4.3.2等比数列前n项和公式课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前项和公式 （第1课时） l 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. l 已知1000颗麦粒的质量约为40，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言. 情景导入 问题： 由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是： 这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!! 问题：如何求出这个和？ ① ② 由②－①得：　　　　　　　　 此方法为“错位相减法”. =18446744073709551615 ≈1.84×1019(粒) 如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨.据查，2016-2017年度世界小麦的年产量约为7.5亿吨，就是说全世界都要900多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的. 问题：已知等比数列 , 公比为q , 求： 思考： 等比数列的前n项和公式的推导： 即 当q=1时，等比数列的前n项和Sn等于多少？ ① ② 此时等比数列为常数列： ， ， ， ， … . 错 位 相 减 法 ①－②得： 公式２： 公式１： 等比数列的前n项和公式 题型一：等比数列前项和的基本运算 换成大本立体 例 已知等比数列{an}的公比q ≠ －1，前n项和为Sn，证明 Sn , S2n－Sn , S3n－S2n , 成等比数列，并这个数列的公比. 题型二：等比数列前项和的性质 63 28 变2.设等比数列的前项，若，则( ). A. B. C. D. 答案：B. 解：[法二]由得 ∵数列是等比数列，且由题意知，即， ∴也成等比数列， ∴即，解得 ∴ 思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？ ➱ ⇔ ⇔ ➱ (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝qS奇 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 变式：若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______. 300 例 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比q. 思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)的函数特征吗？ ➱ ➱ 当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. 当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. 结构特点：qn的系数与常数项互为相反数. 设A＝－，则Sn＝Aqn－A. $$