第45课 排列与组合-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第45课 排列与组合 普查与练习45　　　　排列与组合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．排列问题 a．无限制条件的排列问题 (1)(经典题，5分)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有__210__种．(用数字作答) 解析：从7本不同的书中选3本送给3名同学，即从7个元素中任取3个元素的一个排列，∴共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法． b．有限制条件的排列问题 (2)(2020辽宁抚顺一模，5分)把书架上的《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《五曹算经》《孙子算经》这5本中国古代数学专著重新排列一下，若要求《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻，则所有不同排法的种数为(　C　) A．120 B．96 C．48 D．24 解析：根据题意，可分2步进行分析： ①将《周髀算经》和《九章算术》看成一个整体，与其他3本书进行全排列，有A＝24(种)排法； ②将《周髀算经》和《九章算术》进行排列，有A＝2(种)排法． 根据分步乘法计数原理，可知共有24×2＝48(种)不同的排法．故选C. (3)(2021浙江杭州期中，4分)包含甲、乙在内的5人站成一行，如果甲、乙不相邻，那么不同的排法种数是(　C　) A．12 B．36 C．72 D．120 解析：根据题意，分2步进行分析：①先把除甲、乙外的其他三人排成一排，有A＝6(种)情况，排好后有4个空位；②在4个空位中，任选2个，安排甲、乙，有A＝12(种)情况．∴共有6×12＝72(种)不同的排法．故选C. (4)(2020山东模拟，5分)如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有__14__种． 解析：设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则： ①若甲模仿“扶”，则A包含1×A＝6(个)基本事件； ②若甲模仿“捡”或“顶”，则A包含2×2×A＝8(个)基本事件， 综上，A包含6＋8＝14(个)基本事件． 故答案为14. (5)(2021北京海淀区校级期中，4分)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数为(　C　) A．12 B．20 C．40 D．60 解析：五个元素没有限制的全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列数A再乘2，可得这样的排列数为×2＝40.故选C. 2．组合问题 a．无限制条件的组合问题 (6)(2020山东，5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　C　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 解析：先从6名同学中选1名去甲场馆，选法有C种； 再从余下的5名同学中选2名去乙场馆，选法有C种； 余下的3名同学都去丙场馆，选法有C种． 所以不同的安排方法共有CCC＝60(种)．故选C. (7)(2021重庆期末，5分)平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形个数为(　D　) A．10 B．12 C．16 D．18 解析：因为平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为CC＝18.故选D. b．有限制条件的组合问题 (8)(2023汇编，16分) 从7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数． (Ⅰ)A，B必须当选； 答案：120种 解析：解：由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中任意选取3人即可，此时有CC＝120(种)选法．(2分) (Ⅱ)A，B必不当选； 答案：252种 解析：解：从除去A，B两人的10人中任选5人即可，此时有C＝252(种)选法．(4分) (Ⅲ)A，B不全当选； 答案：672种 解析：解：注意到“A，B不全当选”的反面是“A，B全部当选”，故可用间接法进行计算．从12人中选出5人的全部选法有C种方法，A，B全部当选有C种方法，故A，B不全当选有C－C＝672(种)选法．(6分) (Ⅳ)至少有2名女生当选； 答案：596种 解析：解：注意到“至少有2名女生”的反面是“只有1名女生或没有女生”，所选5人中含有1名女生的选法有CC种，没有女生的选法有C种，∴至少有2名女生当选的选法有C－CC－C＝596(种)．(8分) (Ⅴ)至多有2名女生当选； 答案：546种 解析：解：“至多有2名女生当选”所包含的情况有：没有女生当选、只有1名女生当选、有2名女生当选三种，分别求出三种情况的选法： 没有女生的选法有C种，含有1名女生的选法有CC种，含有2名女生的选法有CC种， ∴根据分类加法计数原理，至多有2名女生当选的选法有C＋CC＋CC＝546(种)．(10分) (Ⅵ)既有男生又有女生； 答案：770种 解析：解：这5人中既有男生又有女生，包括4男1女、3男2女、2男3女和1男4女四种情况． 