4.3.2等比数列性质及应用课件1-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列性质及应用 探究新知 类比等差数列与一次函数的关系，等比数列与函数的有什么关系？   等差数列 等比数列 与 函 数 的 关 系 图像   an=a1qn-1   探究新知 类比等差数列单调性判断，等比数列的单调性如何？ an=a1qn-1     等差数列 等比数列 与 函 数 的 关 系 单调性   解惑提高 当几个数成等比数列时设项方法与技巧 大本例一 已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________． 7 例3 数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列. 典型例题 解:设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则数列的各项依次为 80,     80+d, 80+2d. 得,   解方程组，得   所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48. [点拨]　本题易忽略在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件，而得到a1a9＝±9. [解析]　因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9. 所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9. 因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同， 所以a1，a9同号， 所以a1a9＝9. [答案]　A [点拨]　注意b2的符号已经确定(与－1同号)，忽略这一隐含条件就容易得到错解C. 　A 　在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同， 求等比数列的某一项或者某些项时要注意项的正负问题． 这也要求我们在解题时，不仅要关注眼前，更要整体考虑，并注意挖掘隐含条件． [素养提升] 思考：已知{an}是一个无穷等比数列, (1) 将{an}中的前 k 项去掉,剩余各项组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗? 如果是,它的首项与公比分别是多少? (2) 取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少? (3) 在数列{an}中,每隔10项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的公比是多少?你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 已知{an}是一个无穷等比数列,公比为q (1)将{an}中的前 k 项去掉,剩余各项组成一个新数列, 这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少? 答: {an} 中去掉前 k 项后分别是 a1+k, a2+k, a3+k, …, an+k, … =q, (常数). ∴{an} 中去掉前 k 项后所得数列是等比数列,其首项是原数列的 ak+1, 公比是原数列的公比 q. 已知{an}是一个无穷等比数列, 公比为q: (2) 取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗? 如果是,它的首项与公比分别是多少? 答: 取出 {an} 中的所有奇数项得 a1, a3, a5, …, a2n-1, … =q2, (常数). ∴取出 {an} 中的所有奇数项所得的数列也是等比数列,其首项为 a1,公比为 q2 . 已知{an}是一个无穷等比数列,公比为 q: (3) 在数列{an}中,每隔k项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗? 如果是,它的公比是多少?你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 猜想: 在等比数列 {an} 中每隔 k 项取出一项,所得的数列也是等比数列,其公比为qk+1. “子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为 ，首项为 ，公比为 ；若取出所有的k的倍数项，组成的数列为 ，首项为 ，公比为 . 等比数列 ak＋1 q 等比数列 ak qk 等比数列的性质 例4：(1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 (2)已知在等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q=－2，则(　　) A．数列{2an＋an＋1}是等比数列 B．数列{an＋1－an}是等比数列 C．数列{anan＋1}是等比数列 D．数列{log2|an|}是递减数列 an＝(－2)n－1. 2an＋an＋1＝2·(－2)n－1＋(－2)n＝0，