第07讲：拓展二：定义题（解答题10大题）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第07讲：拓展二：定义题（解答题10大题） 1．（2022上·北京·高一校考阶段练习）已知数集具有性质P：对任意的k，，使得成立． (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)若，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A； (3)求证：． 2．（2024上·北京平谷·高一统考期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 3．（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 4．（2024上·北京密云·高一统考期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 5．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 6．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. (1)判断集合和是否为集合，说明理由； (2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 7．（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）设，若满足，则称比更接近. (1)设比更接近0，求的取值范围； (2)判断“”是“比更接近”的什么条件，并说明理由； (3)设且，试判断与哪一个更接近. 8．（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若，求数列的最小项； (2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若，求证：数列具有性质． 9．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． (1)已知函数，求函数的不动点； (2)若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； (3)若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围． 10．（2023下·上海普陀·高二校考期中）对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列” (1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求. (2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论. (3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲：拓展二：定义题（解答题10大题） 1．（2022上·北京·高一校考阶段练习）已知数集具有性质P：对任意的k，，使得成立． (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)若，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A； (3)求证：． 【答案】(1)不具有，具有，理由见解析 (2)75；或 (3)证明见解析 【分析】（1）由，所以数集不具有性质P，同理根据集合性质P的概念，可判断具有性质P； （2）由（1）结合数集的性质P的概念，满足，分类讨论，即可求得数集A； （3）根据数集的性质P的定义，可得，所以，满足 ，累加即可证明． 【详解】（1）因为，所以数集不具有性质P， 因为，所以数集具有性质P； （2）由，所以A的元素都是整数， 构造或具有性质P， 此时元素和为75且是最小值； 下面证明： 假设集合满足， （存在性显然，因为满足的数集只有有限个） 第一步：首先说明集合中至少有7个元素， 因为集合具有性质P： 对任意的k，，使得成立， 又， 所以，所以， 所以， ， 又， 所以， 所以； 第二步：证明， 若，设， 因为，为了使最小， 在集合中一定不含有元素，使得，从而， 假设，根据性质P，对，有，使得， 显然，而， 而此时集合中至少还有4个不