河北常考专题集训一 与切线有关的辅助线的作法-【夺冠百分百】2023-2024学年九年级下册数学新导学课时练（冀教版）河北专版

新导学课时练 数学·九年级(下)·] 河北常考专题集训一 与切线有关的辅助线的作法 解题指导 2.(郭丛台期中)如图,AB是O的弦,OP 证明一条直线是圆的切线常用的辅助线 |OA交AB于点P,过点B的直线交OP 作法 的延长线于点C,且CP一CB 1.若图形中已给出直线与圆的公共点,但 (1)求证:BC是O的切线 未给出过该点的半径,则可先连接过此 (2)若⊙O的半径为3,OP=1,求BC的长 点的半径,再证其与直线垂直, 2.若图形中未给出直线与圆的公共点,则 需先过圆心作该直线的垂线,再证垂足 到圆心的距离等于半径,要结合题目图 形和已知条件选取合适的辅助线作法 类型一 切线的判定:有切点→连接圆心与切 点,证垂直 1.(济宁曲阜一模)如图,以等边三角形ABC 类型二 切线的判定:无切点→过圆心作垂 的BC边为直径画圆,交AC于点D,DF1 直,证等半径 AB于点F,求证:DF是O的切线. 3.如图,点O是BAC的平分线AD上一点 以O为圆心的圆与AB相切于点M.求证 AC与⊙O相切 s ②10 第二十九章 直线与圆的位置关系 新导学课时练5 4.如图,在△ABC中,AD BC于点D,AD 类型三 切线性质:已知切线→连接圆心与切 点,得垂直 6.如图,AB是O的直径,点P在BA的延长 试确定BC与半圆O的位置关系,并证明你 线上,过P作O的切线PC,切点为C,连 的结论. 接BC,若⊙O的半径为6,PC=BC,则线段 PC的长为( ) A.3③ B.6 C.6③ D.12 第6题图 第7题图 7.如图,在平面真角坐标系中,点A的坐标为 (8.5),A与x轴相切,点P在y轴正半轴 5.如图,AB是。O的直径,AM,BN分别切 上,PB与A相切于点B.若 APB=30^{*,$ O于点A,B,CD分别交AM,BN于点 则点P的坐标为 D.C,DO平分ADC. 8.如图,AB为O的直径,PQ切O于点E (1)求证:CD是。O的切线 AC1PQ于点C,交O于点D. (2)若AD-4.BC=9,求O的半径R. (1)求证:AE平分/BAC. M (2)若AD一EC=4,求O的半径. 11河北常考专题集训一与切线有关的 5.(1)证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E. 'AM切⊙O于点A, 辅助线的作法 .OA⊥AD. 1,证明：如图，连接()D, :△ABC是等边三角形， 又DO平分∠ADC,OE⊥CD, ..OE=0A. .∠C=∠A=60°. OC=OD. ∴OE为⊙O的半径 .CD是⊙O的切线. △OCD是等边三角形. (2)解：图，过点D作DF LBC于点F ∴∠CID0=∠A=60°. OD∥AB. AM,BN分别切⊙O于点A,B, DF⊥AB. .AD⊥AB,AB⊥BC .四边形ABFD是矩形 ∠FDO=∠AFD=90°. ..AD-BF.AB-DF. .OD⊥DF. 又AD=4,BC=9,.FC=9一4=5. ,OD为⊙O的半径，.DF是⊙O的切线. 易得Rt△OAD≌Rt△OED 2.(1)证明：连接OB,如图， ..AD=DE=4. ,OP⊥OA,'.∠AOP=90 同理，BC=EC=9. .∠A+∠APO=90. ∴.DC=AD+BC=4+9=13. CP-CB. 在Rt△DFC中.DC=DF+FC, .∠CBP=∠CPB. :∠CPB=∠APO, ,∴.DF=D-FC=√13-5=12 ∴.∠APO=∠CBP ∴AB=12,⊙O的半径R是6， OA=OB. 6.C7.(0,11) ,∠A=∠OBA 8.(1)证明：如图，连接OE ,∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90. 0A=0E. ..OBBC. .∠OEA=∠OAE OB为⊙O的半径.∴BC是⊙O的切线。 :PQ切⊙O于点E. (2)解：设BC=x,则PC=x, ∴.OE⊥PQ 在Rt△OBC中.OB=3.OC=CP+OP=x+1. AC⊥PQ,.OE∥AC 根据勾胶定理，得OB十BC=(O, ,.∠OEA=∠EAC,∴.∠OAE=∠EAC .3十x=(x十1)2.解得x=4, ,∴，AE平分∠BAC. 即BC的长为4. (2)解：如图，过点O作OM⊥AC于点M, 3.证明：如图，连接OM,过点O作OE⊥AC,垂足为点E :AM=MD-含AD=2. :以O为圆心的圆与AB相切于 B 点M, 又：∠OEC=∠ACE=∠OMC=90°， M .(OM⊥AB 0 .四边形OECM为矩形，.OM=EC=4. :点O在∠BAC的平分线上， 在Rt△AOM中，OA=√OMF+Af=/+2=2√5. .OE=OM=⊙O半径 即⊙0的半径为2V5. ,AC与⊙O相切： 29.4 切线长定理" 4.解：BC与半圆O的位置关系为相切，证明如下： 【知识梳理