若5人中有4男1女，则不同的选法共有 CC＝175(种)， 若5人中有3男2女，则不同的选法共有CC＝350(种)， 若5人中有2男3女，则不同的选法共有CC＝210(种)， 若5人中有1男4女，则不同的选法共有CC＝35(种)， 根据分类加法计数原理得，所有符合题意的不同选法共有175＋350＋210＋35＝770(种)．(12分) (Ⅶ)必须有女生； 答案：771种 解析：解：根据题意，从7名男生、5名女生中选取5人，共有C＝792(种)选法，其中没有女生的选法有C＝21(种)，则必须有女生的选法有792－21＝771(种)．(14分)　 (Ⅷ)至少有2名男生和2名女生． 答案：560种 解析：解：根据题意，分2种情况讨论：a.选出的5人中有3男2女，有CC＝350(种)选法，b.选出的5人中有2男3女，有CC＝210(种)选法，则至少有2名男生和2名女生的选法有350＋210＝560(种)．(16分) 3．排列、组合的综合问题 a．简单的排列组合问题 (9)(2021全国Ⅱ，5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训， 每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　C　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 解析：根据题意，有一个项目分配2名志愿者，其余项目各分配1名志愿者．可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C＝10(种)选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有A＝24(种)．根据分步乘法计数原理，完成这件事共有C×A＝240(种)不同的分配方案．故选C. b．分组和分配问题 (10)(多选)(2021广东肇庆月考，5分)某班某学习小组有6人，在体育课上，体育老师对这6人分组安排训练任务，其中分配种数计算正确的是(　ABD　) A．分成三组，第一组1人训练跳高，第二组2人训练跳远，第三组3人训练掷实心球，共60种分法 B．分成三组，人数分别是1，1，4，一组训练跳高，一组训练跳远，一组训练掷实心球，共90种分法 C．分成三组，每组2人，分别参加乒乓球、羽毛球、网球的训练赛，共540种分法 D．分成两组，每组3人，两组间进行三人篮球训练赛，共20种分法 解析：A.分3步完成，先选1人训练跳高有C种，再选2人训练跳远有C种，剩余3人训练掷实心球有C种，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·C＝6×10×1＝60(种)分法，故A正确； B．先分好3组，有＝15(种)分法，再安排3组去参加不同的活动，有A种安排方法，所以由分步乘法计数原理知，共有15A＝90(种)分法，故B正确； C.先选2人参加乒乓球训练有C种，再选2人参加羽毛球训练有C种，再选2人参加网球训练有C种，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝90(种)分法，故C错误； D．先分成2组，每组3人有＝10(种)，再分成2队有A种分法，由分步乘法计数原理知，共有10A＝20(种)分法，故D正确．故选ABD. (11)(2021江苏南京期末，12分)按照下列要求，分别求有多少种不同的方法． ①6个不同的小球放入4个不同的盒子； 答案：4096 解析：解：6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个小球都有4种可能，根据分步乘法计数原理可得，共有46＝4096(种)可能；(3分) ②6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； 答案：1560 解析：解：6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，首先将6个小球分组，共两种分法：2，2，1，1；3，1，1，1；根据部分均匀形式分组，分组方式有＋C＝65(种)，将其放入4个不同的盒子，共有A＝24(种)排列方式．故不同的方法共有65×24＝1560(种)；(6分) ③6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； 答案：10 解析：解：6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，使用隔板法，将3个隔板插入5个空隙中，即可将6个小球分成4份，共有C＝10(种)；(9分) ④6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒子． 答案：2160 解析：解：6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有一个空盒，首先将6个小球分组，共有三种分组方法：1，2，3；2，2，2；4，1，1；不均匀的分组方法有CCC＝60(种)，全部均匀的分组方法有＝15(种)，部分均匀的分组方法有＝15(种)，故分组方法共有60＋15＋15＝90(种)，将三组小球和空盒全排列，共有A＝24(种)排列方式．故不同的方法共有90×24＝2160(种)．(12分) 随堂普查练45 1．(2020江西南昌月考，5分)某高三毕业班有50人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__2450__条毕业留言．