第四章　三角形——全等三角形中的一线三等角模型（k字型）讲义　2021—2022学年北师大版数学七年级下册

全等三角形中的一线三等角模型（k字型） 解决问题，认知模型 1. 如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN． （1）求证△AMB≌△CNA； （2）求证∠BAC＝90°． 【变式1】如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝ED． （1）AC与CE有什么关系？ （2）请证明你的结论． 作业：CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β． （1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上， ①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BE　 　CF，EF　 　|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）； ②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由； （2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）． 2. 李华同学用11块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC），点B在EF上，点A和C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF． 例2：已知，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，且AD＝CE． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由． 作业：如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD． （1）判断DF与DC的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　． （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． （3）若点D在线段AB外（线段AB所在的直线上且除线段AB），点E是BC延长线上一点，且CE＝BD，连接AE，与DC的延长线交于点P，直接写出∠APC的度数． 作业：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 变式：如图过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I， 求证：（1）I是EG的中点． （2）BC=2AI 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $