第11章 数的开方 培优辅导讲义 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

第11章 数的开方 班级__________ 姓名__________ 座号_____ 11.1 平方根与立方根 11.1.1 平方根 一、算术平方根：若，且，则称x为a的算术平方根，记作, 读作“根号a”. 的情况只有两种：，. 二、平方根：若，则称x为a的平方根，记作. 三、算术平方根的性质 1. 双重非负性：对于，且; 2. ， 特别记忆：, , . 例题1 求下列各式的值： (1) ; (2) ; (3) . 变式1 (1) 的算术平方根是 ; (2) 的平方根是 . 例题2 试比较2, 3, 的大小关系： . 变式2 记的整数部分和小数部分分别为a, b，则 , . 例题3 请你观察并思考下列计算过程： ∵ , ∴ ; ∵ , ∴; ∵ , ∴… 由此可猜想 . 变式3 已知；；… 根据上述规律，请你猜想： (1) ; (2) , 并证明你的结论. 例题4 已知a的两个平方根是方程的一组解，则的平方根为 . 例题5 若，求. 变式5 已知，化简. 例题6 已知与互为相反数，求的平方根. 变式6 已知，若m, n满足，试求x的取值范围. 11.1.2 立方根 一、立方根：若，则称x为a的立方根，记作，读作“三次根号a”. 二、立方根的性质 1. 任何数的立方根只有一个； 2. . 例题1 求下列各式的立方根： (1) ; (2) 0.125; (3) 2; (4) . 变式1 求下列各式的值： (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 例题2 填写下列表格并完成(1)(2)小题： a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000 (1) 由上述表格你发现了什么规律？请你用文字表述； (2) 请根据你发现的规律填写下列各空： ① 已知，则 ， ； ② 已知，则 . 例题3 试比较下列各组数的大小： (1) ；(2) ；(3) . 例题4 若互为相反数，求的值. 例题5 已知是的算术平方根，是的立方根，求. 11.2 实数 一、无理数及其分类 1. 无限不循环小数称为无理数，无理数和有理数统称实数； 2. 常见的无理数有： ① 含π类如：，；② 开方不尽类如：，. 二、实数的分类 1. 按定义分类：实数 ； 2. 按正负符号分类：实数 . 例题1 在实数, 3.141 592 643, , , , 中无理数有 . 例题2 计算 . 变式2 若，求的值. 学习心得 2 学科网（北京）股份有限公司 $$