(用数字作答) 解析： 两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从50人中任选两人的排列数，∴全班共写了A＝50×49＝2450(条)毕业留言． 2．(2021天津期中，5分)三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有__144__种﹒ 解析：根据题意，分2步进行分析： ①先安排三名男生，将甲乙看成一个整体，与丙全排列，有AA＝4(种)排法，男生排好后，有3个空位可选； ②将三名女生分为1，2的两组，将这两组安排在空位中，有CAA＝36(种)排法，则有4×36＝144(种)不同的站法． 故答案为144. 3．(2023汇编，14分)3男3女共6个同学排成一行． (1)女生都排在一起，有多少种排法？ 答案：144种 解析：解：将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有A种排法．又3名女生内部有A种排法，∴共有A·A＝144(种)排法．(2分) (2)女生与男生相间，有多少种排法？ 答案：72种 解析：解：男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，∴女生与男生相间共有2A·A＝72(种)排法．(4分) (3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？ 答案：144种 解析：解：女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因此任何两个男生都不相邻的排法共有A·A＝144(种)．(6分) (4)3名男生不排在一起，有多少种排法？ 答案：576种 解析：解：直接分类较复杂，可用间接法，即从6个人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法共有A－AA＝576(种)．(8分) (5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？ 答案：24种 解析：解：先将2名女生排在男生甲、乙之间，有A种排法．又甲、乙之间还有A种排法，这样就有A·A种排法；然后把他们4人看成一个元素(相当于一名男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有A种排法；最后将余下的女生排在其中间，有1种排法，故总排法为AAA＝24(种)．(10分) (6)男生甲必须安排在前两个位置，男生乙、丙不相邻，有多少种不同的排法？ 答案：156种 解析：解：对男生甲的位置分类讨论： 若甲安排在第一个位置，然后安排3个女生，有A种排法，3个女生形成了4个空，再将乙、丙用插空法进行排列，则这种情况共有AA＝72(种)排法； 若甲安排在第二个位置，第一个位置安排乙或丙，再将剩余4人安排在后面的4个位置，则有CA＝48(种)排法； 若甲安排在第二个位置，第一个位置不安排乙或丙，而是从3个女生中选一个安排在第一个位置，再排其他两个女生，最后用插空法排列乙、丙，有CAA＝36(种)排法． 综上所述，共有72＋48＋36＝156(种)排法．(12分) (7)男生甲、乙、丙的身高互不相同，三人按高低从左到右排，有多少种不同的排法？ 答案：120种 解析：解：(7)甲、乙、丙三人内部的排列共有A＝6(种)结果，根据题意，要使甲、乙、丙三个人按照确定的顺序排列，需要根据定序问题消序法，使结果数只占6种结果中的一种，则有＝120(种)排法．(14分) 4．(2020广东二模，5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的有__48__对． 解析：利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C－3)对，两个正四面体有(C－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，考虑异面直线夹角也为60°， ∴共有(C－3)×2×2＝48(对)． 5．(2020海南，5分)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有(　C　) A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 解析：根据题意，有2名同学去同一个村，第3名同学单独去另一个村． 先选择2名同学，选法有C种，再把这2人看作一组，和剩下的1人一起分配到2个村，分法有A种，所以不同的安排方法共有CA＝6(种)．故选C. 6．(2018浙江，4分)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__1260__个没有重复数字的四位数．(用数字作答) 解析：①若从0，2，4，6中取出的数有0，则取法有C种． 从1，3，5，7，9中取两个数字，取法有C种． 因为0不能在首位，所以0的位置有C种， 剩下3个数字，3个位置，有A种排法， 所以四位数的个数为CCCA＝540. ②若从0，2，4，6中取出的数没有0，则取法有C种． 从1，3，5，7，9中取两个数字，取法有C种． 取出的四个数有A种排法， 所以四位数的个数为CCA＝720. 综上，四位数一共有540＋720＝1260(个)． 7．(经典题，14分)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成3份，1份1本，1份2本，1份3本； 答案：60种 解析：解：无序不均匀分组问题． 