2.6用导数研究函数的性质（第2课时 函数的极值）（教学设计）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

第二章 导数及其应用 6.2函数的极值 教学设计 1、 课时教学内容 极值的概念，了解函数的极值与导数的关系，运用导数方法求函数极值。 2、 课时教学目标 1. 了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2. 掌握函数极值的判定及求法. 3. 掌握函数在某一点取得极值的条件． 3、 教学重点、难点 1. 教学重点：极大值、极小值概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。 2. 教学难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，求可导函数的极值的步骤。 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 如图2-15(1),在包含的一个区间内,函数在任何不为的一点处的函数值都小于点处的函数值,称点为函数的极大值点,其函数值为函数的极大值. 如图2-15(2),在包含的一个区间内,函数在任何不为的一点处的函数值都大于点处的函数值,称点为函数的极小值点,其函数值为函数的极小值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值. 环节二 观察分析，感知概念 极值是函数的一种局部性质,如图2-16中,,都是函数的极大值点,都是函数的极小值点.从图中可以看出,函数的某些极大值有时候比其他极大值小,如,甚至可能比一些极小值还小,如. 关于极大值与极小值有以下结论: 若函数在区间内单调递增,在区间内单调递减,则是极大值点,是极大值. 若函数在区间内单调递减,在区间内单调递增,则是极小值点,是极小值. 利用前面得出的导数与函数单调性的关系,观察发现:图2-17的极大值问题可以通过表2-6表示出来;图2-18的极小值问题可以通过表2-7表示出来. 【设计意图】让学生经历可以利用导数求极值这一知识的自主建构过程，借助图象直观，进行数学抽 象形成极值口诀，乘势而上，让学生自己总结求极值的基本步骤，培养学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养。 【师生活动】小组讨论交流并展示后，教师再加以点评，极值刻画的是函数的局部性质，而最值刻画的是函数的整体性质，是两个不同的概念。 【设计意图】对问题进行递进式分解，有利于学生思维的有序展开。追问的设置有利于学生对概念的辨析和理解。 环节三 抽象概括，形成概念 例2求函数的极值点. 解. 通过解方程得到了两个实数根和. 当时,,函数在区间内单调递增;当时,,函数在区间内单调递减,因此,是函数的极大值点. 当时,,函数在内单调递减;当时,,函数在区间内单调递增,所以是函数的极小值点. 这个判断过程可以通过表直观地反映出来. 抽象概括 环节四 辨析理解，深化概念 一般情况下,在极值点处,函数的导数.因此,可以通过如下步骤求出函数的极值点: 1.求出导数. 2.解方程. 3.对于方程的每一个实数根,分析在附近的符号(即的单调性),确定极值点: (1)若在附近的符号“左正右负”,则为极大值点; (2)若在附近的符号“左负右正”,则为极小值点; (3)若在附近的符号相同,则不是极值点. 设是的一个极值点,并求出了的导数,则.反之不一定成立.例如,对于,虽然,但是不是极值点. 【师生活动】教师启发学生思考，并示范解答问题。在此基础上，引导学生归纳用导数求函数y=f (x)极值的步骤： 第1步，求出函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第3步，用f ′(x)的零点将函数f (x)的定义域划分成若干个开区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性，进而求出函数的极值。 环节五 概念应用，巩固内化 例3求函数的极值,并画出函数的大致图象. 解 解方程 根据列出表,分析的符号、的单调性和极值点. 根据表可知,为函数的极大值点,函数在该点的取值(极大值)为为函数的极小值点,函数在该点的取值(极小值)为. 函数的大致图象如图2-19. 环节六 归纳总结,反思提升 问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题 1. 本节课学习的概念有哪些？ (1)函数极值的定义． (2)函数极值的判定及求法． (3)函数极值的应用． 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 方程思想、分类讨论． 3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件． (1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况． (2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点． (3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既 有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小． (4)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极