2.2导数的概念及其几何意义（第1课时 导数的概念）（教学设计）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

第2章 2.导数的概念及其几何意义 （第1课时） 2.1导数的概念 教学设计 1、 课时教学内容 导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从“形”的角度理解导数的含义与价值，体会逼近、以直代曲和数形结合的数学思想方法。 同时本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。 2、 课时教学目标 1.通过利用图象直观，经历导数几何意义的抽象概括过程，探究并得到导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲和极限思想; 2.会应用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程; 3.通过经历利用实例求函数在点处的导数的过程，探究并抽象出导函数的概念。 3、 教学重点、难点 1. 教学重点为：对导数的几何意义的探究，及其在数学、实际问题中的应用。 2. 教学难点：用运动变化、极限的观点理解导数的几何意义。 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 本章中讨论了平均变化率与瞬时变化率的关系,本节将进一步研究函数的瞬时变化率问题. 设函数,当自变量从变到时,函数值从变到,函数值关于的平均变化率为 【设计意图】由旧知引出问题，既复习了旧知，又启发学生思考，引出本节课课题。 环节二 观察分析，感知概念 当趋于,即趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数在点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数在点处的导数,通常用符号表示,记作 【设计意图】 体会导数的几何意义，抓住求导数的点与切点的联系。 环节三 抽象概括，形成概念 例1一条水管中流过的水量(单位:)与时间(单位:)的函数关系为3x.求函数在处的导数,并解释它的实际意义. 解当从2变到时,函数值从变到,函数值关于的平均变化率为 当趋于2,即趋于0时,平均变化率总是3,所以 导数表示当时水量的瞬时变化率,即水流的瞬时速度.也就是说,如果水管中的水保持以时的瞬时速度流动的话,每经过,水管中流过的水量为. 【设计意图】以求导数的两个步骤为依据，从平均变化率的几何意义入手，探索导数的几何意义，在图形上从割线入手来研究问题. 环节四 辨析理解，深化概念 例2一名食品加工厂的工入上班后开始连续工作,生产的食品量(单位:)与其工作时间(单位:)的函数关系为.假设函数在和处的导数分别为和,试解释它们的实际意义. 解表示该工入上班后工作的时候,其生产速度(即工作效率)为. 也就是说,如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产的食品. 表示该工入上班后工作的时候,其生产速度为. 也就是说,如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产的食品. 环节五 概念应用，巩固内化 例3服药后,入体血液中药物的质量浓度(单位:)是时间(单位:)的函数.假设函数在和处的导数分别为和-0.6,试解释它们的实际意义. 解表示服药后时,血液中药物的质量浓度上升的速度为.也就是说,如果保持这一速度,每经过,血液中药物的质量浓度将上升. 表示服药后时,血液中药物的质量浓度下降的速度为.也就是说,如果保持这一速度,每经过,血液中药物的质量浓度将下降. 思考交流 举出生活中2个函数的实例,结合具体问题讨论它们在某一点处导数的实际意义. 环节六 归纳总结,反思提升 1.从知识、方法和思想层面小结本节课的收获. 我们从前两节课讨论的两类变化率问题出发，由问题的共性抽象概括出导数的概念.；总结了根据定义求给定函数在某点处导数的步骤；并应用导数的意义对实际问题进行了分析和解释. 导数的概念比较抽象，它是瞬时变化率的数学表达，蕴含了用平均变化率逼近瞬时变化率的极限思想，同学们要结合其实际意义充分理解和体会. 2.引导学生自主归纳出以下结论: (1) 切线的定义: (2) 割线的斜率: (3) 切线的斜率: (4) 导数的几何意义: (5) 导函数的概念: 【设计意图】让学生自己总结本节课的知识和方法，以提高学生自我获知知识的能力,为学生的长期发展打下基础。教师根据的信息适时地归纳与提炼，帮助学生提升学习经验。 环节七 目标检测，作业布置 完成教材：教科书 练习 第1,2,题. 练习 1.根据例1中的函数,求,并解释它的实际意义. 2.设(单位:)表示从一条河流的某一处到其源头的距离,(单位:)表示这一点的海拔高度,与的函数关系为.若函数在处的导数,试解释它的实际意义. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$