数列综合题专题练-2024年高考数学二轮复习

数列综合题 1．设数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．设等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 4．已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 5．记为数列的前n项和，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明． 6．已知等差数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 7．已知数列和，，，. (1)求证数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 8．设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”. (1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围. 9．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 10．已知数列满足，记数列的前项和为． (1)求； (2)已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围． 11．设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 12．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． 13．设，有三个条件：①是2与的等差中项；②，；③．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．（如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分） 若数列的前n项和为，且______． (1)求数列的通项公式； (2)若是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列的前n项和． 14．设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和. 15．对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质. （1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？ （2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集； （3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由. 参考答案： 1．(1) (2) （1）是首项为1，公差为1的等差数列，. 时，也符合 （2）显然 于是 2．(1) (2) （1）由，得， 所以．所以数列是常数列． 又，所以．所以． （2）因为， 所以数列的前n项和 ． 3．(1) (2) （1）设数列的公差为d， 由题意可得，解得， ∴. （2）由（1）可知， ∴． 4．(1) (2)证明见解析 （1） 当时，，解得． 当时，由①，可得，② ①②得：，即． ， ． 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列的通项公式． （2） 由（1）可得， ， ，，，，， ， . 5．(1)， (2)（ⅰ），；（ⅱ），，证明见解析 （1）因为，所以， 所以， 整理得． 又因为，所以当时，， 所以，当时，不满足． 所以，. （2）（ⅰ）设数列的公差为． 因为，，成等比数列，且，，， 所以，即． 又因为，所以． 所以数列的通项公式为，． （ⅰi）．证明如下： 由（ⅰ）知，，，易知 所以． ， ，． 6．(1) (2) （1）设等差数列的公差为， 因为. 所以， 所以，， 所以； （2）由题意可知， 所以①， ②， ①②得， ， ， ， . 7．(1)证明见解析 (2) （1）由，，得， 整理得，而， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列 （2）由（1）知，∴， ∴， 设，则， 两式相减得， 从而 ∴. 8．(1)不是“紧密数列”，理由见解析 (2)数列是“紧密数列”，理由见解析 (3) （1），所以不是“紧密数列”； （2）数列为“紧密"数列；理由如下： 数列的前项和， 当时，； 当时，， 又，即满足，因此， 所以对任意， 所以， 因此数列为“紧密”数列； （3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为， 当时，有， 所以，满足题意； 当时.， 因为为“紧密"数列，所以.即或， 当时，， ， 所以，满足为“紧密”数列； 当时，，不满足为“紧密"数列； 综上，实数的取值范围是. 9．(1) (2)证明见解析 （1）解：由题意，数列满足， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，所以， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）解：令，由， 可得