专题04 二元一次方程组【知识梳理+解题方法+专题过关】-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题04 二元一次方程组 一．二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意： ①方程中含有两个未知数，即未知数的系数不能为0． ②含有未知数的项的次数都是1，它不同于未知数的次数是1．如这个方程中，x，y两个未知数的次数都是1，但此项的次数却是2，故它不是二元一次方程． ③二元一次方程是整式方程，即等式的两边必须都是整式（分母中不含有未知数）． 二．二元一次方程的定义 含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 注意： ①两个方程都是一次方程． ②方程组中共含有两个未知数．即一共要含有两个未知数，而不是每个方程都要含有两个未知数．若每个方程都含有两个未知数，这两个方程中的两个未知数必须相同． 三．二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程有无数个解． 注意： ①二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示． ②在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 四．二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 注意： ①方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解． ②方程组的解要用大括号联立，如． ③一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 五．代入消元法解二元一次方程组 1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数．这种将未知数的个数由多转化为少、逐一解决的思想，叫做消元思想． 2．代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． 3．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 注意 1 变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为（或）的形式 选系数简单的方程变形 2 代入 把（或）代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” 3 求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数 去括号时不要漏乘，移项时要变号 4 回代 把求得的未知数的值代入步骤1中变形后的方程中 求出另一个未知数 一般代入变形后的方程 5 写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“{”将x，y的值联立起来 六．加减消元法解二元一次方程组 1．当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 注意 1 变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单 2 加减 当未知数的系数相等时，将两个方程相减；当未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加 消去一个未知数，将二元一次方程转化为一元一次方程 负因数系数的项参与加减运算时，要先放到括号里作为一个整体参与运算，避免出现符号上的错误 3 求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数 4 回代 把求得的未知数的值代入方程组中的某个较简单的方程中 求出另一个未知数 回代时选择系数较简单的方程 5 写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“{”将x，y的值联立起来 七．列方程组解应用题的基本思想 一般来说有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等． 八．列二元一次方程组解应用题的一般步骤 1．审题：弄清题意和题目中的数量关系，找出问题中的所有相等关系； 2．设元：可以直接设，也可以间接设； 3．根据相等关系列出方程组； 4．解方程组，并检验所得的解是否符合题意； 5．写出答案． 注意： ①解实际应用题必须写“答”，而且在写“答”前要根据应用题的实际意义，检验求得的结果是