先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选出2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法． 故共有CCC＝60(种)．(2分) (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； 答案：360种 解析：解：有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360(种)．(4分) (3)平均分成三份，每份2本； 答案：15种 解析：解：无序均匀分组问题． 先从6本不同的书中选2本，有C种选法；再从余下的4本不同的书中选2本，有C种选法；余下的2本全选，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F.若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．(6分) (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； 答案：90种 解析：解：有序均匀分组问题． 在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝CCC＝90(种)．(8分) (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本； 答案：15种 解析：解：无序部分均匀分组问题． 共有＝15(种)．(10分) (6)甲、乙、丙三人中，1人得4本，另外两人每人得1本； 答案：90种 解析：解：有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝90(种)．(12分) (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． 答案：30种 解析：解：直接分配问题． 甲选1本，有C种方法；乙从余下的5本中选1本，有C种方法；余下4本留给丙，有C种方法，共有分配方式CCC＝30(种)．(14分) 8．(2021江西黎川县期末，5分)十九大报告提出实施乡村振兴战略，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．将这5名毕业生分配到该山区的A，B，C三所小学，每所学校至少分配1人，下列说法正确的是(　B　) A．若甲不去A小学，则共有120种分配方法 B．若甲、乙去同一所小学，则共有36种分配方法 C．若有一所小学分配了3人，则共有90种分配方法 D．共有120种分配方法 解析：5名毕业生分配到三所小学可以分成3，1，1或2，2，1两种情况． 对于选项A，若A小学安排1人且甲不在A小学，则有C(C×A＋C)＝56(种)分配方法； 若A小学安排2人且甲不在A小学，则有CCA＝36(种)分配方法， 若A小学安排3人且甲不在A小学，则有CA＝8(种)分配方法， 所以甲不去A小学共有56＋36＋8＝100(种)分配方法，所以A错误； 对于选项B，若甲、乙同去A，当A中仅有2人时，则将剩下3人分到B，C小学，共有CCA＝6(种)分配方法； 当A中有3人时，则将剩下3人平均分到A，B，C三所小学，共有A＝6(种)分配方法， 所以甲、乙去同一所小学共有(6＋6)·C＝36(种)分配方法，所以B正确； 对于选项C，若有一所小学分配了3人，先将5人分成3，1，1三组，再将三组人分配到三所小学，所以共有CA＝60(种)分配方法，所以C错误； 对于选项D，根据部分平均分组可知共有(＋)·A＝150(种)分配方法，所以D错误． 故选B. 课后提分练45　排列与组合 A组(巩固提升) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2020河北唐山段考，5分)8把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　B　) A．144 B．120 C．72 D．24 解析：先把4把椅子摆好，它们之间和两端共有5个位置，再把4人带椅子插放在5个位置，共有A＝120(种)坐法，故选B. 2．(2020江苏常熟期中，5分)有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻、丙和丁不相邻的不同的排法有(　B　) A．240种 B．144种 C．72种 D．24种 解析：根据题意，可分3步进行分析： ①将甲与乙进行排列，有A种排法； ②将排好的甲、乙看作一个整体，与除丙、丁之外的2人进行全排列，有A种排法； ③上面排好的3个元素形成了4个空(包括首尾)，将丙、丁2人插入这4个空，有A种排法． 根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为AAA＝144.故选B. 3．(2021浙江杭州期中，4分)从1，2，3，…，20中选取4个数组成四元数组(a1，a2，a3，a4)，且满足a2－a1≥3，a3－a2≥4，a4－a3≥5，则这样的四元数组(a1，a2，a3，a4)的个数是(　B　) A．C B．C C．C D．C 解析：将a1连同其右边的2个空位捆绑，a2连同其右边的3个空位捆绑，a3连同其右边的4个空位捆绑，分别看作一个元素，四元数组(a1，a2，a3，a4)的个数相当于从20－2－3－4＝11个元素中选取4个，故这样的四元数组(a1，a2，a3，a4)的个数是C.故选B. 4．(2020全国Ⅱ，5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__36__种． 