，每个班级至少要分配1人，则3个班级分配的人数分别为2，1，1.先把4人分成三组，从4人中选2人组成1组，其余两人各为1组，然后全排列，得CA＝36.故选B. ②根据题意，把3位女生中的两位捆绑在一起看作一个元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，有AAA＝72(种)排列方法．故选C. ③(法一)选1名女生的方法种数为CC＝12，选2名女生的方法种数为CC＝4，所以至少有1名女生的不同选法种数为12＋4＝16. (法二)用间接法，6名学生选3名的方法种数为C＝20，其中全是男生的选法种数为C＝4，所以至少有1名女生的不同选法种数为20－4＝16. (普查题34)(15分)①(2x＋)5的展开式中，x3的系数是 10 ．(用数字填写答案) ②在的展开式中，所有项的系数之和记为S，第r项的系数记为Pr.若＝38，则的值为 2或-4 ． ③(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　)　 A．5 B．10 C．15 D．20 解析：①(2x＋)5的展开式的通项为C(2x)5－r·()r＝25－rC (r＝0，1，2，…，5)．令5－＝3，得r＝4，∴x3的系数是2C＝10. ②由题意知，第r项的系数Pr＝C·a9－r·br－1，∴P9＝b8.令x＝1，则展开式所有项的系数之和S＝(a＋b)8， ∴＝38＝＝8，∴1＋＝3或－3，故＝2或－4. ③因为(x＋y)5＝， 所以要求x3y3的系数，即求(x2＋y2)(x＋y)5的展开式中x4y3的系数． (x2＋y2)(x＋y)5的展开式中含x4y3的项为x2·Cx2y3＋y2·Cx4y＝15x4y3，故(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为15.故选C. 概率与统计 (普查题35)(15分)①设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　A　) A. B. C. D. ②生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　B　) A. B. C. D. ③已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，则P(X>4)＝ 0.15865 ． 解析：①(法一：排列组合法)从O，A，B，C，D中任取3点，样本空间包含C＝10(个)样本点，且每个样本点都是等可能发生的，其中取到的3点共线包含的结果有OAC，OBD，共2 个，故取到的3点共线的概率为P＝＝.故选A. (法二：列举法)从O，A，B，C，D中任取3点，该试验的样本空间Ω＝{OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD}，共有10个样本点，且各个样本点出现的可能性相等，其中取到的3点共线的结果有OAC，OBD，共2个，故取到的3点共线的概率为P＝＝.故选A. ②(法一)记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中随机取出3只，该试验的样本空间Ω＝{ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE}，共10个样本点，且各个样本点出现的可能性相等，其中恰有2只测量过该指标的结果有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6个，所以所求事件的概率P＝＝.故选B. (法二)设X表示取出的兔子中测量过某项指标的兔子的数量，则X服从超几何分布，其中M＝3，N＝5，n＝3，则恰有2只测量过该指标的概率为P(X＝2)＝＝.故选B. ③由题意得μ＝3，故P(3≤X≤4)＝P(2≤X≤4)＝0.34135.观察下图可得，P(X>4)＝0.5－P(3≤X≤4)＝0.5－0.34135＝0.15865. (普查题36)(10分)①若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　C　) A．8 B．15 C．16 D．32 ②为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　B　) A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 解析：①因为样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则其方差为64，由方差的性质知数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为4×64＝256，标准差为＝16.故选C. ②平均数是反映数据的集中趋势的一项指标，故A选项错误；标准差或方差反映数据的离散程度，可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度，故B选项正确；最大值是一组数据中最大的一个量，不能反映整组数据的稳定程度，故C选项错误；中位数是反映数据的集中趋势的一项指标，故D选项错误．故选B. (普查题37)(10分)①(多选)在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成．如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是(　AB　) A．甲、乙的五项能力指标的均值相同 B．甲、乙的五项能力指标的方差相同 C．如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力 D．如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力 ②某科研型企业，每年都对应聘入职的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重之比．每年入职的大学生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，50)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.83x－85.71，则下列结论中不正确的是(　D　) A．y与x具有线性正相关关系 B．经验回归直线过样本点的中心 C．若应聘大学生身高增加1 cm，则体重约增加0.83 kg D．若某应聘大学生身高为170 cm，则可断定其体重必为55.39 kg 解析：①甲的五项能力指标为6，5，4，5，4， 乙的五项能力指标为6，4，5，4，5， 由于甲、乙的五项能力指标的数据相同(只是顺序不同)，所以均值相同，方差也相同，故选项A，B正确； 从控制力、决断力、前瞻力考虑，甲的均值为，乙的均值为，所以甲的领导力高于乙的领导力，故选项C不正确； 从影响力、控制力、感召力考虑，甲、乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲、乙水平相当，故选项D不正确．故选AB. ②由于经验回归方程中x的系数为0.83，因此y与x具有线性正相关关系，故A正确； 由于经验回归直线必过样本点的中心，故B正确； 由经验回归方程中系数的意义知，身高x每增加1 cm，体重约增加0.83 kg，故C正确； 当某大学生的身高为170 cm时，其体重估计值是55.39 kg，而不是确定值，故D错误．故选D. (普查题38)(12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图所示的直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)． 解：(1)C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70，则由频率分布直方图得 解得(6分) (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 ＝2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 ＝3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.