专题7.1 条件概率与全概率公式（5知识点+6考点）-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.1 条件概率与全概率公式 知识点一 事件的相互独立性 1.两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立. 2.相互独立的性质：如果事件A与B相互独立， 那么A与，与B，与也都相互独立． 知识点二 条件概率 1.条件概率 ①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)． 2.条件概率的性质：设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 知识点三 全概率公式 1.P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)； 2.定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且 P(B)＝＝. 知识点四 贝叶斯公式 1.一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有 P(A|B)＝ ＝. 2.定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝. 3.拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系． 知识点五 常用结论与知识拓展 1.两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥． 2.P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率． 3.计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)． 考点01 相互独立事件判断 【典例01】（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【典例02】【多选题】（22-23高三下·安徽芜湖·阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（    ） A．与不互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 【规律方法】 1.判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 考点02 相互独立事件概率计算 【典例03】（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例04】【多选题】（2024·贵州贵阳·一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 【规律方法】 1.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 3.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用