解析：根据题意，分2步进行分析： ①先选2名同学去同一个小区，选法有C＝6(种)； ②将这2名同学看作一组，剩下2名同学各自一组，分别分配到3个小区，分法有A＝6(种)． 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法有6×6＝36(种)． 5．(2020浙江杭州模拟，4分)某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有 __3600__种． 解析： (法一)第一步，把3个连在一起的空车位捆绑在一起，当成一个元素，剩下的一个空车位也当成一个元素，这两个不同元素插到5辆不同型号的轿车形成的6个空隙中，共有A种不同方法； 第二步，5辆不同型号的轿车全排列有A种不同方法．根据分步乘法计数原理， 则不同的停放方法有AA＝3600(种)． (法二)将9个连在一起的停车位依次编号为1～9. ①当3个连在一起的空车位在两端时，有1，2，3或7，8，9，共2种情况，此时剩余6个车位，最后一个空车位不与前三个相连，共有5种方法，故不同的停放方法有CCA＝1200(种)； ②当3个连在一起的空车位在中间时，有2，3，4或3，4，5或4，5，6或5，6，7或6，7，8，共5种情况，此时剩余6个车位，最后一个空车位不与前三个相连，共有4种方法，故不同的停放方法有CCA＝2400(种)． 由分类加法计数原理知，不同的停放方法有1200＋2400＝3600(种)． 6．(2020湖南娄底模拟，5分)书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有__504__种不同的插法．(用具体数字作答) 解析：一共有9本书，不同的排列方法有A种． 因为原有的6本书的排法有A种，且这6本书要保持原有的顺序，所以不同的插法有＝9×8×7＝504(种)． 7．(2021江西模拟，5分)2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有(　B　) A．28种 B．32种 C．36种 D．44种 解析：根据特殊元素优先排的原则，先对高校甲进行分类讨论，分为两种情况：(1)高校甲排在第二个，(2)高校甲排在第三个． (1)高校甲排在第二个，高校丁必排在第三个．此时，乙或丙有两种可能： ①当乙或丙排在第一个时，共有CA＝12(种)排法； ②当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有AA＝4(种)排法， 所以高校甲排在第二个时共有12＋4＝16(种)排法； (2)高校甲排在第三个，高校丁必排在第四个．此时，乙或丙只能一个排在第一、二个，一个排在第五、六个，则共有CCCA＝16(种)排法． 综上所述，满足题意的排法共有16＋16＝32(种)． 故选B. 8．(2021福建厦门二模，5分)在大课间风采展示中，某班级准备了2个舞蹈，2个独唱， 1个小品，共5个节目．要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有__48__种． 解析：根据题意，5个节目全排列，有A＝120(种)安排方法． 其中2个舞蹈相邻的排法有AA＝48(种)，2个独唱相邻的排法有AA＝48(种)， 2个舞蹈和2个独唱都相邻的排法有AAA＝24(种)，　 则相同类型的节目不能相邻的排法有120－48－48＋24＝48(种)． 故答案为48. 9．(2018全国Ⅰ，5分)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__16__种．(用数字填写答案) 解析：(法一)选1名女生的方法种数为CC＝12，选2名女生的方法种数为CC＝4，所以至少有1名女生的不同选法种数为12＋4＝16. (法二)用间接法，6名学生选3名的方法种数为C＝20，其中全是男生的选法种数为C＝4，所以至少有1名女生的不同选法种数为20－4＝16. 10．(2020江苏南京师大附中质检，5分)我国已进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(　D　) A．30 B．60 C．90 D．120 解析：根据题意，分3步进行分析： 先将5艘驱逐舰分成2组，需要分成2，3的两组，有C＝10(种)分组方法； 再将3艘核潜艇分成2组，需要分成1，2的两组，有C＝3(种)分组方法； 最后将分好的2组驱逐舰和2组核潜艇分派给两艘航母，有2×2＝4(种)分配方法． 根据分步乘法计数原理，共有10×3×4＝120(种)组建方法．故选D. 11．(2021江西上饶入学考，5分)横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是(　C　) A．1860 B．1320 C．1140 D．1020 解析：由题意可知分为两类： 第一类，2位女嘉宾只有一位被选中，则还需从6位男嘉宾里选出3位，然后全排列，所以不同的演讲顺序有C·C·A＝960(种)； 第二类，2位女嘉宾同时被选中，则还需从6位男嘉宾里选出2位，将这2位男嘉宾排列好就形成了3个空位，最后将2位女嘉宾插空，所以2位女嘉宾的演讲顺序不相邻的不同演讲顺序有C·C·A·A＝180(种)， 综上，不同的演讲顺序的种数是960＋180＝1140，故选C. 12．(2023改编，20分)用1，2，3，4，5，6这六个数． (1)组成的无重复数字的三位数有__120__个； (2)能组成__60__个无重复数字且为偶数的三位数； (3)从这六个数中任取2个奇数，1个偶数，组成的无重复三位数共有__54__个； (4)奇数必须排在百位或个位上的无重复三位数共有__60__个． 