(12分) (普查题39)(12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表： SO2 PM2.5 [0，50] (50，150] (150，475] [0，35] 32 18 4 (35，75] 6 8 12 (75，115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表： SO2 PM2.5 [0，150] (150，475] [0，75] (75，115] (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关． 附：χ2＝. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率P＝＝0.64.(4分) (2)根据所给数据，可得下面的2×2列联表： SO2 PM2.5 [0，150] (150，475] [0，75] 64 16 (75，115] 10 10 (8分) (3)根据(2)中的列联表，可得χ2＝≈7.484>6.635，因此有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．(12分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 复数 (普查题40)(25分)①复数z＝(1－2i)(3＋i)，其中i为虚数单位，则z的实部是 5 ，虚部是 -5 ． ②设z＝＋2i，则|z|＝(　C　) A．0　 B.　 C．1　 D. ③若z＝1＋2i，则＝ i ． ④已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　C　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 ⑤若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　B　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：①∵z＝3－6i＋i＋2＝5－5i， ∴z的实部为5，虚部为－5. ②(法一)∵z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，∴|z|＝＝1，故选C. (法二)∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，∴|z|＝1，故选C. ③∵z＝1＋2i，∴＝1－2i， ∴＝＝＝i. ④(1＋ai)i＝i＋ai2＝i－a＝－a＋i＝3＋i， 利用复数相等的充分必要条件可得－a＝3，∴a＝－3. 故选C. ⑤∵(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，∴解得a<－1.故选B. B　综合能力普查卷 三角函数与解三角形 (普查题41)(5分)函数y＝cosx·sin2x的最小值为(　B　) A．－1 B．－ C．－2 D．－ 解析：y＝cosx·sin2x＝2sinxcos2x＝2sinx(1－sin2x)＝2sinx－2sin3x. 令t＝sinx，则－1≤t≤1.设f(t)＝2t－2t3(－1≤t≤1)， 则f ′(t)＝2－6t2，令f ′(t)＝0，解得t＝±. 当－1≤t≤1，t变化时， f(t), f ′(t)的变化如下： t (－1，－) － (－，) f ′(t) － 0 ＋ f(t)  极小值  t (，1) f ′(t) 0 － f(t) 极大值  ∵f ＝－， f(1)＝0>－， ∴f(t)min＝－，∴y＝cosx·sin2x的最小值为－. 故选B. (普查题42)(5分)关于函数f(x)＝＋有下述五个结论： ①f(x)是偶函数； ②f(x)∈； ③f(x)的最小正周期是π；　 ④f(x)的图像的对称轴是直线x＝kπ＋(k∈Z)； ⑤f(x)在区间上单调递增． 其中正确的结论有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：易知函数f(x)的定义域为R. 因为f(－x)＝＋＝＋＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，故①正确． 因为f＝＋＝＋＝f(x)， 所以是函数f(x)的一个周期，故③错误． 当x∈时，f(x)＝sinx＋cosx＝sin， x＋∈， 则f(x)∈，故②正确． 易知f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的最小正周期为. 由f(x)的周期性，可得f(x)在上单调递增，在上单调递减，故⑤错误． 易知f(x)的图像关于直线x＝对称，又f(x)为偶函数，f(x)的最小正周期是，所以f(x)的图像的对称轴为x＝(k∈Z)，故④错误．故选B. (普查题43)(15分)①某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2. ②若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝；的取值范围是 (2,+∞) ． ③已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD＝AB，则＋的取值范围是． 解析：①连接OA，作AM⊥EF，分别交OH，DG，EF于S，N，M，过点O作OQ⊥DQ，垂足为Q. ∵A到直线DE和EF的距离均为7， ∴EM＝AM＝7. 又∵EF＝12，MN＝DE＝2，∴NG＝MF＝12－7＝5，AN＝AM－NM＝7－2＝5，∴∠AGD＝45°. ∵BH∥DG，∴∠AHO＝45°. ∵AG是圆弧的切线，∴AG⊥OA，∠AOH＝45°. 设OA＝R，则AS＝OS＝，OQ＝SN＝5－，DQ＝DN－QN＝7－. ∵tan∠ODC＝，∴＝，解得R＝2. 图中阴影部分面积等于扇形AOB、Rt△AOH的面积之和减去小半圆的面积， ∴S阴影＝×π×(2)2＋×2×2－×π×1＝π＋4. 故阴影面积为cm2. ②因为△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，所以acsinB＝(a2＋c2－b2)．由余弦定理得cosB＝，所以acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，化简整理得＝tanB＝. 又0<B<π，所以B＝. 由正弦定理得＝＝＝cosB＋＝＋·.因为C为钝角，所以A∈，所以tanA∈，所以∈(，＋∞)，所以＝＋·∈(2，＋∞)． ③设CD＝h.因为AB边上的高为CD，且2CD＝AB，所以2h＝c.又S△ABC＝c·h＝absin∠ACB，所以c2＝absin∠ACB，即c2＝2absin∠ACB＝a2＋b2－2abcosC，所以a2＋b2＝2absin∠ACB＋2abcos∠ACB. 两边同时除以ab，得＋＝2(sin∠ACB＋cos∠ACB)＝2sin(∠ACB＋)≤2，当且仅当∠ACB＝时，等号成立． 又＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，所以＋的取值范围是[2，2]． (普查题44)(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝f(x)． (1)求f(x)的解析式； (2)若f＝，求sinθ的值． 解：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos ＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)cos－sin(ωx＋φ)sin ＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin. ∵f(x)的最小正周期为π，且ω>0， ∴＝π，∴ω＝2.(4分) ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数， ∴φ＋＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)． 又0<φ<π，∴φ＝， ∴f(x)＝sin＝cos2x.(7分) (2)∵f＝，∴cos＝， ∴cos＝，∴sin＝－， ∴cos＝±，(10分) ∴sinθ＝sin ＝sincos－cossin ＝－×－×＝， 即sinθ＝或 .(12分) (普查题45)(12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角． (1)证明：B－A＝； (2)求sinA＋sinC的取值范围． 解：(1)证明：由a＝btan A及正弦定理， 得＝＝. 易知sinA≠0， 所以sinB＝cosA，即sinB＝sin.(3分) 又B为钝角，所以B＝＋A，即B－A＝.(5分) (2)由(1)知C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以sinA＋sinC＝sinA＋sin ＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1 ＝－22＋，A∈.(9分) 因为0＜sinA＜， 所以＜－22＋≤. 故sinA＋sinC的取值范围是.(12分) 数列 (普查题46)(多选)(5分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.数列{bn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　BCD　) A．a1＝3 B．数列{bn}是等比数列 C．an＝3n－1 D．Sn＝－ 解析：令n＝1，得a1b2＋b2＝b1. 又b1＝1，b2＝， ∴a1＝2.故A错误． 又∵数列{an}是公差为3的等差数列， ∴an＝2＋3(n－1)＝3n－1.故C正确． ∵anbn＋1＋bn＋1＝nbn，即(3n－1)bn＋1＋bn＋1＝nbn， ∴bn＋1＝bn. 又∵b1＝1，∴数列{bn}是等比数列，且公比为.故B正确． 数列{bn}的前n项和为Sn＝＝－.故D正确．故选BCD. (普查题47)(10分)在①a3＝T3，②a3＝T＋1，③a3＝－5b2＋2这三个条件中任选一个补充在下面问题中并作答． 设等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝b1＝1，____________，a2＝b3.若Tn＞S10，求n的最小值． 解：设等比数列{bn}的公比为q， 由题意得bn＝qn－1，an＝1＋(n－1)d. 选条件①： 由题意得解得或 因为d＞0，所以(4分) 所以S10＝1×10＋×3＝145，Tn＝＝2n－1.(8分) 因为Tn＞S10，所以2n－1>145，所以2n>146. 易知函数y＝2x单调递增，且27＝128，28＝256， 所以n≥8，即n的最小值为8.(10分) 选条件②： 由题意得解得或 因为d＞0，所以(4分) 所以S10＝1×10＋×8＝370，Tn＝＝.(8分) 因为Tn＞S10，所以>370，所以3n>741. 易知函数y＝3x单调递增，且36＝729，37＝2187， 所以n≥7，即n的最小值为7.(10分) 选条件③： 由题意得解得或 因为d＞0，所以(4分) 所以S10＝1×10＋×8＝370，Tn＝＝.(6分) 因为Tn＞S10，所以>370，所以(－3)n<－1479. 易知n为奇数，且3n>1479.(8分) 由35＝243，37＝2187，得n≥7， 所以n的最小值为7. (10分) (普查题48)(10分)在①b4＝S2＋1，②b8＝2a3－1，③b1＋b11＝18这三个条件中任选两个补充在下面问题中并作答． 已知各项均为正数的数列{an}满足：3an＝2Sn＋1，其中Sn为数列{an}的前n项和．等差数列{bn}满足：____________，__________．若对于任意的n∈N*，·k≥bn＋1恒成立，求实数k的取值范围． 解：已知3an＝2Sn＋1， 当n＝1时， 3a1＝2a1＋1，∴a1＝1. 当n≥2时，3an＝2Sn＋1，3an－1＝2Sn－1＋1， 两式相减得3an－3an－1＝2(Sn－Sn－1)＝2an，整理得＝3， ∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴an＝a1·3n－1＝1×3n－1＝3n－1，Sn＝＝.(3分) 设数列{bn}的公差为d. 选择条件①②： b4＝S2＋1＝5，b8＝2a3－1＝2×9－1＝17. ∵{bn}为等差数列，∴b8－b4＝4d＝17－5＝12，∴d＝3， ∴bn＝b4＋(n－4)d＝5＋(n－4)×3＝3n－7，(5分) ∴原不等式可以转化为·k≥3n－7＋1，即·k≥3n－6，即k≥对于任意的n∈N*恒成立． 令cn＝，则cn－cn－1＝－＝(n≥2)． 当2≤n≤3时，cn－cn－1>0，即cn>cn－1； 当n≥4时，cn－cn－1<0，即cn<cn－1， ∴(cn)max＝c3＝，∴k≥. (10分) 选择条件①③： b4＝S2＋1＝5. ∵{bn}为等差数列，∴b6＝(b1＋b11)＝9， ∴2d＝b6－b4＝9－5＝4，∴d＝2， ∴bn＝b4＋(n－4)d＝5＋2(n－4)＝2n－3，(5分) ∴原不等式可以转化为·k≥2n－2， 即k≥对任意n∈N*恒成立． 令cn＝，则cn－cn－1＝－＝(n≥2)． 当n＝2时，cn－cn－1＞0，即cn＞cn－1； 当n≥3时，cn－cn－1＜0，即cn＜cn－1， ∴(cn)max＝c2＝，∴k≥.(10分) 选择条件②③： b8＝2a3－1＝2×9－1＝17. ∵{bn}为等差数列，∴b6＝(b1＋b11)＝9， ∴2d＝b8－b6＝17－9＝8，∴d＝4， ∴bn＝b6＋(n－6)d＝9＋4(n－6)＝4n－15，(5分) ∴原不等式可以转化为·k≥4n－14， 即k≥对任意n∈N*恒成立． 令cn＝，则cn－cn－1＝－＝(n≥2)． 当2≤n≤5时，cn－cn－1≥0，即cn≥cn－1，且仅当n＝5时取等号； 当n≥6时，cn－cn－1＜0，即cn＜cn－1，∴(cn)max＝c5＝c4＝，∴k≥.(10分) 概率与统计 (普查题49)(10分) ①夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为(　C　) A. B. C. D. ②某乒乓球训练馆使用的球是A，B，C三种不同品牌标准比赛球，以往使用的记录数据如下： 品牌名称 合格率 购买球占比 A 98% 0.2 B 99% 0.6 C 97% 0.2 若这些球在盒子中是均匀混合的，且无区别的标志，现从盒子中随机地取一只球用于训练，则它是合格品的概率为(　B　) A．0.986 B．0.984 C．0.982 D．0.980 解析：①记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为P(A|B)＝＝＝.故选C. ②将A，B，C三种品牌分别记为第1，第2，第3个品牌， 设“取到的球是第i个品牌(i＝1，2，3)”为事件Mi， 则Ω＝M1∪M2∪M3，且M1，M2，M3两两互斥． 设“取到的是一个合格品”为事件N， 则P(N)＝P(M1N)＋P(M2N)＋P(M3N) ＝P(M1)P(N|M1)＋P(M2)P(N|M2)＋P(M3)P(N|M3) ＝0.2×0.98＋0.6×0.99＋0.2×0.97＝0.984. 故选B. (普查题50)(12分)某中学用简单随机抽样的方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下： n(次) [0，3) [3，6) [6，9) [9，12) [12，15) [15，18] 男同学 人数 7 15 11 12 2 1 女同学 人数 5 13 20 9 3 2 若将社会实践不低于12次的学生称为“社会实践标兵”． (1)将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？ (2)从样本的“社会实践标兵”中随机抽取4名同学参加社会实践表彰活动． ①设A为事件“抽取的4名同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率； ②用X表示抽取的4名“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 解：(1)样本中社会实践不低于12次的学生有8人，∴估计该校学生中“社会实践标兵”有1600×＝128(人)．(3分) (2)①8名“社会实践标兵”中有男同学3人，女同学5人． 为“抽取的4名同学全是女同学”， ∴P(A)＝＝， ∴P(A)＝1－P()＝1－＝.(6分) ②由题意知，X所有可能的取值为0，1，2，3. 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.(8分) 则X的分布列如下： X 0 1 2 3 P (10分) ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(普查题51)(12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率； (2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望． 解：(1)设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P(A)＝××＝， P(B)＝C2××＝， P(C)＝C2×2×＝.(5分) (2)X的所有可能值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝P(A)＋P(B)＝， P(X＝1)＝P(C)＝， P(X＝2)＝C×2×2×＝， P(X＝3)＝3＋C2××＝，(10分) ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分) (普查题52) )(12分)第22届国际足联世界杯于2022年11月20日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和数学期望． (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙3名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1=1,p2=0. ①试证明：为等比数列; ②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小. 解：(1)依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p＝×＝.(1分) 门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0，1，2，3.易知X～B， 所以P(X＝k)＝C××，k＝0，1，2，3，(2分) 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)＝3×＝.(6分) (2)①第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn， 则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的概率为pn－1， 第n－1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－pn－1， 则pn＝pn－1×0＋(1－pn－1)×＝－pn－1＋，(8分) 即pn－＝－. 又p1－＝， 所以是以为首项，－为公比的等比数列．(10分) ②由①可知pn＝＋， 所以p10＝＋<， 由题意知， q10＝(1－p10)＝[－]>， 故p10<q10.(12分) 立体几何 (普查题53)(12分)图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图2中的二面角B－CG－A的大小． 解：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．(3分) 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC， 又BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE， 所以AB⊥平面BCGE. 又AB⊂平面ABC， 所以平面ABC⊥平面BCGE.(6分) (2)过点E作EH⊥BC，垂足为H. 因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC， 平面ABC∩平面BCGE＝BC，所以EH⊥平面ABC. 又菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°， 所以BH＝1，EH＝.(7分) 以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，过H且平行于AB的直线为y轴，EH所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz， 则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，)，＝(1，0，)，＝(2，－1，0)．(8分) 设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝－，则n＝(3，6，－)．(10分) 又平面BCGE的一个法向量为m＝(0，1，0)， 所以cos<n，m>＝＝. 根据图形易知所求的二面角为锐角，因此二面角B－CG－A的大小为30°.(12分) (普查题54)(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点． (1)求证：C1M⊥B1D； (2)求二面角B－B1E－D的正弦值； (3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，3)，B1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3)．(2分) ∵＝(1，1，0)，＝(2，－2，－2)， ∴·＝2－2＋0＝0，∴C1M⊥B1D.(4分) (2)由(1)可知＝(0，2，1)，＝(2，0，－1)． 设n＝(x，y，z)为平面DB1E的法向量， 则即 令x＝1，得n＝(1，－1，2)．(6分) 易知＝(2，0，0)是平面BB1E的一个法向量， ∴cos<，n>＝＝， ∴sin<，n>＝＝， ∴二面角B－B1E－D的正弦值为.(8分) (3)由(2)知，n＝(1，－1，2)为平面DB1E的一个法向量． 又＝(－2，2，0)，∴cos<，n>＝＝－， ∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为.(12分) (普查题55)(12分)如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点． (1)求证：MN∥平面ABCD； (2)求二面角D1－AC－B1的正弦值； (3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长． 解：(1)证明：如图，以A为原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．因为AD＝CD＝，AC＝AA1＝2，所以D到AC的距离为2，到AB的距离为1.又AB＝1，所以可得A(0，0，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，D1(1，－2，2)． 因为M，N分别为B1C和D1D的中点， 所以M，N(1，－2，1)， 所以＝. 易知n＝(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量， 因为·n＝0，且直线MN⊄平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD.