7.3.2 离散型随机变量的方差-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第三册)

人教A版2019选修第三册 第 七 章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差. 3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 教学目标 01情境导入 PART.01 1.均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 则称 温故知新 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2.离散型随机变量的均值的性质： 若X, Y 是两个随机变量, 且Y=aX+b, 则有 E(Y )=aE(X )+b, 情境导入 现有甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格产品数分别用X，Y表示，X，Y的分布列如下： 思考：甲乙两个工厂哪个技术更好？ X 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 提示：当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度． E(X)=0.7,E(Y)=0.7 通过计算可得：两厂的均值相等，我们应如何更准确地比较两个工人的技术水平？ 离散随机变量的方差 PART.02 问题提出 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 概念讲解 探究：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得，，.因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 概念讲解 下图分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 概念讲解 思考 ：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 设离散型随机变量X的分布列如表所示. 考虑所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2……(xn－E(X))2.因为X取每个值的概念不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概念的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度. 随机变量X的方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. 概念讲解 X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 概念讲解 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 概念讲解 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. 所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 探究：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 概念讲解 在方差计算中, 利用下面的结论经常可以使计算简化. 即：D(X)=E(X2)-[E(X)]2 例题剖析 例1.抛掷质地均匀的一枚骰子，求掷出的点数的方差. 解：随机变量的分布列为. 因为，， 所以. 方差的计算方法 方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应． 反思感悟 归纳总结 例题剖析 例2.投资A，B两种股票，每股收益的