期中综合复习专题02 导数在研究函数的应用讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

期中综合复习专题02 导数在研究函数中的应用 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 利用导数研究函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 知识点2 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 知识点3 含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 知识点4 已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 知识点5 双变量不等式与等式 一般地，已知函数， 1、不等关系 （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 2、相等关系 记的值域为A, 的值域为B, （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、， 知识点6 构造函数法解决函数问题中的常见类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 2提升学科能力 一、题点一 利用导数求函数单调区间 【典例分析1】 已知函数，且在处的切线方程是． (1)求实数a，b的值； (2)求函数的单调区间． 【变式训练1】 1．已知函数满足，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数f（x）＝（x－1）ex－x2的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 3．已知． (1)求函数的平行于的切线方程； (2)求的单调性． 二、题点二 利用导数图像判断函数单调性 【典例分析2】 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数 【变式训练2】 1．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是 . 3．已知定义域为上的函数，它的导函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是 ． 三、题点三利用导数求函数图像问题 【典例分析3】 某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象大致为（ ） A．B．C． D． 【变式训练3】 1．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（    ） A．B．C． D． 2．函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．函数的导函数在区间上的图象大致为（    ） A．B．C． D． 四、题点四利用导