(4分) (2)由(1)知＝(1，－2，2)，＝(2，0，0)，＝(0，1，2)． 设n1＝(x1，y1，z1)为平面ACD1的法向量， 则即 不妨设z1＝1，可得n1＝(0，1，1)．(5分) 设n2＝(x2，y2，z2)为平面ACB1的法向量， 则即 不妨取z2＝1，可得n2＝(0，－2，1)，(6分) 所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－. 又〈n1，n2〉∈[0，π] ，所以sin〈n1，n2〉＝， 所以二面角D1－AC－B1的正弦值为.(8分) (3)设＝λ＝λ(0，1，0)，其中λ∈[0，1]，则E(0，λ，2)．又N(1，－2，1)，所以＝(－1，λ＋2，1)． 因为n＝(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量， 所以由已知得＝＝＝，(11分) 整理得λ2＋4λ－3＝0. 因为λ∈[0，1]，所以解得λ＝－2， 所以线段A1E的长为－2.(12分) 圆锥曲线 (普查题56)(12分)已知椭圆C：(a>b>0)的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点． 解：(1)由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)，可得b＝c＝1，所以a＝＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.(3分) (2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1，x2≠0)． 联立 消去y，整理得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0， 易知Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＞0， 所以2k2＋1>t2，x1＋x2＝－，x1x2＝.(6分) 直线AP的方程为y＝x＋1， 令y＝0，可得x＝，即M； 直线AQ的方程为y＝x＋1， 令y＝0，可得x＝，即N.(8分) 因为|OM|·|ON|＝2，所以＝2. 又(1－y1)(1－y2)＝1＋y1y2－(y1＋y2)＝1＋(kx1＋t)(kx2＋t)－[k(x1＋x2)＋2t]＝1＋k2x1x2＋(kt－k)(x1＋x2)＋t2－2t＝1＋k2·＋(kt－k)·＋t2－2t ＝， 所以＝2，所以|t2－1|＝(t－1)2. 又t≠±1，所以解得t＝0，所以直线l的方程为y＝kx，即直线l恒过原点(0，0)．(12分) (普查题57)(12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2，0)，直线3x－2y＝0与双曲线C的一个交点的横坐标为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点(0，1)，且倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积． 解：(1)将x＝2代入直线方程3x－2y＝0，得y＝3，所以该直线与双曲线C的一个交点为(2，3)．(1分) 设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 因为点(2，3)在双曲线C上，且双曲线C的右焦点为F(2，0)，所以解得 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.(6分) (2)由已知得直线l的方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0， 所以原点O到直线l的距离d＝＝.(7分) 联立消去y，整理得x2＋x－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝－2， 所以|AB|＝|x1－x2|＝· ＝×＝3，(10分) 所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝×3×＝.(12分) (普查题58) (12分)已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点A(2，0)的距离与它到直线l：x＝的距离的比值为2.记M的轨迹为曲线E. (1)求E的方程． (2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上.作PQ⊥l，垂足为Q,证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心. 解：(1)设动点M的坐标为(x，y)，则根据题意得＝2， 整理得x2－＝1， 所以曲线E的方程为x2－＝1.(4分) (2)证明：设点P(x0，y0)，曲线E在点P处的切线斜率为k，则曲线E在点P处的切线方程为y－y0＝k(x－x0)． 联立消元整理得(3－k2)x2－2k(y0－kx0)x－(y0－kx0)2－3＝0. 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以k2≠3. Δ＝4k2(y0－kx0)2＋4(3－k2)[(y0－kx0)2＋3]， 令Δ＝0，得k2(x－1)－2kx0y0＋y＋3＝0. 因为点P(x0，y0)在双曲线E上， 所以x－1＝，y＋3＝3x， 所以k2y－6kx0y0＋9x＝0，解得k＝. 所以曲线E在点P处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即x0x－＝1. 因为P(x0，y0)，PQ⊥l，所以Q， 所以线段PQ的垂直平分线CD的方程为x＝，即x＝. 因为A(2，0)，Q， 所以直线AQ的斜率kAQ＝－. 记线段AQ的中点为B，则B， 又线段AQ的垂直平分线BF的斜率为kBF＝， 所以线段AQ的垂直平分线BF的方程为y－＝. 联立直线CD与直线BF的方程， 得 得△PQA的外心坐标为. 将△PQA的外心横坐标x＝代入曲线E在点P处的切线方程x0x－＝1，得y＝，与△PQA的外心的纵坐标相等． 所以曲线E在点P处的切线过△PQA的外心．(12分) 函数与导数 (普查题59)(25分)①已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝4－f(2＋x)，函数g(x)＝.若函数f(x)与g(x)的图像共有214个交点，记作Pi(xi，yi)(i＝1，2，…，214)，则的值为(　A　) A．642 B．1284 C．214 D．321 ②已知函数f(x)＝Asinx，g(x)＝k(x－2)，k＞0，h(x)＝f(x)－g(x)．若当A＝1时，函数h(x)的所有零点之和为6，则当A＝2时，函数h(x)的所有零点之和为(　C　) A．6 B．8 C．10 D．12 ③已知f(x)＝若f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，且a<b<c<d，则abcd的取值范围是 (21,24) ． ④已知函数f(x)的周期为2，且当x∈[0，2)时，f(x)＝.若关于x的方程f(x)＝alnx在区间(0，6)上的解的个数为奇数，则实数a的取值范围为． ⑤已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　D　) A．[1，4) B．(－1，16) C．(－1，0]∪[1，16) D．{0}∪[1，4) 解析：①因为f(－x)＝4－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(－x)＝4，即f(1＋x)＋f(1－x)＝4， 所以函数f(x)的图像关于点(1，2)对称． 因为函数g(x)＝＝2＋， 所以g(x)的图像也关于点(1，2)对称， 所以函数f(x)与g(x)的图像的交点也关于点(1，2)对称， 所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x214)＋(y1＋y2＋…＋y214)＝×2＋×4＝642. 