解析：(1)根据题意，任取三个数字且组成无重复的三位数，共有A＝6×5×4＝120(个)． (2)根据题意，只要个位数是偶数即可，故共有AA＝3×5×4＝60(个)． (3)根据题意，分2步进行分析： ①在1，3，5三个奇数中任选2个，有C＝3(种)选法，在2，4，6三个偶数中任选1个，有C＝3(种)选法； ②将选出的3个数字全排列，组成三位数，有A＝6(种)情况， 则可以组成3×3×6＝54(个)没有重复数字的三位数． (4)根据题意，分2步进行分析： ①三位数的十位数字必须是偶数，有3种情况； ②对于三位数的百位和个位， 若都是奇数，有A＝6(种)情况； 若都是偶数，有A＝2(种)情况； 若一奇一偶，有CCA＝12(种)情况， 则奇数必须排在百位或个位上有6＋2＋12＝20(种)情况， 故符合题意的三位数有3×20＝60(个)． 13．(多选)(2021辽宁模拟，5分)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　BD　) A．若1班不再分配名额，则共有C种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有C种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 解析：对于选项A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有C种分配方法，故A错误； 对于选项B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有C种分配方法，故B正确； 对于选项CD，若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个班，有6种；②一个班3个名额，一个班1个名额，有A＝30(种)；③两个班都是2个名额，有C＝15(种)；④两个班1个名额，一个班2个名额，有CC＝60(种)；⑤四个班都是1个名额，有C＝15(种)，则共有6＋30＋15＋60＋15＝126(种)，故C错误，D正确． 故选BD. 14．(2021吉林模拟，5分)辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇，“时代楷模”毛相林、张连刚、林占熺，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有__38__种． 解析：从所有先进人物代表中选出两位荣誉称号不同的代表给全国人民拜年，不同的发言情况有3类： (1)2人来自“人民英雄”“时代楷模”有C·A＝6(种)；　 (2)2人来自“人民英雄”“全国道德模范”有C·A＝8(种)； (3)2人来自“时代楷模”“全国道德模范”有C·C·A＝24(种)． 所以不同的发言情况有6＋8＋24＝38(种)． 15．(2021湖北襄阳月考，5分)某中学新招聘了3位物理老师，他们将有两人被安排到高一年级任教6个不同的班级，其中每位老师教3个班，另一人被安排到高二年级，任教3个不同的班级，则不同的安排方法有(　B　) A．6种 B．60种 C．120种 D．1200种 解析：根据题意，分2步进行分析： ①在3位老师中任选1人，安排到高二，有C＝3(种)安排方法； ②余下的2位老师中，指定其中一位，从6个班中选3个班来任教，剩下的老师教剩余的3个班，有C＝20(种)安排方法． 故根据分步乘法计数原理，得到符合题意的安排方法共有3×20＝60(种)安排方法． 故选B. 16．(2020辽宁沈阳期末，5分)2020年年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有__150__种． 解析：根据题意，分2步进行分析： ①将5门学科分为3组，若分为3，1，1的三组，则有C＝10(种)分组方法，若分为2，2，1的三组，有＝15(种)分组方法，共有10＋15＝25(种)分组方法； ②将分好的三组分配给甲、乙、丙3名志愿者，有A＝6(种)分配方法． 根据分步乘法计数原理，共有25×6＝150(种)不同的安排方法． 17．(2020福建月考，5分)将6张不同的贺卡分给4名同学，每名同学至少1张，则不同的分法有(　C　) A．384种 B．960种 C．1560种 D．1620种 解析：依题意，可分2种情况进行讨论： ①有1人分3张卡，其他3人各分1张卡，分法共有CCA＝480(种)； ②有2人各分2张卡，其他2人各分1张卡，分法共有·A＝1080(种)． 根据分类加法计数原理，共有480＋1080＝1560(种)分法．故选C. 18．(2020北京怀柔区二模，4分)高三某班要排出一天中语文课、数学课、英语课各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节．若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻(注意：上午第五节和下午第一节不算相邻)，则不同的排法种数是(　C　) A．84 B．54 C．42 D．18 解析：因为2节语文课必须相邻，故可将其看作一个整体，同理可将2节数学课看作另一个整体． 若语文课和数学课都安排在上午，则上午的5节课相当于3个位置，把这2个整体排在3个位置，有A＝6(种)排法；排完语文课和数学课，在剩下的3节课中任选2个， 安排2节英语课，剩下的1节为自习课，有C＝3(种)排法， 所以此类情况有6×3＝18(种)排法． 若语文课和数学课1个安排在上午，1个安排在下午，则上午的5节课相当于4个位置，下午的2节课相当于1个位置． 