第03讲 基本不等式（知识+真题+5类高频考点) ( 精讲）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第03讲 基本不等式 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 3 高频考点二：利用基本不等式比较大小 3 高频考点三：利用基本不等式求最值 4 角度1：利用基本不等式求积最大值 4 角度2：利用基本不等式求和最小值 5 角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 5 角度4：“1”的妙用求最值 5 角度5：条件等式求最值 6 高频考点四：基本不等式的恒成立问题 7 高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 8 第四部分：典型易错题型 10 备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等” 10 第五部分：新定义题（解答题） 10 第一部分：基础知识 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 第二部分：高考真题回顾 1．（2022·全国·（甲卷文））已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·（甲卷文理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 3．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 典型例题 例题1．（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（2024·全国·高三专题练习）任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（    ） A． B． C．5 D．3 练透核心考点 1．（2024·全国·高一假期作业）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是2 B．当时，的最小值是3 C．当时，的最大值是5 D．若正数满足，则的最小值为3 高频考点二：利用基本不等式比较大小 典型例题 例题1．（2024·全国·高三专题练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．2 例题2．（2024下·福建·高一校联考开学考试）杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为. (1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台? (2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由. 练透核心考点 1．（多选）（2024上·湖南常德·高三统考期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 高频考点三：利用基本不等式求最值 角度1：利用基本不等式求积最大值 典型例题 例题1．（2024上·安徽·高一校联考期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 例题2．（2024下·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，向量，则的最大值为 . 角度2：利用基本不等式求和最小值 典型例题 例题1．（2024上·安徽芜湖·高一