4.3.2等比数列前n项和公式应用课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

直线 4.3.2 等比数列前n项和的应用 练习 题型：等比数列前项和的实际应用 例3.一个热气球在第上升了的高度，在以后的每里，它上升的高度都是它在前上升高度的.这个热气球上升的高度能达到吗？ 解：用表示热气球在第上升的高度.由题意，得：. 热气球在里上升的总高度为： 因此，数列是首项，公比的等比数列. ∴这个热气球上升的高度不能达到 练习 方法技巧： 解数列应用题的思路和方法 实际问题 实际结果 数学问题 数学结果 抽象 转化 回 答 反馈 数学 方法 练习 变3.某电扇厂去年实现利润300万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长10%.问从今年起第5年的利润是多少？这5年的总利润是多少？(结果精确到1万元) 解：根据题意，可知每年的利润组成一个首项，公比的等比数列. ∴从今年起第5年的利润为(万元). 这5年的总利润为：(万元). 例析 例10.如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去. (1)求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； 解：设正方形的面积为，后继正方形的面积依次为则 由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以 因此，是以25为首项，为公比的等比数列. 设的前项和为. (1) 所以，前10个正方形的面积之和为 . 例析 (2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 解(2)：当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和.而 随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 等比数列的前n项和的数学文化问题 例析 例11.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为(单位：万吨)，则 当时，. 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为万吨. 例析 例12.某牧场今年初生的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，. (1)写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)将(1)中的递推公式表示成的形式，其中，为常数； 解(1)：由题意，得，并且 ① (2)：将化成 ② 比较①②的系数，可得 解这个方程组，得 所以，(1)中的递推公式可以化为： 例析 例12.某牧场今年初生的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，. (3)求的值(精确到1). (3)由(2)可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则： 所以， 例2：明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)，根据此诗，可以得出塔的顶层有(　　) A．3盏灯 B．4盏灯 C．5盏灯 D．6盏灯 解：设每层灯的盏数为等比数列{an}，首项a1为顶层灯的盏数，公比q＝2， 所以S7＝ eq \f(a1（1－q7）,1－q) ＝a1(27－1)＝381， 解得a1＝3，即顶层有3盏灯．故选A. 3. 已知数列的前项和为,若. 求证:数列是等比数列. 证明：方法一：由已知得， 两式相减得，即 因为 又，所以 所以数列是以为公比，为首项的等比数列. 4. 已知数列是等比数列，前项和为，且 （1）求的通项公式； （2）若对任意的，是与的等差中项，求数列的前项和. 解：（1）设数列的公比为，由题意可知，或 又显然， 所以 4. 已知数列是等比数列，前项和为，且 （1）求的通项公式； （2）若对任意的，是与的等差中项，求数列的前项和. 解：（2）由已知 所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，即 设数列的前项和为，则 4. 已知数列是等比数列，前项和为，且 （1）求的通项公式； （2）若对任意的，是与的等差中项，求数列的前项和. 解：（2）设数列的前项和为，则 方法一： 4. 已知数列是等比数列，前项和为，且 （1）求的通项公式； （2）若对任意的，是与的等差中项，求数列的前项和. 解：（2）