专题4-5 角平分线常见模型及辅助线作法【六大模型】-2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破（北师大版）

2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破（北师大版） 专题4-5 角平分线常见模型及辅助线作法 模型点梳理 1 模型一 作角两边的垂线 4 模型二 作角平分线的垂线（角平分线+高线） 7 模型三 角平分线+平行线得等腰三角形 9 模型四 截取构造对称全等(截长补短) 10 模型五 角平分线分线段成比例(常用二级结论) 11 模型六 旁心模型 13 模型点梳理 角平分线模型 一、模型介绍 （一）角平分线基本性质 M O B N A P 已知：OP平分∠MON，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B． 结论：PA＝PB，OA＝OB． （二）结论推导 结论：PA＝PB，OA＝OB． 证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP． ∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB． （三）解题技巧 如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形． （四）尺规作角平分线 （五）角平分线常见模型及辅助线作法 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) （3）角平分线+平行线得等腰三角形 （4）截取构造对称全等(截长补短) （5）角平分线分线段成比例(常用二级结论) 简证： ， ∵ ∴ ∴ （6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 结论：AD平分∠CAD 简证 模型一 作角两边的垂线 【例题讲解】 1． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AB＝4，求△BDE的周长． C B A D E 2． 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为________ A D B C 3． 如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝5，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，若BE＝CF，则BE的长为_________． A B C D E F 4． 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，，，则　 　． 【巩固练习】 5． （2023七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G，若，过点G作交于点P，则的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 6． （2023七年级下·四川成都·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 7． （2023七年级下·广东深圳·期末）如图，分别是三边上的点，平分，，若的面积为5，则的面积为 ；    8． 如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为50和38，则的面积为　　． 9． 如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③； ④，四个结论中成立的是　　 A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 10． 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，若AF＝4，AB＝10，则FG的长为_________． A E D B C F G 11． 如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，，，则的长度是　　 A． B． C．1 D． 模型二 作角平分线的垂线（角平分线+高线） 【例题讲解】 12． 如图，在△ABC中，∠ABC＝35°，∠C＝50°，BD是角平分线，AE⊥BD，垂足为F，则∠CDE的度数为_________． A D B C E F 13． （2023七年级下·四川成都·期末）如图，中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F,平分，，求的值．    14． （2023七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为 ．    【巩固练习】 15． 如图，在中，，，的角平分线交于，，过点作交的延长线于，则的长为________ 16． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CE⊥AD于点E，求证：AB＋AC＝2AE． A B D C E 17． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90