故选A. ②函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图像交点的横坐标．易知函数y＝f(x)与y＝g(x)图像均过点(2，0)，且均关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)与y＝g(x)图像的交点关于点(2，0)两两对称或恰为点(2，0)． 又因为当A＝1时，h(x)所有零点之和为6，所以当A＝1时，函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像有3个公共点，其中有两个公共点恰为切点．由图像可知f (5)<g(5)，得1<3k，即k>. 当A＝2时，由图像可知f(5)>g(5)，f (－1)<g(－1)，且g(8)＝6k>2＝f (x)max，g(－4)＝－6k<－2＝f (x)min，所以h(x)有5个零点，从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，x5，且x3＝2，x1＋x5＝x2＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝10.故选C. ③先画出函数f(x)＝的大致图像，如图所示． 因为a<b<c<d，f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，所以log3b＝－log3a，所以log3b＋log3a＝log3ab＝0，所以ab＝1.因为c，d关于直线x＝5对称，所以c＋d＝10，所以abcd＝cd＝c(10－c)＝10c－c2(3<c<4)．由二次函数的性质可得10c－c2的取值范围为(21，24)，即abcd的取值范围为(21，24)． ④因为y＝的导数为y′＝，所以x＝1＝－1，即曲线y＝在x＝1处的切线斜率为－1.同理，曲线y＝－在x＝1处的切线斜率为1.由y＝alnx可得y′＝，所以x＝1＝a，即曲线y＝alnx在x＝1处的切线斜率为a.如图，作出函数f(x)和y＝alnx的图像．由图可得，方程f(x)＝alnx在(0，6)上的解的个数如下：ⅰ.当a≤－1时，方程有一个解；ⅱ.当－1＜a＜0时，方程有两个解；ⅲ.当a＝0时，方程有三个解；ⅳ.当0＜a≤时，aln4≤f(4)＝f(0)＝，方程有五个解；ⅴ.当＜a≤时，aln2≤且aln4>，方程有四个解；ⅵ.当＜a≤1时，aln2>，方程有三个解；ⅶ.当a>1时，方程有四个解．综上，a的取值范围为(－∞，－1]∪∪.　 ⑤当x＝0时，y＝f(0)－0＝0， 所以0是y＝f(x)－ax的一个零点， 所以当x≠0时，y＝f(x)－ax有两个零点， 即f(x)＝ax有两个不为零的不同实根， 即h(x)＝与y＝a的图像有两个交点． h(x)＝＝ 令h1(x)＝(1－x)ex，x<1且x≠0，则h′1(x)＝－xex， 所以当x∈(－∞，0)时，h′1(x)>0，h1(x)单调递增； 当x∈(0，1)时，h′1(x)<0，h1(x)单调递减． 令h2(x)＝－x－＋10，x≥1，则h′2(x)＝， 所以当x∈(1，3)时，h′2(x)>0，h2(x)单调递增； 当x∈(3，＋∞)时，h′2(x)<0，h2(x)单调递减， h2(x)max＝h2(3)＝4. h(x)的大致图像如图所示： 由图可知，当a＝0或a∈[1，4)时，h(x)＝与y＝a的图像有两个交点． 综上所述，当a＝0或a∈[1，4)时，函数y＝f(x)－ax恰有三个零点．故选D. (普查题60)(5分)设函数f(x)＝　 (1)若a＝0，则f(x)的最大值为 2 ； (2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是 (-∞，-1) ． 解析：令g(x)＝x3－3 x，所以g′(x)＝3x2－3.令g′(x)<0，得－1<x<1；令g′(x)>0，得x<－1或x>1，所以g(x)在(－1，1)上单调递减，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，且易知g(－1)＝2，g(1)＝－2，因此在直角坐标系中作出y＝g(x)与y＝－2x的大致图像(如图)，易知它们的交点为A(－1，2)，O(0，0)，B(1，－2)． (1)当a＝0时， f(x)＝则y＝f(x)的图像大致如下： 因此f(x)的最大值是f(－1)＝2. (2)由图像可知，当－1≤a≤2时， f(a)＝a3－3a≤f(－1), f(x)的最大值为f(－1)＝2.当a>2时， f(a)＝a3－3a>f(－1), f(x)的最大值为f(a)＝a3－3a.所以若f(x)无最大值，只需a<－1即可，故a的取值范围是(－∞，－1)． (普查题61)(5分)设函数f(x)的导函数是f′(x)，且f(x)f′(x)>x恒成立，则(　D　) A．f(1)<f(－1) B．f(1)>f(－1) C．|f(1)|<|f(－1)| D．|f(1)|>|f(－1)| 解析：设g(x)＝{[f(x)]2－x2}， 则g′(x)＝[2f(x)·f′(x)－2x]＝f(x)f′(x)－x>0恒成立， 所以g(x)＝{[f(x)]2－x2}单调递增． 故g(1)>g(－1)， 即{[f(1)]2－1}>{[f(－1)]2－1}， 解得[f(1)]2>[f(－1)]2，即|f(1)|>|f(－1)|.故选D. (普查题62)(12分)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x, f′(x)为f(x)的导数． (1)证明： f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点； (2)当x∈[0，π]时， f(x)≥ax，求a的取值范围． 解：(1)证明：∵f(x)＝2sinx－xcosx－x， ∴f′(x)＝2cosx－cosx＋xsinx－1＝cosx＋xsinx－1.(1分) 令g(x)＝cosx＋xsinx－1，则g′(x)＝－sinx＋sinx＋xcosx＝xcosx，(2分) 当x∈时，g′(x)＝xcosx>0； 当x∈时，g′(x)＝xcosx<0， ∴g(x)在上单调递增，在上单调递减．(4分) 又g(0)＝0，g＝－1>0，g(π)＝－2， ∴g(x)在(0，π)上有唯一零点，即f′(x)在(0，π)上有唯一零点．(6分) (2)由题设知f(π)≥aπ， f(π)＝0，可得a≤0. 由(1)知， f′(x)在(0，π)上有唯一零点x0，即f′(x0)＝0，且f′(x)在(0，x0)上为正，在(x0，π)上为负，(8分) ∴f(x)在[0，x0)上单调递增，在[x0，π]上单调递减．(9分) 又f(0)＝0, f(π)＝0， ∴当x∈[0，π]时， f(x)≥0.(10分) 又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax. 因此，a的取值范围是(－∞，0]．(12分) (普查题63) (12分)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R. (1)讨论f(x)的单调区间． (2)当a＝1时，令g(x)＝. ①证明：当x>0时，g(x)>1. ②若数列{xn}(n∈N*)满足x1＝，，证明：. 解：(1)函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，求导得f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>lna；令f′(x)＝ex－a<0，解得x<lna，即f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增． 所以当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．(6分) (2)证明：当a＝1时，g(x)＝. ①当x>0时，>1⇔ex>1＋x＋⇔<1. 令F(x)＝－1，x>0， 则F′(x)＝<0恒成立， 所以F(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以F(x)<F(0)＝－1＝0， 因此<1成立， 所以当x>0时，g(x)>1.