先把语文课或数学课安排在下午，有C＝2(种)排法；再在上午的4个位置中选出2个，排2节英语课，有C＝6(种)选法；最后排剩下的2门课，有A＝2(种)排法， 所以此类情况有2×6×2＝24(种)排法． 根据分类加法计数原理，共有18＋24＝42(种)不同的排法．故选C. 19．(2021福建期中，5分)用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__1260__个．(用数字作答) 解析：根据题意，四位数中至多有一个数字是偶数，则有两种情况：(1)只有一个偶数；(2)没有偶数．下面分类讨论： (1)四位数中只有一个偶数数字． 若选出偶数为0，首位数字不能为0，0有3种安排方法．在1，3，5，7，9中选出3个数，有A种安排方法．故共有3×A＝180(个)． 若选出偶数不为0，则直接在5个奇数中选3个，4个偶数中选1个，共有CCA＝960(个)． 故只有一个偶数数字的四位数共有180＋960＝1140(个)．　 (2)四位数中没有偶数数字， 在5个奇数中任选4个数，再进行全排列，有C×A＝120(个)． 故至多只有一个偶数数字的四位数共有1140＋120＝1260(个)． B组(冲刺满分) 20．(2020江西吉安模拟，5分)某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比实验. A B C D E F 要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，编号为1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻， 且2号品种的马铃薯不能种植在A，F这两块实验田上，则不同的种植方法有 (　A　) A．360种 B．432种 C．456种 D．480种 解析：第一类，先将2，4，6全排列，形成4个空，再从1，3，5号品种中选2个全排列，并捆绑在一起，与剩下的一个插入到前面的4个空中，有A A A＝432(种)．又当2号在A，F上时，将4，6全排列，再从1，3，5号品种中选2个全排列，并捆绑在一起，与剩下的一个插入到前面的3个空中，有C A AA＝144(种)，故共有432－144＝288(种)．第二类，把1，3，5号品种捆绑在一起，种植在ABC，DEF，BCD，CDE中，当种植在ABC中时，2号品种只能从D，E中选择，剩下的任意种植；当种植在DEF中时，2号品种只能从B，C中选择，剩下的任意种植，故有2ACA＝48(种)．当种植在BCD中时，2号品种只能种植在E中，剩下的任意排；当种植在CDE中时，2号只能种植在B，剩下的任意种植，故有2AA＝24(种)，根据分类计数原理可得共有288＋48＋24＝360(种)，故选A. 21．(2021江西景德镇期末，5分)将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其他三所学校每所至少分配一名教师，则不同的分配方案共有__660__种．(用数字作答) 解析：将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其他三所学校每所至少分配一名教师，则分配人数为3，1，1，1或2，2，1，1.若甲校先分3人，其余3人全排列，共有CA＝120(种)分配方法．若甲校先分2人，剩余4人分成三组，然后全排列，有CCA＝540(种)分配方法．∴共有120＋540＝660(种)分配方案． 22．(2020河南南阳期末，12分)已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止． (1)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 答案：576 解析：解：根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品，即第5次测试的产品恰为最后一件次品，前4次中出现3件次品，1件正品，故共有A·(CC)A＝576(种)不同的测试方法．(5分) (2)若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 答案：17280 解析：解：根据题意，分3步进行分析： 第一步，第1次测试时必须是正品，有6个正品可选，共6种测试方法； 第二步，第2，7次测试时必为次品，故从4件次品中选2件，全排列，共CA＝12(种)测试方法； 第三步，第3，4，5，6次测试时，必有剩余2件次品和2件正品，次品只有1种选择，正品需从5件当中选2件，并将其全排列，共有1×C·A＝240(种)测试方法． 故共有6×12×240＝17280(种)不同的测试方法．(12分) 23．(经典题，10分)(1)求方程x1＋x2＋x3＋x4＝5的非负整数解的个数； 答案：56个 解析：解：设yi＝xi＋1(i＝1，2，3，4)，则方程等价于y1＋y2＋y3＋y4＝9(y1，y2，y3，y4为正整数)，则原题等价于将9个相同元素分成4份，每份至少一个，(2分) 用隔板法可得，不同的分法有C＝56(种)，即方程x1＋x2＋x3＋x4＝5的非负整数解有56个．(5分) (2)某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进1位旅客，求一个4人小组进站的不同方案种数． 答案：840种 解析：解：设分别有z1，z2，z3，z4个人在第1号、第2号、第3号、第4号安检口通过，则z1＋z2＋z3＋z4＝4(z1，z2，z3，z4为非负整数)．由(1)可得，此方程的非负整数解的个数为C，所以不同的进站方案有AC＝840(种)．(10分) 学科网（北京）股份有限公司 $$