6.4.2 平面向量的应用 课时2 余弦定理课件- 2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.4平面向量的应用 第六章 平面向量及其应用 课时2 余弦定理 探究一：余弦定理 如图所示，设， ，那么 = 我们的研究目标是用， 和角C表示. 所以 情境设置 2 新知生成 知识点一 余弦定理 1.公式表达： ， ， . 2.语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 3 一、余弦定理的应用 例题1 (1)的内角,,的对边分别为，，，已知， ，求. (2) 在中,角 ，，所对的边分别为 ，，，若 【解析】(1)由余弦定理得 ，解得 或 (舍去) (2) ， . 又 ， . 4 反思感悟 方法总结 余弦定理是由向量推导出来的，它是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中，边与角的一种数量关系.涉及中线的问题，既可以用余弦定理解决，也可以用向量解决. 5 新知运用 跟踪训练1 在中，内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 , 若点 为边的中点，求的最大值. 【解析】如图，设 , ，则 . 在 中，由余弦定理，得 . ① 在 中，由余弦定理，得 . ② 由 可得 . 在 中，由余弦定理，得 ，当且仅当 时，等号成立，解得 ，即 的最大值为 . 6 新知生成 知识点二 解三角形 1.余弦定理的推论： . 2.解三角形 一般地，三角形的三个角A、B、C和它们的对应边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. 7 二、已知两边及一角解三角形 例题2 (1) 在中，已知，，求； (2) 在中，已知，， ，求角，角和边. 【解析】(1) (2) 8 反思感悟 方法总结 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 9 新知运用 跟踪训练2 已知在中，，，，求的值. 【解析】根据余弦定理，得 ，解得 .由 ， ， ，得 ，在 中，因为 ，所以 . 10 三、已知三边解三角形 例题3 在△𝐴𝐵�� 中，已知 𝑎=7，𝑏=3，𝑐=5 ，求最大角. 【解析】 ， 为最大角. 由余弦定理的推论，得 . 又 ， ， 最大角 为 . 11 反思感悟 方法总结 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角. 12 新知运用 跟踪训练3 在中，已知，， ，求最小角的大小. 【解析】易知 ， 角 为最小角. 根据余弦定理的推论，得 . ， . 最小角 为 . 13 新知生成 知识点三 余弦定理的综合应用 判断三角形形状时，常用到的结论 1. 为直角三角形 或 或 . 2. 为锐角三角形 且 且 . 3. 为钝角三角形 或 或 . 4.若，则 或 . 14 四、余弦定理的综合运用 例题4 在△𝐴𝐵𝐶中，若 ，试判断该三角形的形状. 【解析】由 并结合余弦定理， 得 ， 即 ， 整理，得 . 因为 ，所以 ，故 是直角三角形. 15 反思感悟 方法总结 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即 使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ① 为直角三角形 或 或 . ② 为锐角三角形 且 且 . ③ 为钝角三角形 或 或 . ④若 ，则 或 . 16 新知运用 跟踪训练4 在中，内角，，所对的边分别为，， ，若 ，则是______三角形.(填“锐角”、“直角”或“钝角”) 【解析】由余弦定理得 ， 即 ， 为直角三角形. 17 随堂检测 1.已知𝑎，𝑏，𝑐 是△𝐴𝐵𝐶的三边长，若满足等式 ，则角𝐶 的大小为( ) . A. B.