(8分) ②由①可知，当x∈(0，＋∞)时，g(x)>1. 由x1＝，得，即x2>0. 由，可得xn>0. 因为e－3＝e－<0，所以， 所以， 由于， 所以只需证，即. 又当x>0时，g(x)－1<ex－⇔(x2－4)ex＋x2＋4x＋4＝(x－2)(x＋2)ex＋(x＋2)2>0⇔＋1>0. 令h(x)＝＋1，x>0， 则h′(x)＝>0恒成立， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以h(x)>h(0)＝0， 所以当x>0时，恒有·ex＋1>0. 因为xn>0，所以成立， 即不等式成立．(10分) 又， 因此成立，即成立，即.(12分) C　能力提升拔高卷 导数的应用 (普查题64)(12分)已知函数f(x)＝lnx＋x2，g(x)＝x3－x. (1)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调性； (2)当t≠1时，证明曲线y＝g(x)分别在点(1，g(1))和点(t，g(t))处的切线为不同的直线； (3)若过点(m，n)能作曲线y＝g(x)的三条切线，求m，n所满足的条件． 解：(1)由题知h(x)＝lnx＋x2－x3＋x，x>0， ∴h′(x)＝＋x－3x2＋1＝＝，(2分) ∴当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0， ∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(3分) (2)证明：∵g′(x)＝3x2－1， ∴g′(1)＝2，g′(t)＝3t2－1.(4分) 又∵g(1)＝0，g(t)＝t3－t， ∴曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x－2，在点(t，g(t))处的切线方程为y＝(3t2－1)x－2t3.(5分) ∵t≠1，∴－2t3≠－2， ∴两条切线不可能相同．(6分)　 (3)设直线l过点(m，n)与曲线y＝g(x)在点(x0，x－x0)处相切，直线l：y－n＝k(x－m)， 则 消去k，得2x－3mx＋m＋n＝0. ∵过点(m，n)能作曲线y＝g(x)的三条切线， ∴关于x0的方程2x－3mx＋m＋n＝0有三个不相等的实根．(7分) 设φ(x)＝2x3－3mx2＋m＋n，φ′(x)＝6x(x－m)， 则函数φ(x)有三个零点． ①当m＝0时，φ′(x)＝6x2≥0，∴φ(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，φ(x)至多有一个零点， 故m＝0不符合题意．(8分) ②当m<0时，由φ′(x)>0，得x<m或x>0； 由φ′(x)<0，得m<x<0， ∴φ(x)在(－∞，m)上单调递增，在(m，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)的极大值为φ(m)＝－m3＋m＋n，极小值为φ(0)＝m＋n.(9分) 又φ(x)有三个零点，且易知x→－∞时，φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→＋∞， ∴φ(m)>0且φ(0)<0，即 ∴m3－m<n<－m. ③当m>0时，由φ′(x)>0，得x<0或x>m； 由φ′(x)<0，得0<x<m， ∴φ(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，m)上单调递减，在(m，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)的极小值为φ(m)＝－m3＋m＋n，极大值为φ(0)＝m＋n.(10分) 又φ(x)有三个零点，且易知x→－∞时，φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→＋∞，∴φ(m)<0且φ(0)>0，即∴－m<n<m3－m.(11分) 综合①②③，可得m，n所满足的条件是或(12分) (普查题65)(12分)已知函数f(x)＝alnx＋－1，其中a∈R. (1)若a＝1，求函数f(x)的图像在x＝1处的切线方程； (2)若函数f(x)在定义域上恰有两个零点，求实数a的取值范围； (3)设函数g(x)＝ex＋－f(x)在区间(0，e－a)上存在极值点，求证：a－1＋e－a>a＋1. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝lnx＋－1， 所以f(1)＝0.(1分) 求导得f′(x)＝－，所以f′(1)＝0，(2分) 所以函数f(x)的图像在x＝1处的切线方程为y＝0.(3分) (2)f(x)＝alnx＋－1的定义域是(0，＋∞)，且f(1)＝0， 求导得f′(x)＝－＝. ①若a≤0，则在(0，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)是减函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点，与题意不符合．(4分) ②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，此时x，f′(x)，f(x)的变化如下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  (ⅰ)当＝1，即a＝1时，f(x)有且仅有一个零点x＝1，与题意不符．(5分) (ⅱ)当>1，即0<a<1时，>>1. 因为f<f(1)＝0，f()＝aln＋－1＝>0，且f(x)的图像在(0，＋∞)上不间断， 所以存在x0∈，使得f(x0)＝0. 此时，f(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点1和x0， 所以0<a<1符合题意．(6分) (ⅲ)当0<<1，即a>1时，0<e－a<1. 令φ(a)＝f(e－a)＝ea－a2－1，a>1，则φ′(a)＝ea－2a. 记φ″(a)为φ′(a)的导函数，则φ″(a)＝ea－2>0， 所以φ′(a)在(1，＋∞)上是单调增函数，φ′(a)>φ′(1)＝e－2>0， 所以φ(a)在(1，＋∞)上是单调增函数，φ(a)>φ(1)＝e－2>0，所以f(e－a)>0. 因为f(x)在上单调递增，且f(1)＝0， 所以在上，f(x)<0， 所以由f(e－a)>0，0<e－a<1，可知e－a<. 因为f<f(1)＝0，f(e－a)>0，且f(x)的图像在(0，＋∞)上不间断， 所以存在x1∈，使得f(x1)＝0. 此时，f(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点1和x1， 所以a>1符合题意． 综上所述，实数a的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞)．(8分) (3)证明：依题意得g(x)＝ex＋－(alnx＋－1)＝ex－alnx＋1，则g′(x)＝ex－＝.(9分) 令t(x)＝xex－a. 因为g(x)在(0，e-a)上存在极值点， 所以g′(x)在(0，e-a)上存在零点， 所以t(x)＝xex－a在(0，e-a)上存在零点． 求导得t′(x)＝ex(x＋1)>0， 所以t(x)在(0，e-a)上是增函数．(10分) 所以要使得t(x)在(0，e-a)上存在零点， 则即 所以>a>0，所以e－a－a>lna，即e－a>a＋lna， 所以e-a＋a-1－a－1>a＋lna＋－a－1＝lna＋－1. 由(2)②(ⅰ)可知， lnx＋－1≥0恒成立，所以lna＋－1≥0， 所以e－a＋a－1－a－1>0， 所以e－a＋a－1>a＋1，原命题得证．(12分) (普查题66)(12分)已知函数f(x)＝x(ex－a)． (1)若x＝1是f(x)的一个极值点，判断f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：x1＋x2<－4. 解：(1)由题意得f′(x)＝(x＋1)ex－a.