专题06 分式方程的解法及方程的增根无解整数解等-2023-2024学年八年级数学下册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（苏科版）

专题6 分式方程的解法及方程的增根无解整数解等（原卷版） 知识点梳理 模块一：分式方程的基本解法 1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 2．分式方程的解法： （1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． （2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； ⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意：解分式方程一定要验根． 模块二：分式方程的增根和无解等 1．分式方程的增根 （1）产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根． （2）分式方程增根的应用 如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值． 2．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （1）原方程去分母后的整式方程无解； （2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 3．分式方程无解与增根的区别： 分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解． 典例剖析及变式 分式方程的基本解法 模块一 【典例1】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由． （1）8；（2）；（3）1；（4）；（5）2＝x（a为非零常数）． 【变式训练】 1.下列方程中哪些是分式方程？ （1） （2） （3） （4） （5）　　　　（6） （7） （8） （9）（a为字母系数） （10）（a为字母系数） 【典例2】（2023秋•梁园区期末）解下列方程： （1）； （2）． 【变式训练】 1．（2023•黄陂区校级开学）解下列分式方程： （1）； （2）． 2．（2023秋•渌口区期末）我们把形如xa+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如x4为十字分式方程，可化为x1+3，∴x1＝1，x2＝3． 再如x6为十字分式方程，可化为x（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若x5为十字分式方程，则x1＝　 ，x2＝　 　． （2）若十字分式方程x2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值． （3）若关于x的十字分式方程xk﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值． 模块二 分式方程的增根和无解等 【典例3】（2023秋•宁津县期末）若关于x的分式方程1有增根，则k＝　 　． 【变式训练】 1．（2023秋•临邑县期末）已知关于x的分式方程的增根是x＝2，则m的值为 　 　． 2．（2023秋•定陶区期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　． 3．（2023秋•邯郸期末）若关于x的分式方程有增根，则增根是 　 　，m的值是 　 　． 4．（2023秋•新田县期末）若分式方程有增根，则k的值是 　 　． 5．（2023秋•成武县期末）（1）若方程有增根，则增根是 　 　； （2）若方程有增根，求m的值． 【典例4】（威海中考）若关于x的方程无解，则m＝　 　． 【变式训练】 1．分式方程+2的一部分被污染看不清了，已知此方程无解，则处的数应该是 　 　． 2．已知关于x的分式方程2m， （1）若方程的解为x＝1，则m的值为 　； （2）若方程的解为负数，则m的取值范围是 　 　； （3）若方程有增根，则m的值为 　 　； （4）若方程无解，则m的值为 　 　． 3．解关于x的方程2，得x＝6﹣m，当m＝　 时，此根为增根，原方程无解，当m≠　 　时，原方程有唯一解x＝6﹣m． 4．已知，关于x的方程：， （1）若方程有增根，求m的取值； （2）若方程无解．求m的取值； （3）若方程的解为正数，求m的取值范围； （4）若方程的解为整数，求整数m的取值范围． 【典例5】（2023秋•河口区期末）已知关于x的分式方程，若此方程的解为正数，则m的取值范围为 　 ． 【变式训练】 1．（2023秋•湘西州期末）已知关于x的分式方程2的解是非负数，则m的取值范围是 　 ． 2