专题01 勾股定理重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 勾股定理重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 用勾股定理构造图形解决问题 题型四 勾股定理与无理数 题型五 勾股树问题 题型六 用勾股定理解三角形 题型七 已知两点坐标求两点距离 题型八 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型九 利用勾股定理求两条线段的平方和 题型十 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 【知识梳理】 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（     ） 甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形 乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形 A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以 C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）课本再现 如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c． （1）请利用图1验证勾股定理． 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积． （3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（2024上·湖北·九年级校考周测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（　　） A．32 B．38 C．48 D．108 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ． 3．（23-24八年级下·河南·阶段练习）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法． (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，则： ， ；（此两空均用含，，的代数式表示，不用化简）根据面积相等，可知 （化简），故验证了勾股定理． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求