由x＝1是f(x)的一个极值点，得f′(1)＝0，解得a＝2e. 经验证，符合题意，(1分) ∴f′(x)＝(x＋1)ex－2e， ∴f ″(x)＝(x＋2)ex(f ″(x)为f′(x)的导数)， 当x<－2时， f ″(x)<0；当x＞－2时， f ″(x)>0， ∴f′(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增．(2分) 当x∈(－∞，－2)时，(x＋1)ex<0，∴f′(x)<0； 当x∈[－2，1)时， f′(x)<f′(1)＝0， ∴x∈(－∞，1)时， f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时， f′(x)>f′(1)＝0. 故f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分) (2)证明：(法一)由题意可得x1，x2(x1<x2)是函数f′(x)＝(x＋1)ex－a的两个零点．(5分) 根据(1)可得f′(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)的两个零点分别在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上，∴x1<－2<x2.(7分) 令h(x)＝f′(x)－f′(－4－x)，x<－2. 则h′(x)＝f ″(x)＋f ″(－4－x)＝(x＋2)ex＋(－2－x)e－4－x＝(x＋2)(ex－e－4－x)．(8分) ∵x<－2，∴x＋2<0，x<－4－x，∴(x＋2)(ex－e－4－x)>0， ∴h(x)在(－∞，－2)上单调递增． 又h(－2)＝0， ∴h(x)<0，∴h(x1)＝f′(x1)－f′(－4－x1)<0，即f′(－4－x1)>f′(x1)＝f′(x2)．(10分) ∵x2>－2，－4－x1>－2，且f′(x)在(－2，＋∞)上单调递增，∴－4－x1>x2，∴x1＋x2<－4.(12分) (法二)由题意可得x1，x2(x1<x2)是函数f′(x)＝(x＋1)ex－a的两个零点， 所以 所以＝.(6分) 令x2－x1＝t，则t>0，x2＝x1＋t， 所以＝， 即x1＋1＝(x1＋t＋1)et，整理得x1＝－－1，(8分) 所以x1＋x2＝2x1＋t＝－－2＋t＝－－2，(9分) 所以原不等式等价于－－2<－4，即>2，即<1.(10分) 令φ(t)＝，t>0，则φ′(t)＝<0， 所以φ(t)单调递减， 所以φ(t)<＝1，即<1成立， 所以原不等式成立．(12分) 圆锥曲线的综合问题 (普查题67)(12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2. (1) 求椭圆E的方程； (2)如图所示，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝，M是线段OC延长线上一点，且∶＝2∶3，⊙M的半径为，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率． 解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知 e＝＝，2c＝2，所以 a＝，b＝＝1，因此椭圆E的方程为＋y2＝1.(3分) (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程 得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0，由题意知Δ>0，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·.(5分) 因为k1k2＝，所以k1≠0，k2＝， 所以直线OC的方程为y＝x. 联立方程得x2＝，y2＝， 因此|OC|＝＝.(7分) 由题意可知圆M的半径为r＝|AB|＝·. 连接SM，因为OS为⊙M的切线，所以MS⊥OS， 所以sin＝＝. 而＝ ＝· ＝· ＝· .(9分) 令t＝1＋2k，因为k1≠0，所以t>1，∈(0，1)， 因此＝·＝· ＝· ＝·≥1， 当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±.(11分) 所以sin≤，易知为锐角，因此≤，所以∠SOT的最大值为. 综上所述，∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.(12分) (普查题68)(12分)如图所示，抛物线E：y2＝4x的弦AB的中点P(2，t)(t≠0)，过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C，D，与x轴交于Q. (1)求点Q的坐标； (2)当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程． 解：(1)∵t≠0，∴直线AB不与坐标轴垂直，故可设直线AB的方程为y＝k(x－2)＋t，k≠0， 则直线l的方程为y－t＝－(x－2)． 联立直线AB与抛物线的方程，得 消去y得k2x2＋(2tk－4k2－4)x＋(t－2k)2＝0， ∴Δ＝(4k2＋4－2tk)2－4k2(t－2k)2＞0①. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，∴x1＋x2＝＝4，即tk＝2，∴k＝，代入①中，求得－2＜t＜2，且t≠0， ∴直线l的方程为y－t＝－(x－2)． 令y＝0，得x＝4，所以Q点坐标为(4，0)．(5分) (2)易由(1)得＝ ＝ ＝ ＝·.(7分) 联立直线CD与抛物线的方程，得消去y得t2x2－(8t2＋16)x＋16t2＝0. 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， ∴x3＋x4＝＝8＋，x3x4＝16，(8分) ∴＝ ＝· ＝· ＝· ＝8··. 设CD的中点为M(x0，y0)，则x0＝4＋，y0＝－， ∴＝＝＝.(10分) ∵A，B，C，D四点共圆， ∴2＝2＋2，代入并整理得t4－12t2＋32＝0，解得t2＝4或t2＝8(舍去)， ∴t＝±2， ∴直线l的方程为y＝x－4或y＝－x＋4.(12分) (普查题69) (12分)已知双曲线C：(a>0，b>0)的实轴长为2.点(，－1)是抛物线E：x2＝2py(p>0)的准线与C的一个交点． （1）求双曲线C和抛物线E的方程； （2）过双曲线C上一点P作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的取值范围. 解：(1)∵双曲线C的实轴长为2，∴a＝1. ∵点(，－1)在双曲线C上， ∴7－＝1，解得b2＝， ∴双曲线C的方程为x2－6y2＝1.(2分) ∵点(，－1)在抛物线E的准线上，∴＝1， ∴p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y.(3分) (2)由题可知，直线AB的斜率存在，故设直线AB的方程为y＝kx＋m. ∵点A，B均在抛物线x2＝4y，即y＝x2上， ∴设A，B. 联立消去y，整理得x2－4kx－4m＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，Δ＝16k2＋16m>0，即k2＋m>0， ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝4.(5分) 对y＝x2求导，得y′＝x，∴kAP＝x1， ∴切线AP的方程为y－x＝x1(x－x1)，即y＝x1x－x. 同理可得，切线BP的方程为y＝x2x－x. 联立解得即 ∴P(2k，－m)， ∴点P到直线AB的距离为d＝＝，　 ∴S△PAB＝|AB|·d＝4|k2＋m|.(9分) ∵点P在双曲线x2－6y2＝1上， ∴(2k)2－6(－m)2＝1，即k2＝， ∴S△PAB＝4|k2＋m| ＝|6m2＋4m＋1| ＝[6(m＋)2＋] ≥×＝， ∴△PAB面积的取值范围是.(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$